近代歐洲幾何與繪畫結(jié)合的基本方式

楊紅彥

摘 要：考證概括了文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家將希臘傳統(tǒng)的古典幾何知識(shí)用于藝術(shù)創(chuàng)作的過程。比較分析了達(dá)·芬奇、丟勒等人的重要著作及其手稿中的透視、比例和構(gòu)型問題。說明在文藝復(fù)興特定的歷史背景和時(shí)代氛圍中，藝術(shù)家強(qiáng)調(diào)寫實(shí)與審美的結(jié)合，而數(shù)學(xué)成為寫實(shí)的重要手段。他們的工作促進(jìn)了數(shù)學(xué)和藝術(shù)的共同發(fā)展，同時(shí)，此種方法影響了歐洲后來的繪畫。

關(guān)鍵詞：文藝復(fù)興；幾何學(xué)；藝術(shù)；刨分；組合；中世紀(jì)

繪畫和幾何學(xué)都是空間的“刨分-組合”，長期以來人們認(rèn)為作為數(shù)學(xué)的幾何與作為藝術(shù)的繪畫之間沒有直接關(guān)聯(lián)：幾何基于空間部分的簡單重復(fù)，而繪畫則強(qiáng)調(diào)多變（部分與部分不同）。但是文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家卻從幾何學(xué)的角度考慮繪畫問題。數(shù)學(xué)在藝術(shù)中的應(yīng)用是藝術(shù)發(fā)展的一個(gè)巨大的轉(zhuǎn)折，這是與當(dāng)時(shí)的歷史和文化背景相關(guān)的。

中世紀(jì)藝術(shù)家的作品大都是宗教題材，他們把超越世界中的事件用直觀的圖形表達(dá)出來，因而與基于視覺的經(jīng)驗(yàn)事件有很大差異。除了極個(gè)別的例外，中世紀(jì)繪畫是是一種“寫意”畫，一種向平信徒宣講圣經(jīng)故事和宗教教義的工具，往往借用象征和夸張的手法，表達(dá)關(guān)于天堂的宏偉圖景。例如人物畫的背景用金色渲染，襯托他們所處天堂的富麗堂皇。中世紀(jì)藝術(shù)家Simone Martini的著名的作品“天使”（The Annunciation）是中世紀(jì)繪畫的代表作。

受希臘復(fù)興的影響，人文主義藝術(shù)家強(qiáng)調(diào) “寫實(shí)”，即精確、真實(shí)地反映視覺對象的空間結(jié)構(gòu)。和自然哲學(xué)家用數(shù)學(xué)描述世界圖景的思路相似，15世紀(jì)的藝術(shù)家強(qiáng)調(diào)真實(shí)而審美地再現(xiàn)對象，認(rèn)為數(shù)學(xué)是真實(shí)性的基礎(chǔ)。同時(shí)，文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家是一種博學(xué)多才的人文主義者，他們研究力學(xué)、建筑、光學(xué)、解剖學(xué)，等等，精通建筑、工程、希臘數(shù)學(xué)。他們自覺利用數(shù)學(xué)知識(shí)于藝術(shù)創(chuàng)造活動(dòng)之中，甚至于專門從事數(shù)學(xué)教學(xué)，寫出獨(dú)特的數(shù)學(xué)專著（mathematics in art）。最為典型的代表是幾何與繪畫的結(jié)合，主要方式是透視、比例和空間構(gòu)形。

一、透視問題

以數(shù)學(xué)或幾何學(xué)的方式真實(shí)地反映物體對象，首當(dāng)其沖的是物體如何把三維空間的物體表達(dá)在二維空間（畫面）之中，即透視問題。藝術(shù)家在把三維視覺和內(nèi)在直覺中的空間結(jié)構(gòu)“轉(zhuǎn)移”到二維畫面上的嘗試中，發(fā)現(xiàn)幾何學(xué)似乎是有效的運(yùn)載工具。希臘人也考慮到透視問題，但那是零散個(gè)別的例子，而且是獨(dú)立于數(shù)學(xué)幾何學(xué)的。而近代藝術(shù)家直接從數(shù)學(xué)角度考慮透視問題，最早關(guān)注透視問題的是Giotto（1266/7 – 1337），他用代數(shù)方法（學(xué)藝數(shù)學(xué)）計(jì)算遠(yuǎn)近實(shí)物的畫面比例。

