常用邏輯用語(yǔ)誤區(qū)分析

鄒同儉++鐘成剛

非等價(jià)轉(zhuǎn)換導(dǎo)致出錯(cuò)

例1 已知[a∈R]，若函數(shù)[f（x）=（4x2+4ax+a2）x]在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞減，求[a]的取值范圍.

錯(cuò)解 由題意得，[f（x）=20x2+12ax+a22x].

若[f（x）]在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞減，

則[f（x）][<]0，即[20x2+12ax+a2][<]0.

[∴20+12a+a2<0，320+48a+a2<0.]解得，[a∈（-10，-8）].

分析 對(duì)于區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)[f（x）]，“[f（x）>0]”與“[f（x）]單調(diào)遞增”并不是等價(jià)命題.

正解 由題意得，[f（x）=20x2+12ax+a22x].

若[f（x）]在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞減，

則[f（x）][≤]0，即[20x2+12ax+a2][≤]0.

[∴20+12a+a2≤0，320+48a+a2≤0.]解得，[a∈[-10，-8]].

點(diǎn)評(píng) 若[f（x）]為開區(qū)間[（a，b）]上的可導(dǎo)函數(shù)，則“[f（x）>0][?][f（x）]單調(diào)遞增[?][f（x）≥0]”均不為充要條件. 解題時(shí)，需注意非等價(jià)轉(zhuǎn)換產(chǎn)生的漏解、多解問(wèn)題.

對(duì)四種命題的結(jié)構(gòu)不清楚導(dǎo)致出錯(cuò)

例2 命題：“若函數(shù)[f（x）]是偶函數(shù)，則函數(shù)[f（-x）]是偶函數(shù)”的否命題是（ ）

A. 若[f（x）]是奇函數(shù)，則[f（-x）]是奇函數(shù)

B. 若[f（x）]不是偶函數(shù)，則[f（-x）]不是偶函數(shù)

C. 若[f（-x）]是偶函數(shù)，則[f（x）]是偶函數(shù)

D. 若[f（-x）]不是偶函數(shù)，則[f（x）]不是偶函數(shù)

錯(cuò)解 A. 因?yàn)榉衩}是對(duì)條件和結(jié)論都否定，而偶函數(shù)的否定是奇函數(shù)，故選A.

分析 本題主要考查常用邏輯用語(yǔ)中否命題的寫法，容易出現(xiàn)兩個(gè)錯(cuò)誤：一是容易把命題的否定和否命題混淆，二是對(duì)函數(shù)的奇偶性分類不清，錯(cuò)誤地認(rèn)為一個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)就是偶函數(shù).

正解 一個(gè)命題的否命題是對(duì)原命題的條件和結(jié)論都否定. “函數(shù)[f（x）]是偶函數(shù)“的否定是“函數(shù)[f（x）]不是偶函數(shù)”，“函數(shù)[f（-x）]是偶函數(shù)”的否定是“函數(shù)[f（-x）]不是偶函數(shù)”. 故選B.

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握互逆命題、否命題、逆否命題的概念及三者的區(qū)別.

對(duì)關(guān)鍵詞的否定形式掌握不準(zhǔn)確導(dǎo)致出錯(cuò)

例3 命題“[a，b]都是負(fù)數(shù)”的否定是（ ）

錯(cuò)解 “[a，b]都是負(fù)數(shù)”的否定是：“[a，b]都不是負(fù)數(shù)”.

分析 錯(cuò)誤地認(rèn)為關(guān)鍵詞“都是”的否定是“都不是”.

正解 “[a，b]都是負(fù)數(shù)”的否定是：“[a，b]不都是負(fù)數(shù)”或“[a，b]中至少有一個(gè)不是負(fù)數(shù)”.

點(diǎn)評(píng) 要正確寫出命題的否定和命題的否命題，必須掌握好一些關(guān)鍵詞語(yǔ)的否定. 例如“一定”的否定是“不一定”，“任意”的否定是“某個(gè)”，“所有的”的否定是“某些”，“[p]或[q]”的否定是“[p]且[q]”等等.

忽視原命題中的隱含條件導(dǎo)致出錯(cuò)

例4 命題：若[x≥0]，則[x2≥0，]其逆否命題是（ ）

錯(cuò)解 “若[x≥0]，則[x2≥0]”的逆否命題是：“若[x2<0]，則[x<0]”.

分析 上面的解法看似沒有問(wèn)題，但仔細(xì)推敲便會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：令[x=i]，則有[x2=i2=-1<0]，但[x=i<0]卻不成立，因?yàn)閺?fù)數(shù)[i]與實(shí)數(shù)0不能比較大小，這就出現(xiàn)了“原命題是真命題，而其逆否命題為假命題”的問(wèn)題了.究其原因，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題出在原命題的隱含條件（大前提）上，事實(shí)上，“[x≥0]”本身隱含了“[x∈R]”這個(gè)大前提，但在上面的解法中卻沒有得到體現(xiàn)，因此，上述逆否命題不是原命題的逆否命題.

正解 原命題應(yīng)該為：當(dāng)[x∈R]時(shí)，若[x≥0]，則[x2≥0].

其逆否命題是：當(dāng)[x∈R]時(shí)，若[x2<0]，則[x<0].

