一類四階微分方程兩點(diǎn)邊值問題正解及多個正解的存在性

李 洋

(南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院, 南京 211100)

一類四階微分方程兩點(diǎn)邊值問題正解及多個正解的存在性

李 洋

(南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院, 南京 211100)

四階邊值問題；不動點(diǎn)指數(shù)；正解；第一特征值

微分方程邊值問題是當(dāng)今國內(nèi)外熱門研究課題之一，尤其是微分方程邊值問題正解的存在性更受青睞。梁是工程建筑的重要構(gòu)件之一，根據(jù)梁的兩端支撐條件不同，會得到不同的四階邊值問題。由于其在工程上的重要性，近年來有較多文獻(xiàn)研究了其正解的存在性[1-8]。然而對于描述一端簡單支撐、另一端滑動支撐的彈性梁平衡態(tài)的四階微分方程研究則比較少。

文獻(xiàn)[9]研究了如下的四階邊值問題正解的存在性：

(1)

(2)

其中f(t,u)∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞))。利用不動點(diǎn)指數(shù)理論考慮四階邊值問題當(dāng)參數(shù)λ在[0,∞)變化時正解的存在性。

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文研究一類四階微分方程正解及多個正解的存在性，方程如下：

(3)

(4)

1 預(yù)備知識與引理

本文總假定：(H1)f∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞))。

為敘述方便，引入下列記號

引理1 邊值問題-u″(t)=0,t∈(0,1),u(0)=u′(1)=0的格林函數(shù)為

且G(t,s)有以下性質(zhì)：

1)G(t,s)≥0,G(t,s)≤G(s,s);

2)G(t,s)≥G(t,t)G(s,s)。

記

定義算子A：C+[0,1]→C+[0,1],有

(5)

記

顯然，K是C[0,1]中的一個錐。

引理2A(K)?K且A全連續(xù)。

證明 對于u?K,由式(5)及引理1知，Au(t)≥0,t∈[0,1],且

(6)

因此

另一方面由引理1得

(7)

由式(6)和(7)可得

(8)

因此A(K)?K。另外由f的連續(xù)性及Arzela-Ascoli定理可證A是全連續(xù)的。

對r>0,記Kr={u∈K∶‖u‖

引理3[10]設(shè)A:K→K是全連續(xù)的，并且對任意u∈?Kr和0<μ≤1,有μAu≠u,則i(A,Kr,K)=1。

引理4[10]設(shè)A:K→K是全連續(xù)的，并假設(shè)以下2個條件滿足：

2) 對任意的u∈?Kr和μ>1,有μAu≠u,則i(A,Kr,K)=0。

2 主要結(jié)果

證明 由f00，使

(9)

設(shè)r∈(0,r0]，下證μAu≠u，u∈?Kr，0<μ≤1。事實上，若存在u0∈?Kr,0≤μ≤1,有μ0Au0=u0，顯然u0滿足

(10)

(11)

由式(8)知

(12)

因此

故L≤(L-ε)，矛盾。由引理3知

(13)

又由f∞>L知，存在ε∈(0,L)及H>r0,使得

(14)

設(shè)

則

(15)

下證μAu≠u,u∈?KR,μ≥1。事實上，若存在u0∈?KR,μ0≥1,使μ0Au0=u0,顯然u0滿足式(10)和邊值條件(4),結(jié)合式(15),類似式(11)的證明，有

因此

再結(jié)合式(12)得

(16)

證明 由f0>L可知,存在ε∈(0,L)及r0>0，使得

(17)

設(shè)r∈(0,r0],對任意的u∈?Kr，結(jié)合式(17)得

下證μAu≠u,u∈?KR,μ≥1。事實上，若存在u0∈?KR,μ0≥1,使μ0Au0=u0。顯然u0滿足式(10)和邊值條件(4),結(jié)合式(17)，類似式(11)的證明，有

仍可得出矛盾。由引理4知

(18)

又由f∞r0,

設(shè)

則

(19)