文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲學(xué)者受al-Haytham和Giotto的影響，al-Haytham最先提出視覺是人的眼睛接受反射光。利用幾何學(xué)主要是想真實(shí)地再現(xiàn)實(shí)物的結(jié)構(gòu)。Filippo Brunelleschi（1413）是最早明確提出透視原理的著作，F(xiàn)ilippo Brunelleschi于1425年在設(shè)計(jì)描畫佛羅倫薩教堂的手稿中提出定點(diǎn)透視。Jan van Eyck的Arnolfini Portrait（1434）和Parmigianino的“自畫像”（Self-portrait in a Convex Mirror）引入不同于直線透視的曲線透視（curvilinear perspective）。

最先系統(tǒng)論述幾何透視的是Alberti的《論繪畫》（On painting 拉丁語原作De pictura，1435）。他的《論繪畫》共三部分。第一部分專門討論了繪畫的幾何學(xué)原理。他認(rèn)為：繪畫在本質(zhì)上是一種幾何學(xué)，提出明確的“定點(diǎn)透視”，提出明確的沒影點(diǎn)（vanishing point）。他的《論繪畫》（On Painting 1435）集中討論透視法則——如何把三維實(shí)物真實(shí)地反映在二維畫布上去，是系統(tǒng)論述透視的第一部著作。Alberti 提出視錐（visual pyramid或visual cone）截景的概念。Leon Battista Alberti （1404–72）的關(guān)于繪畫藝術(shù)的著作有很大影響，同時(shí)使得傳統(tǒng)的藝術(shù)從手工技藝走向理性知識(shí)。

Alberti的學(xué)生Piero是藝術(shù)幾何化的后繼者，他的包含大量插圖的手稿（保存在梵蒂岡）《論算藝》Del abaco （On the Abacus）是一部實(shí)用數(shù)學(xué)手冊，和達(dá)·芬奇的風(fēng)格相似。他深入研讀希臘數(shù)學(xué)，特別是阿基米德的著作，他在學(xué)藝學(xué)校（abacus schools）教授數(shù)學(xué)，編寫數(shù)學(xué)教材。歷史學(xué)家Vasari的《畫家的生活》稱其為那個(gè)時(shí)代最偉大的幾何學(xué)家。Piero對Luca Pacioli 和達(dá)·芬奇有直接影響。

Luca Pacioli （1446– 1517）出生于意大利，是著名數(shù)學(xué)家、方濟(jì)會(huì)修士，被稱為 “會(huì)計(jì)學(xué)之父”。他的《算術(shù)、幾何、比例及比例論總論》（1494，1523）是文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)著作代表，直接影響了達(dá)·芬奇。所以，達(dá)·芬奇第一次提出“藝術(shù)是一門科學(xué)”，這批藝術(shù)家為了真實(shí)地反映對象而研究透視學(xué)和解剖學(xué)。當(dāng)然藝術(shù)中的科學(xué)是一個(gè)手段，是通過“藝術(shù)—科學(xué)—藝術(shù)”而達(dá)到一種更高的藝術(shù)。其典型的代表就是把二維畫布上真實(shí)地反映三維空間中的實(shí)物變成為具體的幾何學(xué)問題。他提出兩種透視方法：即藝術(shù)透視和自然透視（artificial perspective and natural perspective）。這些具有豐富的科學(xué)知識(shí)的藝術(shù)家的幾何方法和藝術(shù)創(chuàng)作互相影響。丟勒的兩幅作品給出“透視-截景”（projection and section）原理的解釋，這種原理被純數(shù)學(xué)家發(fā)展為一門重要的幾何學(xué)，其中涉及不同于歐幾里得幾何的新的“不變性或等價(jià)性”。

另外，文藝復(fù)興時(shí)期的學(xué)者在繪制地圖過程中傳播和改進(jìn)了希臘人的投影法。麥卡托（G.Mercator，1512～1594）提出著名的Mercator投影法（Miller projection），即“畫一個(gè)保形地理地圖，其坐標(biāo)方格是由直角方格組成的”，他選擇對數(shù)函數(shù)作為解析變換。與繪畫中的透視方法非常接近。Egnatio？Danti（1583）概括了透視學(xué)的歷史，從中可見16世紀(jì)的藝術(shù)家程度不同地用幾何方法研究透視問題。

二、比例問題

Pacioli的《算術(shù)、幾何和比例概論》（1495）是人文主義的混合數(shù)學(xué)的代表，其中很多問題都以繪畫中的比例問題為例。特別是他的《神圣比例》（De Divina Proportione 1509）是一部繪畫比例的專著，其中包含達(dá)·芬奇關(guān)于黃金比例問題的論述。