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于某些要改寫為其他形式的命題，最好先利用其逆否命題來(lái)判斷一下是否等價(jià)，若是等價(jià)的，則繼續(xù)改寫，否則要進(jìn)一步明確命題中的隱含條件，將原命題補(bǔ)充完整后再繼續(xù)改寫.

對(duì)充分、必要條件概念理解不清導(dǎo)致出錯(cuò)

例5 使不等式[x2-3x-10≥0]成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）

A. [x>0] B. [x≤0， 或x>2]

C. {-6，6} D. [x≥5， 或x≤-2]

錯(cuò)解 B或D.

分析 分不清誰(shuí)是條件誰(shuí)是結(jié)論，是選項(xiàng)推出不等式，還是不等式成立推出選項(xiàng).

正解 依題意得，所選選項(xiàng)要能保證不等式[x2-3x-10≥0]成立. 但當(dāng)不等式[x2-3x-10≥0]成立時(shí)，所選選項(xiàng)不一定成立. 即所選選項(xiàng)所表示的集合是不等式[x2-3x-10≥0]的解集的真子集. 由不等式[x2-3x-10≥0]解得，[x≥5]，或[x≤-2]. 故應(yīng)該選C.

點(diǎn)評(píng) （1）判斷[p]與[q]之間的充分、必要關(guān)系時(shí)，要注意方向性，要理清推理順序，然后根據(jù)要求作答，“[A]是[B]的充分不必要條件”指的是“[A?B]，但[B]推不出[A]”. （2）要注意合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)命題之間的關(guān)系：①若[p]是[q]的充分不必要條件，則[?p]是[?q]的必要不充分條件；②若[p]是[q]的充要條件，則[?p]是[?q]的充要條件. （3）證明[A]不能推出[B]時(shí)，要會(huì)運(yùn)用反例，即當(dāng)從正面判斷或證明一個(gè)命題的正確或錯(cuò)誤不易進(jìn)行時(shí)，可以通過(guò)舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺?lái)說(shuō)明.

混淆邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與生活中的“或”導(dǎo)致出錯(cuò)

例6 命題[p]：方程[x2-3x-10=0]的根是-2，命題[q]：方程[x2-3x-10=0]的根是5，則命題“方程[x2-3x-10=0]的根是-2或5”是 （填“真”或“假”）命題.

錯(cuò)解 因?yàn)閇p，q]都是假命題，而命題“方程[x2-3x-10=0]的根是-2或5”是[p]或[q]的形式的命題，所以由真值表知，這個(gè)命題是假命題.

分析 上述解答混淆了邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與日常生活中的連詞“或”的含義. 命題“方程[x2-3x-10=0]的根是-2或5”中的“或”，不是邏輯聯(lián)結(jié)詞，而是“和”的意思.

正解 填“真”.

點(diǎn)評(píng) 要正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與日常生活中的連詞“或”的含義. 一方面，邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”有三層含義，如：[x=1]或[y=2]包含了①[x=1]且[y=2]，②[x=1]但[y≠2]，③[x≠1]但[y=2]三種情況；而日常生活中的“或”相當(dāng)于“和”，具有兩者居其一的意思. 另一方面，邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”用來(lái)聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題的語(yǔ)句，這個(gè)命題是復(fù)合命題；而作為連詞的“或”“且”用來(lái)連接兩個(gè)對(duì)象，得到的命題是簡(jiǎn)單命題.

審題不細(xì)、思維不嚴(yán)謹(jǐn)導(dǎo)致出錯(cuò)

例7 已知二次函數(shù)[fx=x2-（m-1）x+2m]在區(qū)間[0，1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)[m]的取值范圍.

錯(cuò)解 由函數(shù)的零點(diǎn)的性質(zhì)得，[f0?f1<0]，即[2mm+2<0]，解得，[-2

所以實(shí)數(shù)[m]的取值范圍為[-2，0].

分析 上面的解法只粗糙地運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，沒有注意此定理的適用范圍，同時(shí)還忽略了問(wèn)題的其他形式：①在區(qū)間[0，1]上有重根；②終點(diǎn)的函數(shù)值可能為0.

正解 （1）當(dāng)方程[x2-（m-1）x+2m=0]在區(qū)間[0，1]上有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)，[Δ=m-12-8m=0]，且[0

（2）當(dāng)方程[x2-（m-1）x+2m=0]有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，①有且只有一根在區(qū)間[0，1]上時(shí)，有[f0?f1<0]，即[2mm+2<0]，解得，[-2

②當(dāng)[f0=0]時(shí)，即[m=0]，[fx=x2+x=0]，解得，[x1=0，x2=-1]，符合題意.

③當(dāng)[f1=0]時(shí)，即[m=-2]，方程可化為[x2+3x-4=0]，解得，[x1=1，x2=-4]，符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)[m]的取值范圍為[-2，0].

點(diǎn)評(píng) （1）使用定理時(shí)，一定要注意定理的適用范圍，范圍以外的要及時(shí)補(bǔ)上來(lái)；（2）在求參數(shù)時(shí)，要注意將函數(shù)零點(diǎn)的特殊性質(zhì)與函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)相結(jié)合.