淺談幾何概型在高考中的應(yīng)用

幾何概型的基本特點(diǎn)是：在每次隨機(jī)試驗(yàn)中，不同的試驗(yàn)結(jié)果有無限多個(gè)，即基本事件有無限個(gè)；在這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，即基本事件的發(fā)生是等可能的.

古典概型與幾何概型在某種意義上說又是相同的，因?yàn)樗鼈兊臄?shù)學(xué)本質(zhì)是一樣的，屬于同樣的數(shù)學(xué)模型. 我們可以化無限為有限，化抽象為具體，從而化幾何概型為古典概型加以解決. 幾何概型在近幾年的高考中出現(xiàn)的頻率逐步加大，下面結(jié)合幾個(gè)實(shí)例分析說明幾何概型在高考中的應(yīng)用.

長(zhǎng)度問題

例1 在區(qū)間[-1，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)[x]，則[cosπx2]的值介于0到[12]之間的概率為（ ）

A. [13] B. [2π] C. [12] D. [23]

分析 本題要求 [cosπx2]的值介于0到[12]之間的概率，實(shí)質(zhì)上是求[x]落在區(qū)間[-1，1]上的概率，利用區(qū)間長(zhǎng)度比來求所求概率.

解 在區(qū)間[-1，1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)[x]，

即[x∈[-1，1]]時(shí)，要使[cosπx2]的值介于0到[12]之間，需使[-π2≤πx2≤-π3]，或[π3≤πx2≤π2]，

即[-1≤x≤-23]，或[23≤x≤1]，其區(qū)間長(zhǎng)度為[23].

而總的區(qū)間長(zhǎng)度為2.

由幾何概型知，[cosπx2]的值介于0到[12]之間的概率為[232=13].

答案 A

點(diǎn)評(píng) 本題研究的基本事件構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度.因此所求概率[P=構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度.]

面積問題

例2 由不等式組[x≤0，y≥0，y-x-2≤0]確定的平面區(qū)域記為[Ω1]，由不等式組[x+y≤1，x+y≥-2]確定的平面區(qū)域記為[Ω2]，在[Ω1]中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在[Ω2]內(nèi)的概率為（ ）

A. [18] B. [14] C. [34] D. [78]

分析 本題實(shí)質(zhì)上也屬于幾何概型求概率問題，所求概率等于區(qū)域（[四邊形OBCD]）的面積除以總（[△ABO]）的面積.

解 根據(jù)題意畫出不等式組確定的區(qū)域如下圖.

故所求概率為[P=S四邊形OBCDS三角形ABO=742=78].

答案 D

例3 甲、乙兩人相約見面，并約定第一人到達(dá)后，等15分鐘不見第二人來就可以離去. 假設(shè)他們都在10點(diǎn)至10點(diǎn)半的任一時(shí)間來到見面地點(diǎn)，則兩人能見面的概率為 .

A. 37.5% B. 50% C. 62.5% D. 75%

分析 本題先根據(jù)已知條件可以理解為兩人約定是0～30分鐘內(nèi)見面，先來者只等15分鐘就不等，實(shí)質(zhì)上是幾何概型，利用面積比來求所求概率.

解 設(shè)甲、乙兩人在0～30分鐘內(nèi)到達(dá)的時(shí)刻分別記為[x，y]，則有當(dāng)[x-y≤15]時(shí)，兩人可以見面，構(gòu)造模型如下圖.

故所求概率為[P=S陰影部分S四邊形OABC=675900=34=75%].

答案 D

點(diǎn)評(píng) 用幾何概型解題，主要運(yùn)用轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想方法.本題研究的基本事件構(gòu)成的區(qū)域?yàn)槊娣e.因此所求概率[P=構(gòu)成事件A的區(qū)域面積試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積].

體積問題

例4 已知正三棱錐[S-ABC]的底面邊長(zhǎng)為[a]，高為[h]，在正三棱錐內(nèi)取點(diǎn)[M]，則點(diǎn)[M]到底面的距離小于[h2]的概率為 .

解析 如圖，分別取[SA，SB，SC]的中點(diǎn)[A1，B1，C1]，分別連接[A1B1，B1C1，C1A1]，則當(dāng)點(diǎn)[M]位于平面[ABC]和平面[A1B1C1]之間時(shí)，點(diǎn)[M]到底面的距離小于[h2].

設(shè)[△ABC]的面積為[S]，由[△A1B1C1～△ABC]且相似比為[12]得，[△A1B1C1]的面積為[S4.]

由題意易知，區(qū)域[D]（三棱錐[S-ABC]）的體積為[13Sh，]

區(qū)域[d]（三棱臺(tái)[A1B1C1-ABC]）的體積為[13Sh-13?S4?h2=][724Sh.]

記“點(diǎn)[M]到底面的距離小于[h2]”為事件[A]，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得，[PA=VdVD=78.]

答案 [78]

點(diǎn)評(píng) 如果試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來度量，那么就要結(jié)合問題的背景，選擇好觀察角度，準(zhǔn)確找出構(gòu)成事件[A]的區(qū)域體積及試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積，再根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可.

角度問題

例5 在等腰[Rt△ABC]中，過直角頂點(diǎn)[C]在[∠ACB]的內(nèi)部任意作一條射線[CM]交[AB]邊于點(diǎn)[M]，則[AM小于AC]的概率為__________.

分析 在[∠ACB]內(nèi)的射線[CM]是均勻分布的，所以射線[CM]在[∠ACB]內(nèi)的任何位置都是等可能的. 因?yàn)閇AM]的大小與點(diǎn)[M]在[AB]上的位置有關(guān)，為了確保[AM

解 如圖所示，在[AB]上截取[AC=AC]，連接[CC]，

則[∠ACC=∠ACC].

在[△CAC]中，[∠A=45°，][∴∠ACC=67.5°.]

故所求的概率[P=∠ACC∠ACB=67.5°90°=34.]

點(diǎn)評(píng) 解答本題時(shí)，要特別注意“在[∠ACB]的內(nèi)部任意作一條射線[CM交AB]邊于點(diǎn)[M]”這句話，由此確定“測(cè)度”是角度. 如果把這句話改為“在線段[AB]上找一點(diǎn)[M]”，則問題的情境立刻發(fā)生改變，相應(yīng)的“測(cè)度”變?yōu)榫€段的長(zhǎng)度.