微積分理論在生活中的應(yīng)用實(shí)踐

蔣騰飛 四川師范大學(xué)

微積分理論在生活中的應(yīng)用實(shí)踐

蔣騰飛 四川師范大學(xué)

微積分作為一門學(xué)科，已經(jīng)經(jīng)歷了三個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，對(duì)人類社會(huì)的影響巨大，促進(jìn)了科技的大力發(fā)展。微積分思想貫穿到社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展之中，有助于提高社會(huì)生產(chǎn)效率。本文主要研究微積分在實(shí)際生活中的應(yīng)用，為了更好的應(yīng)用微積分知識(shí)，本文通過闡述微積分知識(shí)，分析微積分在大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，以及微積分在生活中的應(yīng)用，進(jìn)而為其他領(lǐng)域應(yīng)用微積分提供參考。

微積分 數(shù)學(xué)思想 實(shí)際應(yīng)用

前言

微積分經(jīng)歷數(shù)百年的發(fā)展，其思想已經(jīng)滲透到實(shí)際生活中。本文通過微積分的實(shí)際應(yīng)用，提高理論與實(shí)際相互結(jié)合的能力，做到理論指導(dǎo)生活，服務(wù)于生活，提高工作效率，提高問題解決的簡(jiǎn)便性，構(gòu)建微積分知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活之間的內(nèi)部聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維，拓展問題的解決方法。

一、微積分的概念與重要性

微積分是指高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科，內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用.微積分=微分+積分。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論，它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中，有越來越廣泛的應(yīng)用。特別是計(jì)算機(jī)的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。

綜上所述，微積分作為一種最為便捷的工具，廣泛應(yīng)用于人們的日常生活中。在日常的工作生活中，如果沒有出現(xiàn)大量的實(shí)際問題，或者說如果沒有數(shù)學(xué)家深入的研究分析，那么就不會(huì)出現(xiàn)當(dāng)前的微積分理論。在研究探索微積分理論的過程中，需要以實(shí)際情況為基點(diǎn)，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象化處理，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。

二、微積分在生活中的應(yīng)用

在日常工作生活中，我們遇到的任何問題都可能成為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。實(shí)際上，生活的各個(gè)方面都隱含著微積分知識(shí)，只有通過不斷地挖掘，我們才能真正看清現(xiàn)象的本質(zhì)，同時(shí)將具體的事物用抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)表現(xiàn)出來。當(dāng)我們難以理解某個(gè)抽象的事物時(shí)，在這種情況下，可以將其還原到具體的事物中，按照具體一抽象一具體的方式不斷深化，最終認(rèn)清事物的本質(zhì)。

1.排隊(duì)等待問題(極限夾逼定理)。在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，數(shù)列極限夾逼定理是一條重要的定律，按照要求，畫出3條相互垂直的空間直線，分別代表3個(gè)相互垂直的平面，按照從左到右的順序依次將其記為Yn、a、Zn，假設(shè)a是固定的，而Yn、Zn都是無限地接近a，此時(shí)，在Yn、Zn兩個(gè)平面之間任意放入平面Xn，平面Xn都是向a無限逼近，這就是夾逼定理的相關(guān)內(nèi)容。按照夾逼定理的要求，我們可以將日常生活中的實(shí)例進(jìn)行對(duì)號(hào)入座，例如，排隊(duì)買票問題，當(dāng)許多人排成一列長(zhǎng)隊(duì)按順序買票時(shí)，如果后面的人越來越多，那么隊(duì)伍中間的人就要想還有多長(zhǎng)時(shí)間才能輪到自己，這是被后面的人擠到購票窗口前，這就是夾逼定理中直觀感受，其中Xn就是參與排隊(duì)買票的人，而Yn、Zn就是后面排隊(duì)的人，而購票窗口就是事先規(guī)定的a。

