基于搜索空間變換和序優(yōu)化的預(yù)警星座設(shè)計(jì)

劉冰， 易泰河， 申鎮(zhèn)， 易東云

國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院， 長(zhǎng)沙 410072

基于搜索空間變換和序優(yōu)化的預(yù)警星座設(shè)計(jì)

劉冰， 易泰河， 申鎮(zhèn)， 易東云*

國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院， 長(zhǎng)沙 410072

高軌預(yù)警星座由若干顆地球靜止軌道衛(wèi)星和大橢圓軌道衛(wèi)星組成，星座優(yōu)化的目標(biāo)是滿足重點(diǎn)監(jiān)視區(qū)域的覆蓋和提高覆蓋區(qū)域的定位精度。對(duì)于覆蓋性優(yōu)化，根據(jù)多個(gè)監(jiān)視區(qū)域的威脅等級(jí)，星座系統(tǒng)需要提供不同的覆蓋重?cái)?shù)；對(duì)于定位精度優(yōu)化，系統(tǒng)在立體觀測(cè)和單星觀測(cè)情況下存在很大差異。因此高軌預(yù)警星座優(yōu)化是一個(gè)復(fù)雜多區(qū)域多目標(biāo)優(yōu)化問題。針對(duì)以上難點(diǎn)，提出了多層次多目標(biāo)優(yōu)化模型，可以較完整合理地描述預(yù)警星座優(yōu)化問題；在優(yōu)化模型求解方面，將優(yōu)化計(jì)算分為覆蓋性優(yōu)化和定位精度優(yōu)化兩個(gè)環(huán)節(jié)；在覆蓋性優(yōu)化環(huán)節(jié)，提出了基于搜索空間變換的覆蓋性快速優(yōu)化方法，提高了Pareto最優(yōu)解的計(jì)算速度和準(zhǔn)確性。在定位精度優(yōu)化環(huán)節(jié)，采用序優(yōu)化方法進(jìn)一步縮短優(yōu)化時(shí)間。仿真試驗(yàn)表明，該方法可設(shè)計(jì)出滿足預(yù)警任務(wù)需求的星座，且優(yōu)化耗時(shí)在1 min以內(nèi)，能有效地縮短預(yù)警星座優(yōu)化時(shí)間。

衛(wèi)星； 星座； 區(qū)域覆蓋； 多目標(biāo)； 優(yōu)化

預(yù)警衛(wèi)星通過探測(cè)導(dǎo)彈尾焰的紅外輻射信號(hào)來測(cè)量導(dǎo)彈目標(biāo)相對(duì)衛(wèi)星的方向，再以衛(wèi)星為空間基準(zhǔn)點(diǎn)，通過衛(wèi)星到目標(biāo)的角度觀測(cè)量來解算目標(biāo)的位置和速度。為達(dá)到對(duì)全球?qū)棸l(fā)射區(qū)域覆蓋的目的，可通過若干顆地球靜止軌道預(yù)警衛(wèi)星和大橢圓軌道預(yù)警衛(wèi)星的組網(wǎng)實(shí)現(xiàn)[1-3]。預(yù)警星座優(yōu)化的目標(biāo)是在滿足對(duì)多個(gè)監(jiān)視區(qū)域覆蓋性要求的情況下提高對(duì)監(jiān)視區(qū)域的定位精度。其中涉及兩個(gè)難點(diǎn)：① 不同監(jiān)視區(qū)域?qū)Ω采w重?cái)?shù)有不同的需求，是一個(gè)多區(qū)域覆蓋優(yōu)化問題，隨著監(jiān)視區(qū)域數(shù)目的增加，優(yōu)化問題求解耗時(shí)長(zhǎng)，容易陷入局部最優(yōu)解，目前沒有通用的求解方法；② 多重覆蓋區(qū)域和單重覆蓋區(qū)域定位精度的描述不同，前者可采用位置精度因子(Position Dilution of Precision, PDOP)[4]進(jìn)行描述，而后者是不完備觀測(cè)，理論上無法進(jìn)行立體定位，無法計(jì)算PDOP。但是在實(shí)際應(yīng)用中，依靠彈道模板，單星觀測(cè)可以提供一定精度的導(dǎo)彈定位信息[5-7]，所以在星座優(yōu)化中也需要將單重覆蓋區(qū)域的定位性能作為優(yōu)化的目標(biāo)之一加以考慮。

