時間分割圓弧插補算法的改進

李彥奎，呂彥明

(江南大學 機械工程學院，江蘇 無錫 214122)

時間分割圓弧插補算法的改進

李彥奎，呂彥明

(江南大學 機械工程學院，江蘇 無錫 214122)

插補算法是數控機床的重要組成部分，插補算法的優(yōu)劣直接影響了機床的加工性功能。對于現有的時間分割圓弧插補方法大多采用的是近似計算，計算過程復雜，插補精度和插補效率相對較低。為提高機床的加工性功能，文章基于等弦高誤差理論對原有的時間分割圓弧插補算法進行改進，改進后的插補算法計算簡便，實現了插補過程的無近似計算，且使每一個插補點都落在插補圓弧上；在保證插補精度的條件下，因為在插補計算過程中采用了最大允許弦高誤差，實現了插補效率的最大化。

等弦高誤差；時間分割圓弧插補；計算簡便；無近似計算；插補效率

0 引言

近年來我國機械制造業(yè)面臨著自動化程度和加工效率較低等問題，為解決這一問題，國家把高檔數控機床列入了中國制造2025的計劃之中。在數控機床的計算機控制系統(tǒng)中插補算法是其最基本而又極為重要的組成部分，衡量插補算法優(yōu)劣的兩個主要指標：插補精度和插補效率。插補算法的優(yōu)劣直接影響了機床的加工性能，為提高機床的加工性能，對插補算法的研究就變得極為重要。

“插補”是根據輪廓形狀和進給速度的要求，對輪廓曲線的起點、終點之間的空間進行數據點密化，密化到點與點之間的距離為一個脈沖當量，以此控制各軸運動，從而形成要求的輪廓軌跡[1]。文章在前人的基礎上對時間分割圓弧插補算法進行了研究。時間分割圓弧插補算法是用弦線逼近圓弧輪廓曲線，實現圓弧插補。對于時間分割圓弧插補算法的計算，目前大多數教材均采用近似算法[2-3]。很多學者也對該算法進行了一定的研究，孔德彭等[4]使用插值法在原有的兩個插補點之間增加插補點，使插補點密化，提高了插補的精度。王忠[5]運用等價無窮小理論，將正切函數等價成步距角的一次函數，實現了計算過程的去三角化，簡化了計算。也有學者通過三角函數和插補圓弧參數及步長之間的轉換和基于等步長法，實現了插補的無近似計算[6-9]。在一定程度上提高了插補精度和效率。

以上時間分割圓弧插補算法是以步距角或步長為參數，且計算過程大多采用近似計算，計算過程較為復雜。為簡化計算，提高差不效率，文章基于等弦高誤差理論，在保證插補精度的條件下，采用最大允許弦高誤差為參數，對時間分割圓弧插補算法進行改進。根據計算推導出了下一插補點和當前已插補點之間成線性關系，計算推導過程簡便，實現了無近似計算，使得每個插補點都落在圓弧上；由于采用了最大允許弦高誤差，使得插補步長最大化，進而使插補效率最大化。

1 時間分割插補法原理

如圖1所示，A是當前已插補點，B是下一個插補瞬時點，其坐標分別為A(xi，yi)、B(xi+1，yi+1)。插補是指由已加工點A求出下一個待插補點B，實質上是求在一個插補周期內，沿x軸和y軸的進給增量Δx和Δy。圖中弦AB是圓弧插補每個周期的進給步長l。AP是A點的切線，M是AB的中點E是AF的中點，且ME⊥AF,OM⊥AB。

圖1 第一象限圓弧插補示意圖

根據三角函數之間的轉換可以得出：

(1)

式(1)反應了當前已插補點與增量Δx和Δy之間的關系，只要計算出Δx和Δy，就可求出新的插補點坐標,即：

(2)

關鍵是Δx和Δy的求解。由于式(1)中cosα和sinα都是未知數難以求解，所以必須采用近似計算的方法，用cos45°和sin45°代替式(1)中cosα和sinα，即：

由關系式

進而求得Δx：

Δx=lcosα

(3)

將式(3)代入式(1)可求得Δy。

求出沿x軸和y軸的進給增量Δx和Δy，根據式(2)可求得新的插補點坐標。

此方法的缺點就是采用了近似計算，造成了速度的波動，另外在計算坐標增量時要進行反復迭代，計算復雜，浪費時間，降低了插補效率。

2 等弦高誤差原理

等弦高誤差是指：對于一條曲線,其理論輪廓曲線與每段實際插補曲線之間的最大間距相等[10-11]。如圖2已知理論曲線Q(x,y)，起點P(x0，y0)和給定最大允許誤差為δ，求曲線Q(x,y)上的插補點P1，P2……Pn。過點P0作一半徑為δ的圓，作圓與理論曲線的公切線MN。切點分別為M(xm,ym)，N(xn,yn)。

圖2 等弦高誤差原理示意圖

(1)求公切線斜率

A樣品空白對照——25 μl樣品+25 μl底物（37 ℃孵育10 min）+50 μl蒸餾水（37 ℃下孵育 60 min）+100 μl醋酸-醋酸鈉緩沖溶液；

設公切線MN的斜率為kmn，則:

(4)

由已知條件知：

(5)

四個方程,四個未知數,由式(4)和式(5)求出kmn。

(2)求插補點

已知公切線斜率kmn，直線P0P1過點P0且與Q(x,y)相交，其交點就是所求點P1。根據方程：

求得新的插補點坐標P1點。然后根據當前求得的插補點再求下一個插補點，以此類推。在保證插補精度的條件下，由于采用了最大允許插補弦高誤差，使插補進給步長最大化，該方法實現了插補效率的最大化。