2.投資決策問題。在經(jīng)濟(jì)生活中，初等數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍也非常廣泛，例如在解決投資決策問題時(shí)，如果以均勻流(將資金按照流水的方式定期地存入銀行)的方式向銀行存款，那么t年后，應(yīng)該取出多少資金，這種問題可以通過定積分的方式給予解決。例如，一個(gè)企業(yè)向某項(xiàng)目一次性投入2千萬元，并且一年后建成投產(chǎn)同時(shí)獲得回報(bào)。如果不考慮資金的時(shí)間價(jià)值，那么收回投資本金的時(shí)間為5年，如果考慮資金的時(shí)間價(jià)值，那么實(shí)際情況就會(huì)發(fā)生改變。在這種情況下，借助微積分，可以確保投資決策的科學(xué)性、合理性，同時(shí)可以規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，提高投資收益率。

3.切菜問題(“微元法”計(jì)算立體的體積)。利用微積分解決實(shí)際問題時(shí)，例如，已知平行截面的面積，如何利用定積分計(jì)算空間立體的體積。假設(shè)空間存在某個(gè)立體面，并且該立體面由一個(gè)曲而和垂自于x軸的兩個(gè)平面構(gòu)成，從x軸上任選一點(diǎn)垂直截所圍立體，并且所得截面面積就是已知連續(xù)函數(shù)，那么就可以通過定積分表示此立體體積。對(duì)于這種方式可以通過“微元法”得出結(jié)論。在日常生活中，這種方式應(yīng)用范圍比較廣，可以視為切黃瓜，在水平的桌面上，放置洗凈的黃瓜，用菜刀按照垂直于菜板的方向切掉黃瓜的兩端，如何計(jì)算剩余黃瓜的體積？首先如何計(jì)算不規(guī)則黃瓜的體積？按照垂直于菜板的方向，以較小的間隔切一個(gè)黃瓜片，可以將這片黃瓜片視為一個(gè)圓柱體，其體積就是截面面積與黃瓜片厚度的乘積。以此類推，如果將這根黃瓜切成若干薄片，分別計(jì)算每片黃瓜的體積，然后相加就得出所求黃瓜體積的近似值。如何提高黃瓜體積數(shù)值的精度？就是將其進(jìn)行無限細(xì)分處理，然后再進(jìn)行無限求和，這樣就可以提高計(jì)算值的精度。

4.導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用。（1）邊際分析。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，若y=xf可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)xf′稱為xf的邊際函數(shù)。在點(diǎn)0x的值0xf′稱為xf在0x處的邊際值(或變化率等)。如某干魚加工廠加工某種干魚的總收入函數(shù)和總成本函數(shù)分別是202.08)(xxxR+=和203.0200)(xxxC++=，求邊際利潤(rùn)函數(shù)和當(dāng)日產(chǎn)量分別是300公斤，350公斤和400公斤時(shí)的邊際利潤(rùn)，并說明其經(jīng)濟(jì)意義。

（2）彈性分析。在經(jīng)濟(jì)分析中，彈性用來描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量y相對(duì)于另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量x變化時(shí)所做出反映的敏感程度。即彈性是用來描述一個(gè)量對(duì)另一個(gè)量的相對(duì)變化率的一個(gè)量。如某品牌中藥牙膏價(jià)格是8元時(shí)，需求量是1000支；當(dāng)價(jià)格提高到10元時(shí)，需求量減少為950支，試求該牙膏需求對(duì)價(jià)格的彈性。除此之外，還用在資源的合理利用、器具制造、變路移址等方面。

三、結(jié)論

總而言之，微積分不僅是一門重要的基礎(chǔ)性學(xué)科，提高能力在當(dāng)今信息化大時(shí)代背景下，微積分思想和方法應(yīng)用逐漸增多，加強(qiáng)微積分在實(shí)際生活中的應(yīng)用，不僅是提高了問題的解決能力，還有助于思考素養(yǎng)的培育。對(duì)于微積分需要理解概念，聯(lián)系生活，深化實(shí)際應(yīng)用。

[1]吳強(qiáng)，李建平，戴清平.在軍事院校大一新學(xué)員高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的思考與體會(huì)[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，4(3):32-21.

[2]喻偉，高建，付英定.理工科大學(xué)大面積微積分研究性教學(xué)的探索與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，25(4):51-54.