目前對(duì)預(yù)警星座的研究主要集中于給定星座構(gòu)型下的性能分析和雙衛(wèi)星對(duì)單區(qū)域的星座優(yōu)化問題。胡磊等[8]對(duì)美國GEO(Geostationary Orbit)預(yù)警衛(wèi)星覆蓋性能進(jìn)行了分析；毛藝帆等[9]對(duì)美國天基紅外系統(tǒng)SBIRS-HEO(Space-based Infrared System Highly Elliptical Orbit)衛(wèi)星預(yù)警能力進(jìn)行了分析；閻志偉[10-11]和鐘宇[12]等研究了GEO雙星對(duì)單個(gè)區(qū)域觀測(cè)的部署問題；張雅聲和姚勇[13]給出了一種基于大量仿真試驗(yàn)和人工分析的異構(gòu)預(yù)警衛(wèi)星星座設(shè)計(jì)方案。從已有的研究成果來看，面向?qū)楊A(yù)警任務(wù)的星座優(yōu)化算法研究還處于起步階段。

現(xiàn)有的星座優(yōu)化多是基于覆蓋性的星座設(shè)計(jì)和面向?qū)Ш降男亲O(shè)計(jì)。對(duì)基于覆蓋的星座優(yōu)化研究，Walker法和覆蓋帶法可以得到很好的結(jié)果，但對(duì)于區(qū)域覆蓋問題，由于其多樣性和靈活性，尚無比較通用的方法[10]。王瑞等[14]采用遺傳算法研究了對(duì)單個(gè)區(qū)域覆蓋星座的優(yōu)化問題，而對(duì)于多區(qū)域覆蓋星座優(yōu)化問題的研究很少，僅見Matossian[15]研究了橢圓軌道星座對(duì)多個(gè)區(qū)域的通訊覆蓋優(yōu)化問題；對(duì)基于定位精度的星座優(yōu)化，主要是以導(dǎo)航星座作為研究背景，通常采用PDOP作為定位精度指標(biāo)[16-17]。然而預(yù)警星座觀測(cè)條件下存在大量單重覆蓋區(qū)域，在這些區(qū)域內(nèi)，PDOP無法解算，所以對(duì)預(yù)警星座目標(biāo)定位精度的描述更為復(fù)雜。從而看到，預(yù)警星座的任務(wù)需求和工作模式有其獨(dú)特性，無法直接利用已有的星座優(yōu)化方法進(jìn)行求解。

此外，在預(yù)警星座概念設(shè)計(jì)階段，系統(tǒng)的使用者對(duì)重點(diǎn)區(qū)域的設(shè)定可能存在不確定性，所以希望根據(jù)監(jiān)視區(qū)域的不同設(shè)定得到不同的優(yōu)化結(jié)果，在反復(fù)的迭代中進(jìn)行論證。而星座優(yōu)化計(jì)算量巨大，一次優(yōu)化往往需要幾個(gè)小時(shí)的時(shí)間，這就延長(zhǎng)了星座設(shè)計(jì)論證的周期。因此需要一種快速優(yōu)化計(jì)算方法，能夠在給定優(yōu)化目標(biāo)后近實(shí)時(shí)地輸出優(yōu)化結(jié)果。目前對(duì)于快速優(yōu)化方法的研究，一種思路是采用并行計(jì)算模式，如Ferringer 等[18]采用了并行式進(jìn)化算法；另一種是根據(jù)具體問題，采用快速優(yōu)化策略或解析計(jì)算模型。如崔紅正和韓潮[19]采用序優(yōu)化方法提高了導(dǎo)航星座的優(yōu)化速度；韓潮等[20]提出了改進(jìn)的網(wǎng)格點(diǎn)仿真法，以解析方式求解衛(wèi)星覆蓋時(shí)刻集，從而大大降低了優(yōu)化耗時(shí)。

本文針對(duì)導(dǎo)彈預(yù)警星座優(yōu)化問題中存在的難點(diǎn)展開研究。主要的創(chuàng)新點(diǎn)有兩點(diǎn)：① 在優(yōu)化問題建模方面，提出了面向?qū)楊A(yù)警任務(wù)的多層次多目標(biāo)優(yōu)化模型；② 在優(yōu)化模型的求解方面，設(shè)計(jì)了基于搜索空間變換的覆蓋性快速優(yōu)化方法，將連續(xù)型的搜索空間縮減為規(guī)模小得多的離散空間，便于Pareto最優(yōu)解集的求解，并結(jié)合序優(yōu)化方法對(duì)問題進(jìn)行了準(zhǔn)確快速的求解。

1 預(yù)警星座軌道參數(shù)設(shè)計(jì)

合理的軌道優(yōu)化參數(shù)設(shè)計(jì)和約束條件建?？梢院?jiǎn)化優(yōu)化問題，提高優(yōu)化效率。本節(jié)通過對(duì)GEO軌道和HEO軌道特性的分析，設(shè)計(jì)了預(yù)警星座軌道優(yōu)化參數(shù)，并根據(jù)覆蓋區(qū)域約束條件縮小了搜索空間。

