辨析互斥事件與對立事件

萬青

日常生活中，經(jīng)常會遇到一些無法事先預測結果的隨機事件，事件與事件的關系是研究概率的基礎，而互斥事件與對立事件是事件的關系中兩個易混淆的概念，同學們在學習過程中一定要正確理解. 這樣才能夯實基礎，有條理地思考，從而準確地分析問題，解決問題.

互斥事件和對立事件都是對兩個事件而言的，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系.在一次試驗中，兩個互斥的事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，而兩個對立事件則必有一個發(fā)生，但不可能同時發(fā)生. 從集合的角度看：幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合彼此交集是空集，而事件A的對應事件[A]包含的結果組成的集合，是全集中由事件A所包含的結果組成的集合的補集. 下面通過實例對這兩個概念進行辨析：

例1 ?在擲一枚骰子的試驗中，可以定義許多事件：

C1={出現(xiàn)1點};C2={出現(xiàn)2點};C3={出現(xiàn)3點};

C4={出現(xiàn)4點};C5={出現(xiàn)5點};C6={出現(xiàn)6點};

D1={出現(xiàn)的點數(shù)不大于1};D2={出現(xiàn)的點數(shù)大于6};D3={出現(xiàn)的點數(shù)小于5};

E={出現(xiàn)的點數(shù)小于7};F={出現(xiàn)的點數(shù)大于6};G={出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)};

H={出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)}…

（1）判斷下列各對事件是否是互斥事件，并說明理由.

①事件C1與事件C2

②事件C1與事件D3

③事件E與事件F

分析 ?判斷兩個事件是否為互斥事件就是考查它們能否同時發(fā)生，如果不能同時發(fā)生則是互斥事件，反之就不是互斥事件.

解 ?①是互斥事件. 因為擲一枚骰子每次只能出現(xiàn)一個數(shù)，出現(xiàn)1點就不可能同時出現(xiàn)2點，所以是一對互斥事件.

②不可能是互斥事件. 因為“出現(xiàn)的點數(shù)小于5”包含“出現(xiàn)1點”，所以事件C1與事件D3可同時發(fā)生.

③是互斥事件. 因為事件E為必然事件，它一定會發(fā)生的，而事件F為不可能事件，它一定不會發(fā)生的，即二者不可能同時發(fā)生，用集合的觀點分析：事件E為全集，事件F為空集，二者的交集是空集，即不可能同時發(fā)生.

點撥 ?互斥事件是概率知識中的重要概念，可以從兩個方面來說明：用定義看是否同時發(fā)生;類比集合的運算，看交集是否為空集，若為空集，則兩事件是互斥的.如果事件A1，A2…An中的任何兩個都是互斥事件，則稱事件A1，A2…An彼此互斥，如題目中的C1，C2…C6是彼此互斥的，反映在集合上，表現(xiàn)為由各個事件所含的結果組成的集合彼此交集為空集.

（2）判斷下列各對事件是否構成對立事件？

①事件G與事件H ②事件E與事件F

分析 ?判斷兩事件是否構成對立事件，關鍵看兩事件所含結果組成的集合是否互為補集，若是互為補集則兩事件是對立事件.

解 ?①因為骰子的出現(xiàn)的點數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”所組成的集合的補集就是“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”所組成的集合.所以事件G與事件H構成對立事件.

②因為在集合中，全集的補集為空集.事件E所含結果構成的集合是全集，而事件F所含結果構成的集合是空集，所以二者也是對立事件.

點撥 ?對立事件是概率中又一個重要概念，要正確理解，就要清楚對立事件是對兩個事件而言的，這兩個事件中必須有一個發(fā)生而另一個不發(fā)生. 從集合角度看，由事件A所含結果組成的集合，是全集中事件A所含結果組成的集合的補集.

（3）判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由.

①事件F與事件G ②事件G與事件H

解 ?①是互斥事件，不是對立事件.因為事件F是不可能事件，它與事件G不可能同時發(fā)生，所以二者是互斥事件，同時不能保證其中必有一個發(fā)生這是由于骰子還可能出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)，因此，二者不是對立事件.

