圓錐曲線一題多解探究

楊坤++李靜

圓錐曲線是解析幾何的重要知識(shí)之一，它涉及的概念多、公式多、方法多. 在學(xué)習(xí)過(guò)程中，注重一題多解，既可以讓我們了解各知識(shí)模塊之間的聯(lián)系，又可以培養(yǎng)創(chuàng)新思考、發(fā)散思維的能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例1 已知雙曲線[x2a2-y2b2=1a>0，b>0]的兩個(gè)焦點(diǎn)為[F1，F(xiàn)2]，若[P]為其上一點(diǎn)，且[PF1=2PF2]，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）

A. （1，3） B. [1，3]

C. （3，+[∞]） D. [3，+∞]

解法一 利用三角形正、余弦定理求解.

如圖，設(shè)[PF2=m]，[∠F1PF2=θ（0<θ≤π）]，當(dāng)點(diǎn)[P]在右頂點(diǎn)[A]處時(shí)，[θ=π].

[∵e=2c2a=m2+（2m）2-4m2cosθm=5-4cosθ]，

又[-1≤cosθ<1]，∴[e∈1，3]，選B.

解法二 利用三角形的兩邊之和大于第三邊，及兩邊之差小于第三邊. 但要注意可以取到等號(hào)成立，因?yàn)榇嬖谌c(diǎn)一線的情況.

設(shè)[PF2=m]，則[PF1=2m].

[∴PF1-PF2=m=2a].

又[∵PF1+PF2≥F1F2]（當(dāng)且僅當(dāng)[P，F(xiàn)1，F(xiàn)2]三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立），

[∴3m≥2c. 故6a≥2c. ∴e=ca≤3.]

[又e>1]，[∴e∈1，3]，選B.

解法三 利用焦半徑公式確定[a]與[c]的關(guān)系.

設(shè)點(diǎn)[Px0，y0][x0≥a]，由焦半徑公式可得，[PF1=ex0+a，PF2=ex0-a].

[∵PF1=2PF2]，

[∴ex0+a=2ex0-a， 即x0=3ae≥a].

故[e≤3]，又[e>1]，[∴e∈1，3]，選B.

解法四 利用數(shù)形結(jié)合求解.

[∵PF1-PF2=2a]，又[|PF1|=2|PF2|]，

[∴PF2=2a]，即在雙曲線的右支上恒存在點(diǎn)[P]使得[PF2=2a].

由上圖可知，[AF2≤PF2.]

[∴OF2-OA=c-a≤2a].

[∴c≤3a. ∴e=ca≤3].

又[e>1]，[∴e∈1，3]，選B.

點(diǎn)評(píng) 求解圓錐曲線離心率的取值范圍，常涉及列不等式、三角形中角度的變化、圓錐曲線的定義和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大.

例2 已知直線[l]過(guò)點(diǎn)[D0，3]，且與橢圓[4x2+9y2=36]交于不同兩點(diǎn)[M]，[N]，設(shè)[DM=λND]，求實(shí)數(shù)[λ]的取值范圍.

解法一 如圖1，設(shè)[M（x1，y1）] ，[N（x2，y2）] .

（1）當(dāng)直線[l]斜率不存在時(shí)，由于[DADB=5]，且[λ<0]，

故[λ=-5]，或[λ=-15].

（2）當(dāng)直線[l]斜率存在時(shí)，設(shè)[l]：[y=kx+3] ，

聯(lián)立方程[4x2+9y2=36，y=kx+3]消元得，

[（9k2+4）x2+54kx+45=0].①

由①得，[Δ=（54k）2-180（9k2+4）>0]，即[k2>59].

[x1+x2=-54k4+9k2]，[x1?x2=454+9k2].

又∵[DM=λND]，即[（x1，y1-3）=λ（-x1，3-y1）]，

∴[x1=-λx2].

于是[x1+x22x1x2=（1-λ）2-λ=（54k）245（4+9k2）=36×95×（4k2+9）].

[∵k2>59]，[∴365>（1-λ）2-λ>4]，

解得，[-5<λ<-1]，或[-1<λ<-15].

綜上所述，實(shí)數(shù)[λ]的取值范圍是[-5≤λ<-1]，或 [-1<λ≤-15].

解法二 如圖2，[DM]與[ND]反向，

∴[λ<0]，[λ=-DMND].

[∵]直線[l]繞點(diǎn)[D]在直線[l1]和[y]軸之間旋轉(zhuǎn)，

[∴1

于是實(shí)數(shù)[λ]的取值范圍是[-5≤λ<-1]，或[-1<λ≤-15].

解法三 如圖3，[DM]與[ND]反向，

∴[λ<0]，[λ=-DMND].

過(guò)點(diǎn)[M]作[y]軸的垂線，垂足為[M1]；過(guò)點(diǎn)[N]作[y]軸的垂線，垂足為[N1].

因此，[ΔDMM1]∽[ΔDNN1]，∴[DMDN=DM1DN1].

當(dāng)直線[l]繞[D]點(diǎn)從[y]軸向直線[l1]旋轉(zhuǎn)時(shí)（假設(shè)直線[l]與橢圓順次交于[M，N]兩點(diǎn)），[DM1]在逐漸增大，[DN1]在逐漸減小.

于是[15=DBDA≤DM1DN1<1].

