任意邊界條件彈性桿結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性分析

許得水， 杜敬濤， 李文達(dá)， 楊鐵軍， 李玩幽

(哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源工程學(xué)院, 哈爾濱 150001)

任意邊界條件彈性桿結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性分析

許得水， 杜敬濤， 李文達(dá)， 楊鐵軍， 李玩幽

(哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源工程學(xué)院, 哈爾濱 150001)

采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法建立了任意邊界條件彈性桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性預(yù)報(bào)模型。針對(duì)傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)在扭振邊界處存在的位移導(dǎo)數(shù)不連續(xù)問(wèn)題，通過(guò)改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)的方法改善解的收斂性和準(zhǔn)確性。彈性桿結(jié)構(gòu)扭振微分方程與任意邊界條件方程進(jìn)行聯(lián)合求解，得到彈性桿扭振問(wèn)題的特征矩陣方程。數(shù)值算例分析結(jié)果充分驗(yàn)證了本文模型的可行性與正確性。

彈性桿；扭轉(zhuǎn)振動(dòng)；邊界條件；傅里葉級(jí)數(shù)

彈性桿(或軸)結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于船舶推進(jìn)、石油鉆探、傳動(dòng)軸系等眾多工程場(chǎng)合，當(dāng)主動(dòng)力矩與負(fù)荷反力矩存在不平衡時(shí)，容易引起彈性桿結(jié)構(gòu)繞軸線進(jìn)行的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。全面理解彈性桿結(jié)構(gòu)扭振特性是對(duì)此類復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)及其振動(dòng)控制的重要基礎(chǔ)與前提。為此，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者圍繞彈性桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析開展了大量的研究。

TEFFT等[1]通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試研究了方形截面均勻桿結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)共振行為，扭振固有頻率采用比例因子進(jìn)行表征，他們發(fā)現(xiàn)該參數(shù)隨彈性桿結(jié)構(gòu)截面積與長(zhǎng)度比增大而增大。PAUL等[2]分析了彈性圓桿結(jié)構(gòu)扭振強(qiáng)迫響應(yīng)問(wèn)題，圓桿一端與彈性半空間自由表面相連，另一端受到簡(jiǎn)諧扭矩作用，頻響曲線表明阻尼效應(yīng)隨彈性桿結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)徑比減小而增強(qiáng)。RAO[3]考慮帶有彈性支撐的軸系與管路系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性，得到了各種情況下的扭振固有頻率參數(shù)。劉清友等[4]利用差分法求解了鉆柱扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型。

劉志先[5]采用Bessel函數(shù)法對(duì)楔形直桿的縱振和扭振固有頻率進(jìn)行了推算。RAFIEE等[6]利用Bessel及Neumann特殊函數(shù)建立了變截面彈性桿扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)解析解。楊立軍等[7]采用攝動(dòng)法研究邊界面桿軸向和扭轉(zhuǎn)固有振動(dòng)，結(jié)合邊界條件得到固有頻率的特征方程及頻率參數(shù)。CHONDROS[8]根據(jù)變分原理建立了含有周向裂紋的彈性圓桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析模型。WEI等[9]研究了使用壓電式執(zhí)行機(jī)構(gòu)和LQG狀態(tài)反饋對(duì)彈性桿結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行主動(dòng)抑制的可行性。BARR[10]研究了非圓形均勻彈性桿的扭轉(zhuǎn)波動(dòng)行為特性。舒歌群[11]基于扭轉(zhuǎn)彈性波理論分析了船舶柴油機(jī)推進(jìn)軸系的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。

近年來(lái)，隨著材料科學(xué)的發(fā)展，具有各種材料特性的彈性桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)也受到了一定關(guān)注。YANG[12]針對(duì)大變形情況下的圓柱形壓電桿結(jié)構(gòu)，采用單模態(tài)Galerkin近似，對(duì)其非線性扭轉(zhuǎn)振動(dòng)行為進(jìn)行了分析。李立群等[13]基于非局部理論研究了具有宏觀尺度的非局部彈性直桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問(wèn)題，采用傳遞函數(shù)法對(duì)常見(jiàn)邊界條件下非局部彈性直桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率及振型進(jìn)行了求解。NARENDAR等[14]分析了微納米尺度桿應(yīng)變梯度扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性。ANSARI等[15]從分子動(dòng)力學(xué)角度研究了氮化硼納米管扭轉(zhuǎn)行為。郁殿龍等[16]分析了聲子晶體桿結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)帶隙特性。

