主元反距離加權(quán)迭代在病態(tài)平差模型中的應用

徐晶鑫，黃其歡

（1. 河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京210098）

主元反距離加權(quán)迭代在病態(tài)平差模型中的應用

徐晶鑫1，黃其歡1

（1. 河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京210098）

主元加權(quán)法在一定程度上克服了最小二乘估計稀疏方差較大的問題，但并沒有較好的方法能準確選取權(quán)重參數(shù)，一定程度上制約了該方法的可用性。引入測量數(shù)據(jù)中反距離作為增加權(quán)重，降低了原主元權(quán)重參數(shù)的影響，使該方法在解決病態(tài)平差線性方程中具有更好的穩(wěn)定性。

反距離加權(quán)；測量平差；主元加權(quán)迭代法；病態(tài)線性方程

在大數(shù)據(jù)時代背景下，解算大量線性模型時會遇到一些病態(tài)的線性方程組，而通過最小二乘估計等方法對方程進行求解時，估計值會出現(xiàn)嚴重的偏差，極大地影響了相關(guān)科技工作的進展[1]。在測量平差工作中，解決數(shù)據(jù)之間的病態(tài)性，加強數(shù)據(jù)整體的穩(wěn)定性是當前不可忽視的一個重要問題。

測量平差中，通過已有觀測數(shù)據(jù)求解擬合模型的系數(shù)矩陣時，由于觀測數(shù)據(jù)中存在誤差，一旦矩陣行或列向量間有較強的相關(guān)性，這些觀測矩陣則會呈現(xiàn)病態(tài)，即XTX的奇異程度高，使得最小二乘估計的系數(shù)方差較大，其模型的普適性較低?，F(xiàn)有的解決方法主要包括嶺估計、奇異值分解法、遺傳算法和誤差方程正交化等。嶺估計，又稱嶺回歸，是Hoerle于1962 年提出，并由他和Kennard于1970年做了系統(tǒng)的發(fā)展[2]。嶺估計是一種有偏估計，利用有偏換取平差模型的穩(wěn)定性。奇異值分解法、遺傳算法和誤差方程正交化原理復雜，在實際工作中應用不便。文獻[3]將主元加權(quán)迭代法引入了測量數(shù)據(jù)的平差處理，采用主元加權(quán)的預處理手段，降低系數(shù)矩陣的條件數(shù)，改善矩陣的病態(tài)性；再經(jīng)過一組迭代公式求解，提高了測量數(shù)據(jù)的準確性。但是，該方法在選取主元權(quán)重參數(shù)α時存在確定困難的關(guān)鍵問題，一旦權(quán)重參數(shù)選取不當，平差數(shù)據(jù)的精度會大大降低。

本文引入測量數(shù)據(jù)中的反距離作為增加權(quán)重，降低了權(quán)重參數(shù)α對該方法的決定性作用，根據(jù)測量的實際情況選取相應的反距離權(quán)重參數(shù)P，增強了模型的穩(wěn)定性。本文分別就良態(tài)和病態(tài)兩種情況選擇實例計算，并與高斯約化法、譜修正法進行了對比分析。

1 主元反距離加權(quán)迭代法

1.1 反距離權(quán)重

設(shè)估值點為Q，通過周圍測得的觀測值來估值計算Q點的近似值，每站觀測的距離為d。因為距離不同的觀測點對估值的貢獻不同，則賦予各參與平差點位數(shù)據(jù)不同的權(quán)重p，將反距離作為估值計算的權(quán)重，其一般形式為[4]：

式中，pi為權(quán)值；di為i點和待估點的水平距離；L為估值前確定的可變參數(shù)。

設(shè)估值點為i，則可得到關(guān)于距離的權(quán)陣為：

1.2 計算步驟

測量數(shù)據(jù)處理中存在諸多病態(tài)線性方程組，一般形式為：

線性方程組A的內(nèi)部元素之間存在一定的共線性，即ATA的奇異程度較高，在利用最小二乘估計時其系數(shù)方差較大。同時可用矩陣的條件數(shù)cond(A)來衡量線性方程的病態(tài)性，當矩陣嚴重病態(tài)時，cond(A)＞＞1[5]。

將反距離的權(quán)重疊加到主元來改善ATA的奇異程度，即

式（4）兩邊都含有xa可以構(gòu)造迭代公式：

2 算例分析

針對平差方程良態(tài)和病態(tài)兩種情況，通過實例分別分析利用主元反距離加權(quán)迭代法、主元加權(quán)迭代法、高斯約化法和譜修正法的平差估值效果。

2.1 平差方程的良態(tài)問題

本算例取自文獻[3]，其法方程為：

此方程為良態(tài)方程，利用主元反距離加權(quán)迭代法、高斯約化法和譜修正法對方程進行計算，結(jié)果見表1。

表1 良態(tài)方程計算結(jié)果

表1中計算結(jié)果完全相同，由此可見，當線性方程良態(tài)時，主元反距離加權(quán)迭代法可以得到與譜修正法、高斯約化法和主元加權(quán)迭代法一致的結(jié)果；且與主元加權(quán)迭代法相比，主元反距離加權(quán)迭代法大大弱化了權(quán)重參數(shù)α的影響。

2.2 平差方程的病態(tài)問題

本算例取自文獻[6]，其法方程為：

此方程為病態(tài)方程，ATA奇異程度極高。利用高斯約化法、譜修正法和主元反距離加權(quán)迭代法分別進行了10次迭代計算，結(jié)果見表2。

表2 病態(tài)方程計算結(jié)果

由表2可知，主元反距離加權(quán)迭代法很好地改善了病態(tài)平差方程中最小二乘估計，且效果要優(yōu)于譜修正法和高斯約化法。此外，在病態(tài)線性方程組的解算過程中，不在完全受權(quán)重參數(shù)α的制約，在本算例中，α的選取在1～4之間都能達到較高的方程解算精度。

3 結(jié) 語

主元反距離加權(quán)迭代法不僅在良態(tài)平差線性方程組中與譜修正法、高斯約化法有較為一致的精確解，而且在病態(tài)平差線性方程中，能夠較好地改善最小二乘估值的解算精度。主元反距離加權(quán)迭代法引入反距離作為解算方程的權(quán)值，改善了主元加權(quán)迭代法原有的解算問題：權(quán)重參數(shù)的選取。該方法更加具有選擇性，減少了對權(quán)重參數(shù)的依賴性，增加了迭代方程的穩(wěn)定性，且達到了較高的解算精度。在平差線性方程解算的一般問題中，無論方程有無病態(tài)都能通過該方法解算得到較高精度，結(jié)合測量工作實際，迭代解算方程簡單實用，具有較好的適用性。

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1672-4623（2017）01-0072-02

10.3969/j.issn.1672-4623.2017.01.022

徐晶鑫，碩士研究生，主要從事測量數(shù)據(jù)處理、三維激光掃描等方面的研究。

2015-09-06。

項目來源：國家自然科學基金青年基金資助項目（41304025）。