另一個(gè)典型的代表丟勒（Albrecht Dürer，1471—1528）出于繪畫的需要而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，但也不限于繪畫的需要。他是文藝復(fù)興時(shí)期畫家中最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，也是數(shù)學(xué)家之中最優(yōu)秀的畫家。他出生于德國的紐倫堡，和那個(gè)時(shí)代的許多知識(shí)分子一樣，早年在意大利留學(xué)，跟Pacioli學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，后來回到德國從事創(chuàng)作和印制版畫。他在幾何學(xué)方面的工作與他的藝術(shù)創(chuàng)作融為一體。他把幾何學(xué)作為藝術(shù)創(chuàng)作的一種重要的技術(shù)手段。他說：“藝術(shù)家之所以忽視他們創(chuàng)作中的錯(cuò)誤，唯一的理由是他們?nèi)狈缀沃R(shí)，沒有幾何知識(shí)無法成為真正的藝術(shù)家……正因?yàn)閹缀螌W(xué)是一切繪畫的恰當(dāng)基礎(chǔ)，所以我決意要為那些渴望成為藝術(shù)家的人教授基本的幾何原理?！彼闹髦饕小岸攘克牟俊保ǖ谝徊康抡Z數(shù)學(xué)著作），是重要的幾何學(xué)著作。其中第一卷討論螺線、擺線等線性問題；第二卷是平面幾何，主要內(nèi)容是正多邊形；第三卷主要是幾何學(xué)在工程、建筑和版畫制作方面的應(yīng)用；第四卷是立體幾何，包括五種正多面體，同時(shí)涉及大量透視問題。丟勒把繪畫中的待比例、對稱問題數(shù)學(xué)化，通過幾何構(gòu)圖和算術(shù)計(jì)算獲得具有審美意義的空間比例關(guān)系。

他關(guān)心幾何的視角不同于希臘人，他欣賞托勒密的幾何學(xué)勝于歐幾里得，是透視的幾何化的標(biāo)志。他考慮了空間曲線透射到平面上的方法，還考慮了一個(gè)物體的三視圖，涉及到后來的畫法幾何。他的書主要是繪畫技法方面的內(nèi)容，這和幾何學(xué)還有一段距離，但體現(xiàn)著一種全新的空間關(guān)系，它們是建立幾何學(xué)的材料基礎(chǔ)。他的幾何學(xué)主要是比例和透視問題，其中最為重要的是人體的比例、建筑的比例以及它們之間的關(guān)系。

丟勒之后Federico Commandino把透視的幾何原理從繪畫推廣到地圖繪制。以前的藝術(shù)家大都是給弟子們講授畫技而用幾何方法（rules for artists），但Federico Commandino的教科書主要是為數(shù)學(xué)家，而非藝術(shù)家所寫?？梢娫从诶L畫的數(shù)學(xué)問題成為新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域。

后來，Michael Maestlin在給他的學(xué)生開普勒的信（1597）中給出黃金數(shù)的近似值（0.6180340），開普勒證明黃金數(shù)是斐波那契數(shù)列的極限，稱其為數(shù)學(xué)和藝術(shù)的“寶石”，可見比例問題在藝術(shù)和數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了同樣重要的影響。

Jean Fernel的《論比例》（1528）進(jìn)一步發(fā)展和完善了Thomas Bradwardine的比例理論，與丟勒的工作一同構(gòu)成數(shù)學(xué)比例在繪畫中的應(yīng)用代表。

三、構(gòu)形問題

除了透視的技法，文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家是否進(jìn)一步思考“數(shù)學(xué)與藝術(shù)”的深層關(guān)聯(lián)。

幾何學(xué)對繪畫影響的另一種方式是幾何圖形的結(jié)構(gòu)在繪畫中的應(yīng)用，如借助于幾何方法的藝術(shù)表達(dá)手段是Anarnorphic Art。把圓柱、圓錐、球等對稱的幾何圖形用來解釋和勾畫繪畫草圖。Brunelleschi和Alberti（1415）把歐氏幾何中的相似三角形用于繪畫。

把具體的幾何形體用于繪畫的最典型的代表是Piero，他其實(shí)是一位數(shù)學(xué)家，他的數(shù)學(xué)課本（Trattato d'abac，1450）包括算術(shù)、代數(shù)、幾何等，其中涉及透視幾何的內(nèi)容。Piero在《簡論五種正則立體》（Short book on the five regular solids，1460或者1470）中提出：繪畫有三條基本原則，構(gòu)圖、比例和色彩（drawing， proportion and colouring），構(gòu)圖和比例都與數(shù)學(xué)有關(guān)，而構(gòu)圖就是用具體的立體幾何形體作為繪畫的基礎(chǔ)。

