分類(lèi)討論思想在兩個(gè)計(jì)數(shù)原理中的應(yīng)用

■重慶市鐵路中學(xué)校 何成寶

分類(lèi)討論思想在兩個(gè)計(jì)數(shù)原理中的應(yīng)用

■重慶市鐵路中學(xué)校 何成寶

分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理,它們的區(qū)別在于:分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與“分類(lèi)”有關(guān),各種方法相互獨(dú)立,用其中任何一種方法都可以完成這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理與“分步”有關(guān),各個(gè)步驟相互依存,只有各個(gè)步驟都完成了,這件事才算完成。從思想方法的角度看,分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用是將一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行“分類(lèi)”思考,分步乘法計(jì)數(shù)原理是將問(wèn)題進(jìn)行“分步”思考。無(wú)論是“分類(lèi)”還是“分步”,都要涉及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用。下面對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理中的分類(lèi)討論思想的應(yīng)用進(jìn)行歸納,供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考。

類(lèi)型一、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)2本,同樣的集郵冊(cè)3本,從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友,每位朋友1本,則不同的贈(zèng)送方法共有( )。

A.4種 B.10種

C.18種 D.20種

思路點(diǎn)撥:應(yīng)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理,首先根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn),確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn),分類(lèi)應(yīng)滿(mǎn)足:完成一件事的任何一種方法,必屬于某一類(lèi)且僅屬于這一類(lèi)。本題要注意畫(huà)冊(cè)相同,集郵冊(cè)相同,這是重復(fù)元素,不能簡(jiǎn)單按照排列知識(shí)來(lái)求,所以要分類(lèi)進(jìn)行求解。

解本題分兩步進(jìn)行:第一步先選出2人選修課程甲,第二步再把剩余2人分別從乙、丙2門(mén)課程中選修1門(mén)。

類(lèi)型二、分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

4位同學(xué)每人從甲、乙、丙3門(mén)課程中選修1門(mén),則恰有2人選修課程甲的不同選法共有( )。

A.12種 B.24種

C.30種 D.36種

思路點(diǎn)撥:“分步”是乘法原理的標(biāo)志。要注意在同一類(lèi)中合理分步的幾個(gè)原則:分步標(biāo)準(zhǔn)必須一致;分步要做到步驟關(guān)聯(lián),步驟

類(lèi)型三、兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用

從1到20這20個(gè)正整數(shù)中,每次取出3個(gè),問(wèn):它們可以組成多少組不同的等差數(shù)列?

思路點(diǎn)撥:本題是一道計(jì)數(shù)原理與等差數(shù)列的綜合題,能構(gòu)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)有很多,到底如何取這三個(gè)數(shù)才能準(zhǔn)確地、不重不漏地找出所有能構(gòu)成的等差數(shù)列是本題的難點(diǎn)。

解析:依題意,要使這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,公差d的取值可以為±1,±2,…,±9,因此分18類(lèi)。

當(dāng)d=±1時(shí),可以組成36組不同的等差數(shù)列;

當(dāng)d=±2時(shí),可以組成32組不同的等差數(shù)列;

……

當(dāng)d=±9時(shí),可以組成4組不同的等差數(shù)列。

根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知,共有36+32 +28+…+8+4=180(組)不同的等差數(shù)列。

按照公差的大小來(lái)分類(lèi)能使取出的三個(gè)數(shù)不重不漏,那么每一類(lèi)型有多少個(gè)三位數(shù)?比如,當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為1時(shí),能構(gòu)成等差數(shù)列的三個(gè)數(shù)為123;234;345;…;1819 20,查個(gè)數(shù)時(shí),看每組數(shù)的第一個(gè)數(shù),因此共18個(gè)等差數(shù)列。

(責(zé)任編輯 徐利杰)