1.1 GEO軌道

本文采用地心地固系作為參考坐標(biāo)系。GEO衛(wèi)星的坐標(biāo)可由衛(wèi)星所在的赤道經(jīng)度表示，即

(xGEO,yGEO,zGEO)=(acosL,asinL,0)

(1)

式中：a為GEO軌道半徑；L為衛(wèi)星所在的赤道經(jīng)度。由于GEO衛(wèi)星相對(duì)地面保持靜止，所以根據(jù)幾何關(guān)系可以確定地面某點(diǎn)可見GEO衛(wèi)星的部署范圍。如圖 1所示，將地面站可見的視錐投射于同步衛(wèi)星軌道高度的球殼，得到投影邊界，若衛(wèi)星處于邊界內(nèi)，則衛(wèi)星相對(duì)地面站可見。赤道投影落入邊界曲線內(nèi)的部分為GEO對(duì)地面站可見的弧段。

圖1 地面某點(diǎn)對(duì)GEO衛(wèi)星的可見性區(qū)間 Fig.1 Ground point’s observable interval for GEO satellite

設(shè)地面一點(diǎn)p的GEO可見弧段為[Ll(p),Lr(p)]，則可覆蓋區(qū)域Si的GEO部署弧段為

(2)

式中：Si為某個(gè)區(qū)域的采樣點(diǎn)集合。對(duì)于由N顆GEO衛(wèi)星組成的子星座，軌道參數(shù)可用N維向量L=[L1L2…LN]表示，其中Lk(k=1,2,…,N)表示第k顆GEO衛(wèi)星的經(jīng)度。由M個(gè)關(guān)注區(qū)域?qū)EO子星座軌道參數(shù)的約束為

(3)

1.2 HEO軌道

本文中HEO子星座采用Molniya軌道類型，它是一種大偏心率、軌道傾角為63.4° 的橢圓軌道。近地點(diǎn)位于大氣層之外，以便避免大氣阻力。遠(yuǎn)地點(diǎn)通過適當(dāng)?shù)倪x擇使得當(dāng)?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)一周時(shí)，衛(wèi)星恰好在軌道運(yùn)行兩周。在地球攝動(dòng)的影響下，衛(wèi)星軌道參數(shù)隨時(shí)間變化，但通過將軌道傾角設(shè)置為63.4°，軌道半長(zhǎng)軸和偏心率的適當(dāng)設(shè)置，使Molniya軌道半長(zhǎng)軸、軌道傾角、偏心率和近地點(diǎn)俯角幾乎不受攝動(dòng)影響，而升交點(diǎn)赤經(jīng)在攝動(dòng)作用下隨時(shí)間線性漂移。由于近地點(diǎn)俯角不變，遠(yuǎn)地點(diǎn)固定在確定的緯度上。

Trishchenko和Garand[21]提出一種由兩顆運(yùn)行于不同軌道平面Molniya軌道的衛(wèi)星構(gòu)成的HEO星座。其參數(shù)設(shè)置為升交點(diǎn)赤經(jīng)相差90°，平近點(diǎn)角相差180°。這樣它們的星下點(diǎn)軌跡重合，當(dāng)一顆衛(wèi)星位于遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，另一顆恰好位于近地點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)高緯區(qū)域的連續(xù)覆蓋?？紤]到該構(gòu)型的優(yōu)良性能和簡(jiǎn)化問題，可采用這種星座構(gòu)型作為HEO子星座的構(gòu)型。即軌道參數(shù)滿足

圖2 Molniya軌道星下點(diǎn)軌跡Fig.2 Subastral track of Molniya orbit

(4)

式中：各變量符號(hào)的上角標(biāo)表示對(duì)應(yīng)的Molniya軌道。對(duì)于該星座，只要給定其中一個(gè)Molniya軌道參數(shù)即可確定另一個(gè)Molniya軌道的參數(shù)。在地固系下，HEO雙星交替出現(xiàn)于兩個(gè)在經(jīng)度上相隔180° 的遠(yuǎn)地點(diǎn)，如圖3所示。

區(qū)域CA對(duì)遠(yuǎn)地點(diǎn)1、2均可見，是24 h連續(xù)覆蓋區(qū)域，而區(qū)域IA為間歇覆蓋區(qū)域。圖 4為仿真計(jì)算的HEO雙星系統(tǒng)對(duì)全球的覆蓋結(jié)果。深紅色區(qū)域?yàn)镠EO星座連續(xù)覆蓋區(qū)域，其在經(jīng)度上有兩個(gè)向南延伸的區(qū)域，而這兩區(qū)域的頂點(diǎn)位置由HEO衛(wèi)星的遠(yuǎn)地點(diǎn)經(jīng)度決定。通過簡(jiǎn)單的幾何分析可知，這兩個(gè)尖峰頂點(diǎn)和衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)經(jīng)度相差90°。