當(dāng)[M]，[N]相互交換位置又會(huì)得到，[1

從而實(shí)數(shù)[λ]的取值范圍是[-5≤λ<-1]，或[-1<λ≤-15].

點(diǎn)評(píng) 上述解法一運(yùn)算麻煩，許多同學(xué)只能列出式子，而算不出最后結(jié)果；還需對(duì)特殊情況進(jìn)行討論，有不少同學(xué)就是因?yàn)楹鲆暳藢?duì)特殊情況的討論而丟分. 解法二看似思路清晰、運(yùn)算簡(jiǎn)便，也省去了分類(lèi)討論，在許多同學(xué)看來(lái)似乎是一個(gè)妙法，但仔細(xì)分析就會(huì)發(fā)現(xiàn)，解法二的推理是不嚴(yán)密的. 解法二的推理依據(jù)是直線[l]繞[D]點(diǎn)從[y]軸向直線[l1]旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中（假設(shè)直線[l]與橢圓順次交于[M，N]兩點(diǎn)），[DM]在逐漸將增大，[DN]在逐漸減小，于是比值[NDDM]在逐漸減小. 事實(shí)上，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中[DM]確實(shí)在逐漸增大，但是[DN]卻不是在逐漸減小.[DN]的最大值并不一定是[DA]，它與橢圓的“扁”的程度有關(guān)，也就是說(shuō)[DN]并不是在逐漸減小，由此得出[NDDM]在逐漸減小是欠妥當(dāng)?shù)?，是缺乏推理依?jù)的. 解法三思路清晰、運(yùn)算簡(jiǎn)便，既避免了煩瑣的運(yùn)算和分類(lèi)討論，又彌補(bǔ)了解法二的推理不嚴(yán)密性，不失為一種妙法. 許多直線與橢圓、雙曲線、拋物線相交求參數(shù)范圍的問(wèn)題都可用此法.

例3 已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]過(guò)點(diǎn)[（0，1）]，且離心率為[32].

（1）求橢圓[C]的方程；

（2）[A，B]為橢圓[C]的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)[P]是橢圓[C]上異于[A，B]的動(dòng)點(diǎn)，直線[AP，BP]分別交直線[l：x=22]于[E，F(xiàn)]兩點(diǎn). 證明：以線段[EF]為直徑的圓恒過(guò)[x]軸上的定點(diǎn).

解析 （1）由題意得，[b=1].

而[ca=32]，且[a2=b2+c2]. 解得，[a=2].

[∴]橢圓的方程為[x24+y2=1].

（2）由題意得，[A（-2，0），B（2，0）].

設(shè)[P（x0，y0）]，直線[AP]的方程為[y=y0x0+2（x+2）].

令[x=22]，

則[y=（22+2）y0x0+2]，即[E22，（22+2）y0x0+2].

直線[BP]的方程為[y=y0x0-2（x-2）]，

令[x=22]，

則[y=（22-2）y0x0-2]，即[F22，（22-2）y0x0-2].

證法一：設(shè)點(diǎn)[M（m，0）]在以線段[EF]為直徑的圓上.

則[ME?MF=0]，

即[（m-22）2+（22+2）（22-2）y20x20-4=0].

[∴（m-22）2=4y204-x20].

而[x204+y20=1]，即[4y20=4-x20]，

[∴（m-22）2=1]，[∴m=22+1]，或[m=22-1].

[∴]以線段[EF]為直徑的圓必過(guò)[x]軸上的定點(diǎn)[（22+1，0）]，或[（22-1，0）].

證法二：以線段[EF]為直徑的圓為

[（x-22）2+y-（22+2）y0x0+2?y-（22-2）y0x0-2=0].

令[y=0]得，[（x-22）2+（22+2）（22-2）y20x20-4=0]，

∴[（x-22）2=4y204-x20].

而[x204+y20=1].

即[4y20=4-x20]，

∴[（x-22）2=1]，[∴x=22+1]，或[x=22-1].

[∴]以線段[EF]為直徑的圓必過(guò)[x]軸上的定點(diǎn)[（22+1，0）]，或[（22-1，0）].

證法三：令[P（0，1）]，則[lAP：x-2+y1=1].

令[x=22]得，[E（22，1+2）].

同理，[F（22，1-2）].

∴以[EF]為直徑的圓為[（x-22）2+（y-1）2=2].

當(dāng)[y=0]時(shí)，[x=1+22]，或[x=1-22].

∴圓過(guò)[A（22+1，0），B（22-1，0）].

令[P（x0，y0）]，

直線[AP]的方程為[y=y0x0+2（x+2）]，

令[x=22]，

則[y=（22+2）y0x0+2]，即[E22，（22+2）y0x0+2].

直線[BP]的方程為[y=y0x0-2（x-2）]，

令[x=22]，

則[y=（22-2）y0x0-2]，即[F22，（22-2）y0x0-2].

∵[kAE?kAF=y20?4x20-4=-1]，

∴點(diǎn)[A]在以[EF]為直徑的圓上.

同理，點(diǎn)[B]也在[EF]為直徑的圓上.

∴定點(diǎn)為[A（22+1，0），或B（22-1，0）].

解析幾何中的圓錐曲線問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角、向量、不等式等代數(shù)問(wèn)題來(lái)求解. 在學(xué)習(xí)中可以通過(guò)一題多解，培養(yǎng)自己的分析能力，提高自己的數(shù)學(xué)思維能力，切實(shí)提高自己熟練運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力.