3 改進的時間分割圓弧插補算法

如圖3所示，以第一象限逆時針圓弧插補為例。已知被插補圓O的半徑為R，插補起點P0(x0，y0)，允許的最大加工誤差為δ。求下一個插補坐標點P1，P2……Pn。過點O作半徑為(R-δ)的同心圓，過點P0作小圓的切線，切點為N(xn，yn)，交大圓于一點，該點就是所求的點P1。過點O作ON⊥P0P1，交大圓于點M，所以MN=δ。

圖3 插補示意圖

(1)求N點坐標

(6)

由式(6)得：

(2)求P1點坐標

因為N是P0P1的中點，所以：

由此可以得出：

x1=Ax0-By0y1=Ay0+Bx0

因為A，B是常數，由上式得出了下一插補點和當前插補點的線性關系，在插補前可以將A，B值預先算出，在插補過程中對A，B進行賦值，從而避免了采用近似計算造成的速度波動和計算過程的反復迭代。使得插補計算過程變得簡便，且每一個插補點都落在圓弧，提高了插補效率。由于在插補過程中采用最大允許弦高誤差，即實現了插補進給步長的最大化，最大程度的提高了插補效率。

4 插補實例

利用VB對半徑為50mm的圓弧在第一象限內作逆時針插補，插補的起點為(50,0)，終點為(0,50)，最大允許弦高誤差為0.02。圖4是以最大允許弦高誤差為參數的插補計算過程；圖5是以步距角為參數，步距角為0.04，利用等價無窮小將三角函數轉化成步距角的一次函數的插補計算過程[5]，其步長f和步距角θ應滿足式(7)和式(8)：

(7)

(8)

圖4 插補計算過程 圖5 插補計算過程

在圓柱形零件加工的過程中，我們已知被加工零件的最大允許加工誤差。在該例中，當我們直接運用最大允許加工誤差為參數進行插補計算時，實現了插補步長的最大化，所用的插補步數為29步；當我們以步距角為參數時，根據式(7)先估算出步長，再由式(8)根據步長算出步距角進行插補計算時，所用步數為40步。由于同類機床的插補周期相同，例如在FANUC7M系統(tǒng)其插補周期為8ms，故在滿足精度的前提下，前者的插補效率優(yōu)于后者。

5 結論

由理論推導和實例模擬分析得出以下結論：

(1)根據計算推導出了相鄰已插補點和下一插補點之間的關系，二者成線性關系。計算過程無近似計算，使得每一個點都落在圓弧上。

(2)采用最大弦高誤差為參數，避免了繁瑣的計算，使計算過程更加簡便，無累積誤差。

(3)在時間分割圓弧插補計算過程中，直接運用最大弦高誤差為參數進行插補運算，實現了插補步長的最大化，進而最大程度的提高了插補效率。

[1]SpirosGPapaioannou.Interpolationalgorithmsfornumericalcontrol[J].ComputersinIndustry, 1979(1):27-40.

[2] 何雪明，吳曉光，常興.數控技術[M]. 湖北：華中科技大學出版社，2006.

[3] 杜君文.數控技術[M].天津：天津大學出版社，2002.

[4] 孔德彭，張國平，張玉姣.基于圓弧插補的時間分割插補算法改進[J].機械與電子，2010(2):33-37.

[5] 王忠.時間分割圓弧插補新算法[J]. 組合機床與自動化加工技術,2006(5):33-34.

[6] 周慧.數據采樣法圓弧插補的新算法[J].組合機床與自動化加工技術,2004(2):40-41,44.

[7] 李莉，馮志永.數控系統(tǒng)中圓弧插補算法的改進和實現[J]. 組合機床與自動化加工技術,2009(7):61-65.

[8] 張永剛.時間分割圓弧插補的新算法[J].機械制造與自動化，2015(2):63-64.

[9] 伍胡平，周亞軍.數據采樣插補算法的研究[J].組合機床與自動化加工技術,2008(9):13-15,19.

[10]YJLin,TSLee.Anadaptivetoolpathgenera-tionalgorithmforprecisionsurfacemachining[J].Computer-AidedDesign, 1999,31:237-247.

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(編輯 李秀敏)

Improvement of Time Segmentation Arc Interpolation Algorithm

LI Yan-kui，LV Yan-ming

(School of Mechanical Engineering，Jiangnan University，Wuxi Jiangsu 214122，China)

Directly affecting the machining features of CNC machine tools, interpolation algorithm is an vital part of CNC machine tools.For the existing most of time segmentation arc interpolation algorithms the process of calculation are complex and approximate calculation is adopted.In order to improve the machining features, based on the theory of equal chord deviation error the original time segmentation arc interpolation algorithm is improved in the paper and the improved arc interpolation algorithm which is simple achieves the interpolation process of no approximate calculation and each interpolation point falls on the interpolation arc. Under the co- ndition of guaranteeing interpolation accuracy, because of the maximum allowed chord deviation error used in the process of interpolation calculating , the maximization of the interpolation efficiency is come true.

equal chord deviation error;time segmentation arc interpolation;simple calculation;no approximate calculation; interpolation efficiency

1001-2265(2017)01-0016-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.01.005

2016-03-18；

2016-04-15

李彥奎(1989—)，男，河南商丘人，江南大學研究生，研究方向CAD、CAM，(E-mail)1091018151@qq.com；通訊作者：呂彥明(1989—)，男，山西和順人，江南大學教授，博士，研究方向為CAD、CAM。

TH16;TG65

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