在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，針對(duì)彈性桿結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性分析多集中為理想邊界條件，如自由或固定，所得到的結(jié)論具有較大的局限性。事實(shí)上，邊界條件作為重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)，對(duì)彈性結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性具有顯著影響。楊天智等[17]采用微分求積法求解了兩端彈性支承管道橫向振動(dòng)固有頻率。劉向堯等[18]運(yùn)用傳遞矩陣法建立了復(fù)雜邊界條件下Timoshenko梁結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)模型。本文采用一種改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法對(duì)彈性桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)控制微分方程及任意邊界條件進(jìn)行聯(lián)合求解，建立了任意邊界條件下彈性桿扭振特性分析模型。通過(guò)與現(xiàn)有解析解和有限元法得到的結(jié)果對(duì)比，充分驗(yàn)證了本模型的正確性。在此基礎(chǔ)上，探討了邊界約束剛度系統(tǒng)對(duì)彈性桿扭振特性的影響。

1 理論模型

1.1 彈性扭轉(zhuǎn)約束邊界

如圖1所示，考慮彈性桿結(jié)構(gòu)自由扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問(wèn)題，其中，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，橫截面半徑為R，扭轉(zhuǎn)角位移用θ(x,t)表示。通過(guò)在彈性桿結(jié)構(gòu)左右兩端引入扭轉(zhuǎn)約束彈簧來(lái)模擬任意邊界條件，對(duì)應(yīng)的剛度系數(shù)分別為K0和KL。相應(yīng)地，經(jīng)典邊界條件如自由和固支便可以通過(guò)將彈性剛度系統(tǒng)設(shè)置為零或無(wú)窮大而統(tǒng)一得到，當(dāng)剛度系數(shù)取某有限值時(shí)，則可以表示任意彈性約束邊界條件。

彈性桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)θ(x,t)可以表示為：

(1)

式中:Θ(x)為彈性桿扭振位移分布函數(shù)，ejωt為簡(jiǎn)諧時(shí)間因子，ω是圓頻率，在后續(xù)推導(dǎo)過(guò)程中為了簡(jiǎn)化，將忽略該時(shí)間因子。

圖1 任意邊界條件彈性桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析模型Fig.1 Torsional vibration analysis model of elastic rod structure with arbitrary boundary conditions

根據(jù)彈性桿結(jié)構(gòu)兩端的力矩平衡關(guān)系，邊界條件方程可以寫為如下形式：

(2a)

(2b)

經(jīng)典邊界條件下彈性桿扭轉(zhuǎn)位移函數(shù)通常可以采用傅里葉級(jí)數(shù)進(jìn)行展開：

(3)

這里，λn=nπ/L。

根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)的求導(dǎo)性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的級(jí)數(shù)展開形式將使得位移函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在端點(diǎn)位置始終為零，即：

(4)

(5)

顯然，通過(guò)對(duì)比式(1)可知，傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)展開形式，由于在端點(diǎn)位置上一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，不具備表示任意彈性約束情況下內(nèi)力矩的能力，將很大程度上影響級(jí)數(shù)解的預(yù)報(bào)精度和收斂速度。

為了使傅里葉級(jí)數(shù)在包含端點(diǎn)在內(nèi)的整個(gè)求解域[0,L]上所有相關(guān)導(dǎo)數(shù)足夠連續(xù)(或函數(shù)足夠光滑)，我們?cè)趥鹘y(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)基礎(chǔ)上引入兩項(xiàng)附加多項(xiàng)式函數(shù)，以去除邊界位置的導(dǎo)數(shù)跳躍，相應(yīng)的改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)形式如下：

(6)

式中:ζ1(x)和ζ2(x)是彈性桿扭振角位移輔助函數(shù)。這種情況下，位移場(chǎng)函數(shù)在端點(diǎn)位置上一階導(dǎo)數(shù)不再恒等于零，從而具備表示任意彈性約束情況下內(nèi)力矩的能力，有助于改善級(jí)數(shù)解的精確性和收斂性[19]。此處，相應(yīng)的輔助函數(shù)構(gòu)造如下：