如果存在u0∈?Kr,0≤μ≤1,有μ0Au0=u0，則結(jié)合式(19)得

因此

結(jié)合式(12)得

則當(dāng)R>R0時，u∈?KR，0<μ≤1，，都有μAu≠u成立。因此，由引理3得

(20)

下面證明對任何u0∈?Kp,μ0≥1,使μ0Au0=u0,則對于t∈[0,1],有0≤u≤p,故由條件(H2)類似于式(11)證明可得

這顯然與a>L矛盾，由此由引理4可得

(21)

由f00,使

(22)

又由f∞0,使

(23)

取R>p>r,由式(21)～(23)得

又因f滿足條件(H1)和(H2)，則存在t0∈[0,1],使得f(t0,u0(t))>0,故有

[1] MA R,WANG H.On the existence of positive solutions of fourth-order ordinary differential equations[J].Appl Anal,1995,59:225-231.

[2] LI Y.Positive solutions of fourth-order boundary-value problem with two parameters[J].J Math Anal Appl,2003,281:477-484.

[3] GUO D,LAKSHMIKANTHAM V.Nonlinear Problems in Abstract Cones[M].New York:Academic press,1988.

[4] 李永祥.一類四階邊值問題正解的存在性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2000,16(3):54-58.

LI Yongxiang.The existence of Positive solution sofa fourth-order boundary value problem[J].Pure and Applied Mathematics,2000.16(3):54-58.

[5] 柴國慶,黃朝炎.變系數(shù)四階邊值問題正解的存在性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,2007,27A(6):1065-1073.

CHAI Gouqing,HUANG Chaoyan.Existence of Positive Solutions for Furth-Order Boundary Value Problem with Variable Coefficients[J].Acta Mathematica Scientia,2007,27A(6):1065-1073.

[6] 楊變霞,路艷瓊,陳瑞鵬.一類四階兩點(diǎn)邊值問題正解的存在性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(2):273-279.

YANG Bianxia,LU Yanqiong,CHEN Ruipeng.Existence of positive solutions for a fourth-order two-point boundary value problem[J].Pure and Applied Mathematics,2011,27(2):273-279.

[7] 盧整智,韓曉玲.一類四階兩點(diǎn)邊值問題多個正解的存在性[J].西南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,35(4):79-83.

LU Zhengzhi,HAN Xiaoling.Existence of Multiple Positive Solutions of a Class of Fourth-order Two-Point Boundary Value Problem[J].Journal of Southwest University(Natural Science Edition),2013,35(4):79-83.

[8] 張銳， 盧整智.一類彈性梁方程多個正解的存在性[J].杭州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2015,14(5):522-526.

ZHANG Rui,LU Zhengzhi.A Hardy-Hilbert Type Inequality with Multi-Parameters and its Applications[J].Journal of Hangzhou Normal University(Natural Science Edition),2015,14 ( 5):522-526.

[9] CHEN T L.Existence of positive solutions for a class of fourth-order ordinary differential equations of two-point boundary value problem[J].Chinese journal of engineering mathematics,2010,27(4):679-683.

[10]郭大鈞.非線性泛函分析[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2003.

GUO Dajun.Nonlinear Functional Analysis[M].Jinan:Shandong science and technology press,2003.

(責(zé)任編輯 陳 艷)

Existence and Multiplicity of Positive Solutions for a Class of Fourth-order Differential Equations of Two-Point Boundary Value Problem

LI Yang

(Department of Mathematics, Nanjing University of Aeronautics of Astronautics，Nanjing 21100, China)

fourth-order boundary value problem;fixed point index; positive solution; first eigenvalue.

2016-04-13

國家自然科學(xué)基金資助項目(11572148)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項科研基金資助項目(20133218110025)

李洋(1991—)，女，江蘇淮安人，碩士研究生，主要從事非線性分析研究，E-mail: 1146959574@qq.com。

李洋.一類四階微分方程兩點(diǎn)邊值問題正解及多個正解的存在性[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué))，2017(1):158-164.

format：LI Yang.Existence and Multiplicity of Positive Solutions for a Class of Fourth-order Differential Equations of Two-Point Boundary Value Problem[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(1):158-164.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.01.024

O175

A

1674-8425(2017)01-0158-07