丟勒的數(shù)學(xué)工作不限于透視，而是更加寬泛的“幾何”用于繪畫，特別是他的繪畫涉及數(shù)學(xué)曲線與點(diǎn)的對偶關(guān)系的“包絡(luò)線”（envelope），（丟勒（1525）， p 38），或許只有藝術(shù)家才首先想到用“線構(gòu)成線”這樣的思路。Wentzel Jamnitzer 的優(yōu)美的《柏拉圖立體》（1568）研究了柏拉圖的正則多面體在繪畫中的應(yīng)用。

丟勒認(rèn)為人體是各種幾何圖形按照一定比例的組合，例如整個(gè)人體可以看成是一個(gè)圓柱，然后各個(gè)部分可以看做是三角形、長方形；球、各種椎體、柱體等。這說明當(dāng)時(shí)的繪畫大師很相信數(shù)學(xué)的實(shí)在性，認(rèn)為是寫實(shí)藝術(shù)的重要手段。所以文藝復(fù)興時(shí)期的繪畫可以說是“幾何之骨架與藝術(shù)之血肉的完美結(jié)合”。后來Leibniz （see Leibniz 1694a）， Joh. Bernoulli and de LHospital等數(shù)學(xué)家也考慮過相似的問題。

丟勒多面體成為一個(gè)獨(dú)特的幾何與藝術(shù)的結(jié)合，也成為一個(gè)神秘問題。丟勒的畫中還有一個(gè)“丟勒幻方”。Bachet寫的有關(guān)數(shù)學(xué)謎題的專門著作（Problemes plaisans et delectables. by Claude Gaspar Bachet， published in France in 1612，法語寫作的），構(gòu)造了幻方，成為此后趣味數(shù)學(xué)的摹本。

Masaccio把Brunelleschi的原理用于繪畫。這些思想一直影響到現(xiàn)代，精通希臘數(shù)學(xué)的Della Francesca有關(guān)立體幾何的著作把歐幾里得幾何用于空間透視，他的《論算藝》和《正則立體》本是數(shù)學(xué)著作，但很多例子都是來源于繪畫。

達(dá)·芬奇還給出一個(gè)畫圓為方問題的非尺規(guī)解法。他還給出一個(gè)方法計(jì)算眼睛到物體之間的距離。

總體來說，算藝數(shù)學(xué)發(fā)展不同于傳統(tǒng)（scholarly traditions）的demonstration and proof新的數(shù)學(xué)合理性標(biāo)準(zhǔn)或者推演方式。文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家、工程師、建筑師提出現(xiàn)代幾何問題，這和測地術(shù)中實(shí)用問題以及其他的技術(shù)（technology）應(yīng)用不同，這里是一種技藝（arts）問題，這是工匠傳統(tǒng)的方式之一。這時(shí)候很多數(shù)學(xué)是從實(shí)際問題出發(fā)，但程度不同地都發(fā)展到純數(shù)學(xué)的水平，如三角學(xué)和對數(shù)。相比之下透視學(xué)尚處于學(xué)藝技術(shù)的水平。

或許，藝術(shù)的數(shù)學(xué)解釋或者數(shù)學(xué)方法在藝術(shù)中的應(yīng)用具有雙重意義：一方面是成功把握模特的形體特征；另一方面是埋下異化藝術(shù)的可能。這是一個(gè)值得深思的問題！

參考文獻(xiàn)：

[1]Edgerton， Samuel Y.， Jr. The Renaissance Rediscovery of Linear Perpsective. New York： Basic Books， 1975，

[2]J V Field，The invention of infinity ： Mathematics and art in the Renaissance（Oxford， 1997）

[3]K Veltman， Piero della Francesca and the two methods of Renaissance perspective， in Between art and science ： Piero della Francesca （Italian）， Arezzo-Sansepolcro， 1992（Venice， 1996）， 407-419.

[4]J V Field， Piero della Francesca and the "distance point method" of perspective construction，？Nuncius Ann. Storia Sci.10（2） （1995）， 509-530.

[5]J V Field， R Lunardi and T B Settle， The perspective scheme of Masaccio's Trinity fresco，？Nuncius Ann. Storia Sci.4（2） （1989）， 31-118.

[6]A Flocon， Wentzel Jamnitzer ： Perspectiva corporum regularium， in？Sciences of the Renaissance， Tours， 1965（Paris， 1973）， 143-151.

[7]K Andersen， Perspective and the plan and elevation technique， in particular in the work by Piero della Francesca， inAmphora（Basel， 1992）， 1-23.

[8]Padovan， Richard （2002）. "Proportion： Science， Philosophy， Architecture".Nexus Network Journal 4 （1）： 113 122.

作者單位：

天津師范大學(xué)美術(shù)與設(shè)計(jì)學(xué)院