(7)

可以證明：

(8)

(9)

將位移表達(dá)式(6)代入上述方程并整理可得：

(10)

在實(shí)際計(jì)算中，可以采用級(jí)數(shù)截?cái)酁橛邢蘧S，從而上述線性方程組可以進(jìn)一步寫成矩陣形式：

HA=QB

(11)

式中:

(12)

A={a0a1…aN}T

(13)

(14)

B={b1b2}T

(15)

從式(11)可以看出，改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)旋轉(zhuǎn)角位移形式(6)中傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)向量A與輔助多項(xiàng)式系數(shù)B之間并非任意關(guān)系，而是取決于扭轉(zhuǎn)桿結(jié)構(gòu)兩端彈性約束剛度情況。

1.2 彈性桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)方程求解

彈性桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)偏微分方程為：

(16)

式中:β2=ω2J/GIp，ω為彈性桿扭振圓頻率，J為單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，GIp為扭轉(zhuǎn)剛度。

將彈性桿扭轉(zhuǎn)角位移改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)形式(6)代入上述扭轉(zhuǎn)振動(dòng)控制微分方程，可以得到：

(17)

將式(17)中輔助函數(shù)及其二階空間導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步采用傅里葉余弦級(jí)數(shù)展開，利用三角函數(shù)系數(shù)相等可以得到：

(18)

這里，α1n,α2n,ε1n,ε2n分別為所構(gòu)建輔助函數(shù)及其二階空間導(dǎo)數(shù)形式傅里葉展開系數(shù)，相應(yīng)定義如下：

(19)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

對(duì)方程(17)中級(jí)數(shù)進(jìn)行截?cái)?，可以將其寫為更為?jiǎn)潔的矩陣形式：

[CA+BD]+β2[EA+FB]=0

(27)

式中，

(28)

(29)

(30)

(31)

結(jié)合彈性約束邊界方程(11)，任意邊界條件彈性桿結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特征方程為：

(K+β2M)A=0

(32)

式中:K=C+DTQ-1H，M=E+FTQ-1H。

通過(guò)求解式(32)這一標(biāo)準(zhǔn)的矩陣特征值問(wèn)題可以得到彈性約束邊界條件桿結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)參數(shù)，將所對(duì)應(yīng)的特征向量代入至彈性桿扭振角位移改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)形式(6)中，即可得到各種邊界條件下彈性桿扭轉(zhuǎn)模態(tài)振型。

2 數(shù)值算例分析

2.1 兩端固定邊界

正如前文所述，在計(jì)算仿真中需要對(duì)改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)進(jìn)行截?cái)啵?中所列數(shù)據(jù)為固定邊界條件彈性桿前12階固有頻率在不同截?cái)囗?xiàng)數(shù)截?cái)鄶?shù)計(jì)算所得結(jié)果。從此表能夠看出，隨著截?cái)鄶?shù)增加彈性桿扭振模態(tài)頻率計(jì)算精度逐漸提高，當(dāng)截?cái)鄶?shù)分別取35和45時(shí)，頻率計(jì)算結(jié)果已基本收斂，為此在隨后數(shù)值仿真計(jì)算中，所有傅里葉級(jí)數(shù)均取前35項(xiàng)。

2.2 固定-自由邊界

對(duì)于固定-自由邊界條件，我們只需要將彈性桿結(jié)構(gòu)左端邊界約束剛度系數(shù)設(shè)置為1×106，而右端剛度系數(shù)取為零即可。

表1 模擬固定邊界條件無(wú)限大彈簧約束剛度系數(shù)收斂情況

表2 改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)截?cái)囗?xiàng)數(shù)收斂情況

通過(guò)將特征方程求解所得到特征向量系統(tǒng)代入式(6)和(11)便可得到固定-自由邊界條件彈性桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)振型。圖2繪制出本文模態(tài)振型分布與解析解比較，可以看出兩者能夠很好地吻合。對(duì)于一端固定一端自由邊界，解析解模態(tài)函數(shù)為[20]：

(33)

式中:i為模態(tài)序數(shù)。

圖2 固支-自由邊界條件彈性桿扭振模態(tài)振型圖Fig.2 Torsional mode shapes of elastic rod with clamped and free boundary conditions