②既是互斥事件，又是對立事件. 因為骰子出現(xiàn)的點數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，只能出現(xiàn)一個數(shù)，所以這兩個事件不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生.

點撥 ?互斥事件和對立事件都是就兩個事件而言的，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件是在互斥事件基礎上，其中必有一個發(fā)生的互斥事件，即對立事件是特殊的互斥事件. 因此對立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，也就是說互斥事件是對立事件的必要但不充分條件.

例2 ?某射手射擊一次，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率分別為0.12，0.32，0.27，0.11. 若這名射手射擊一次，求：

（1）射中9環(huán)或8環(huán)的概率;

（2）至少射中7環(huán)的概率.

解 設射手射擊一次射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)分別記為事件A，B，C，D.它們是彼此互斥的，其概率分別為P（A）=0.12，P（B）=0.32，P（C）=0.27，P（D）=0.11.

（1）射中9環(huán)或8環(huán)為事件B∪C，

則P（B∪C）=P（B）+P（C）=0.32+0.27=0.59.

故射中9環(huán)或8環(huán)的概率為0.59.

（2）至少射中7環(huán)為事件A∪B∪C∪D，

則P（A∪B∪C∪D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=0.82.

故至少射中7環(huán)的概率為0.82.

點撥 ?本題是概率計算題中的典型題型，需要辨清事件之間的關系，從而選擇正確的概率計算公式.

例3 ?甲、乙兩人下棋，乙不輸?shù)母怕适?.7，下成和棋的概率為0.5，分別求出甲、乙獲勝的概率.

分析 ?記甲勝為事件A，乙勝為事件B，和棋為事件C，故事件A，B，C彼此互斥，乙不輸為事件B∪C.

解法一 ?甲、乙兩人下棋，結果只有三種：甲勝、和棋、乙勝，彼此都是互斥的. 其中乙不輸為互斥事件“乙勝”與“和棋”的并集，從而可以求出乙勝的概率，并可以求出甲勝的概率.

P（B）=P（B∪C）-P（C），

又根據(jù)題意有P（B∪C）=0.7，P（C）=0.5，

故P（B）=0.7-0.5=0.2，P（A）=1-P（B∪C）=1-0.7=0.3.

所以甲、乙獲勝的概率分別為0.3，0.2.

解法二 ?乙不輸與甲獲勝為對立事件，故可直接求出甲獲勝的概率，從而求出乙獲勝的概率.

乙不輸與甲獲勝是對立事件，故P（A）=1-0.7=0.3，又結果只有三種：甲勝、和棋、乙勝，且彼此互斥. 故P（B）=1-P（A）-P（C）=1-0.3-0.5=0.2，所以甲、乙獲勝的概率分別為0.3，0.2.

總結 ?解答此類問題的關鍵，在于判斷兩事件是互斥事件還是對立事件，也就是牢記“在一次試驗中，兩個互斥的事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生，而兩個對立事件則必有一個發(fā)生，但不可能同時發(fā)生”. 只要我們正確理解了二者的概念，抓住了本質(zhì)，再根據(jù)已經(jīng)判斷出的情況，開展后續(xù)計算求解，那么這類問題也就迎刃而解了.

[練習]

1.一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ? ）

A.至多一次中靶 B.兩次都中靶

C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶

2.若P（AUB）=P（A）+P（B）=1，則事件A與B的關系是（ ? ）

A.互斥不對立 B.對立不互斥

C.互斥且對立 D.以上答案都不對

3.從撲克牌40張（紅、黑、方、梅點數(shù)從1到10各10張）中，任取一張.判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由.

（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”;

（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”;

（3）“抽出的牌點數(shù)為5的位數(shù)”與“抽的牌點數(shù)大于9”.

[參考答案]

1.D ?2.D

3.（1）是互斥事件，不是對立事件;

（2）既是互斥事件，又是對立事件;

（3）不是互斥事件，更不可能是對立事件.