2.3 彈性-自由邊界

為了更好地揭示此種彈性-自由邊界條件彈性桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率隨無(wú)量剛彈性剛度系數(shù)的變化，表3給出了不同邊界約束剛度下彈性-自由邊界條件本文模型扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率變化情況?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著彈性約束剛度逐漸增加，各階固有頻率逐漸增大，圖3更為直觀地反映了這一變化趨勢(shì)，當(dāng)邊界約束剛度增大到一定程度時(shí)，固有頻率取值趨于穩(wěn)定。

表3 不同無(wú)量綱剛度系數(shù)下彈性桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率

圖3 前五階彈性桿扭振固有頻率隨彈性約束剛度變化情況Fig.3 Variation of first five torsional natural frequencies of elastic rod with different non-dimensional boundary restraining stiffnesses

2.4 任意彈性邊界

模態(tài)階數(shù)ANSYS/Hz本方法/Hz偏差/%187.16887.090.0942290.69290.640.0183539.81539.770.0084797.02796.960.00751056.71056.560.01361317.31317.160.01171578.51578.280.01481840.11839.690.02292101.92101.290.029102363.92363.010.038112626.02624.820.045122888.32886.700.055

圖4 邊界約束剛度對(duì)彈性桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性的影響Fig4 Influence of boundary restraining stiffness on the torsional vibration characteristics of elastic rod

3 結(jié) 論

本文采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)方法建立了任意邊界條件彈性桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性預(yù)報(bào)模型。通過(guò)在彈性桿兩端引入扭轉(zhuǎn)邊界約束彈簧，所有邊界條件都可以通過(guò)設(shè)置相應(yīng)的剛度系數(shù)獲得。針對(duì)傳統(tǒng)傅里葉級(jí)數(shù)在扭振邊界處存在的位移導(dǎo)數(shù)不連續(xù)問(wèn)題，通過(guò)改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)的方法改善解的收斂性和精確性。結(jié)合彈性邊界條件，實(shí)現(xiàn)對(duì)彈性桿控制微分方程的精確求解，通過(guò)求解一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩陣特征值問(wèn)題得到系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

在數(shù)值算例中，應(yīng)用MATLAB語(yǔ)言編程仿真，計(jì)算了各種邊界條件下彈性桿扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)參數(shù)，通過(guò)與文獻(xiàn)中解析解和有限元ANSYS結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，充分驗(yàn)證了本文方法對(duì)于分析不同邊界條件桿結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)特性的可靠性和有效性。當(dāng)邊界條件發(fā)生改變時(shí)，本文模型不需要像有限元那樣對(duì)模型進(jìn)行修正，或解析解那樣進(jìn)行重新推導(dǎo)，僅須設(shè)置邊界約束剛度系數(shù)即可。在此基礎(chǔ)上，探討了邊界約束剛度對(duì)彈性桿扭振模態(tài)頻率的影響規(guī)律，結(jié)果表明彈性桿兩端邊界約束剛度對(duì)扭振固有頻率的影響存在一個(gè)敏感區(qū)域，當(dāng)邊界約束剛度越過(guò)此區(qū)域時(shí)，將不再具有顯著影響；在此范圍內(nèi)，合適改變邊界約束剛度能夠調(diào)整系統(tǒng)某階固有頻率，進(jìn)而可以避免工程實(shí)際中外部激勵(lì)載荷下發(fā)生共振。

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Torsional vibration characteristics of an elastic rod structure under arbitrary boundary conditions

XU Deshui, DU Jingtao, LI Wenda, YANG Tiejun, LI Wanyou

(College of Power and Energy Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

An improved Fourier series method was employed to model torsional vibration of an elastic rod under arbitrary boundary conditions. In order to overcome discontinuities of displacement derivatives of traditional Fourier series at boundary points, an improved method was constructed to improve the convergence and correctness of the series solution. The system characteristic equation was obtained through exactly solving the torsional vibration governing equations and boundary condition equations of the rod. Various numerical examples were presented to validate the feasibility and correctness of the proposed model.

elastic rod; torsional vibration; boundary condition; Fourier series

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11202056)

2015-05-29 修改稿收到日期：2015-11-17

許得水 男，博士生，1989年生

杜敬濤 男，教授，博士生導(dǎo)師，1981年生 E-mail: dujingtao@hrbeu.edu.cn

O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.024