圖3 Molniya星座覆蓋示意圖Fig.3 Coverage of Molniya constellation

圖4 Molniya 星座覆蓋分布圖Fig.4 Coverage distribution of Molniya constellation

將連續(xù)覆蓋范圍最南端的邊界線在緯度經(jīng)度坐標(biāo)系下的曲線方程稱為全覆蓋曲線。設(shè)全覆蓋曲線為B=g(L,La)(具體的解析形式可通過簡(jiǎn)單幾何推導(dǎo)得出，在此文中略去)，La為HEO衛(wèi)星的遠(yuǎn)地點(diǎn)星下點(diǎn)經(jīng)度，l為任意的經(jīng)度數(shù)值；(B,L)為全覆蓋曲線上點(diǎn)的緯度和經(jīng)度坐標(biāo)。該曲線具有如下的性質(zhì)：

g(L,La-l)=g(L+l,La)

(5)

即全覆蓋曲線跟隨HEO衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)經(jīng)度平移。令l=La，得

g(L,0)=g(L+La,La)

(6)

La∈WHEO(Si)={La|B≥g(L,La),

?(B,L)∈Si}

(7)

式中：WHEO為HEO衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)經(jīng)度部署范圍。綜合1.1節(jié)的內(nèi)容，一個(gè)由N顆GEO衛(wèi)星和Molniya雙星構(gòu)成的混合星座系統(tǒng)，其優(yōu)化的參數(shù)為

(8)

(9)

綜合1.1節(jié)和1.2節(jié)對(duì)GEO和HEO軌道參數(shù)以及基于重點(diǎn)關(guān)注區(qū)域?qū)壍绤?shù)約束的討論，GEO和HEO軌道參數(shù)約束條件縮減為

(10)

2 預(yù)警星座性能指標(biāo)

2.1 覆蓋性能指標(biāo)

定義覆蓋性能指標(biāo)為星座對(duì)各關(guān)注區(qū)域的最小連續(xù)覆蓋重?cái)?shù)，如式(11)所示。

(11)

(12)

其中：

(13)

2.2 定位精度指標(biāo)

預(yù)警衛(wèi)星通過探測(cè)導(dǎo)彈尾焰的紅外輻射信號(hào)來測(cè)量導(dǎo)彈目標(biāo)相對(duì)衛(wèi)星的方向，再以衛(wèi)星為空間基準(zhǔn)點(diǎn)，通過衛(wèi)星到目標(biāo)的角度觀測(cè)量來解算目標(biāo)的位置和速度。本文中角度測(cè)量量定義為地固系下目標(biāo)相對(duì)于衛(wèi)星的方位角A和俯仰角E，測(cè)量方程為

(14)

(15)

定義預(yù)警系統(tǒng)位置精度因子為

(16)

式中：σlos為測(cè)量噪聲標(biāo)準(zhǔn)差；Hi為第i顆衛(wèi)星的測(cè)量矩陣；tr(·)表示矩陣的跡。PDOP反映了多星視線交匯定位的精度。

對(duì)于單星觀測(cè)，由于HTH奇異，所以無法計(jì)算，系統(tǒng)屬于不可觀測(cè)系統(tǒng)。但根據(jù)紅外傳感器的工作波段和大氣的透射率，可給出導(dǎo)彈首次被探測(cè)高程的一個(gè)范圍。將這個(gè)先驗(yàn)高程作為約束，在一定程度上可以改善觀測(cè)性。即在觀測(cè)方程式(14)中補(bǔ)充偽觀測(cè)方程式(17)。

(17)

式中：Re(B,L)為參考橢球體球心到發(fā)射點(diǎn)地面的距離；halt為目標(biāo)高程，雖然是未知的，但一般可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)給予約束。將式(17)與式(14)聯(lián)立，作為觀測(cè)方程組，計(jì)算測(cè)量方程的Jacobian矩陣得

(18)

定義單星偽幾何精度因子PDOP′為

(19)

式中：

其中：σalt為先驗(yàn)高程標(biāo)準(zhǔn)差，可以表示先驗(yàn)高程的不確定程度。將PDOP′作為單星定位精度優(yōu)劣性的度量。將各重點(diǎn)區(qū)域的平均PDOP定義為定位精度指標(biāo)，即

(20)

(21)

3 多策略融合星座優(yōu)化

將覆蓋性指標(biāo)和定位精度指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)。本節(jié)首先介紹了預(yù)警星座的多目標(biāo)優(yōu)化模型，給出了多策略融合求解模型的框架，將星座優(yōu)化分為覆蓋優(yōu)化和定位精度優(yōu)化兩個(gè)環(huán)節(jié)；然后介紹了覆蓋性優(yōu)化環(huán)節(jié)中的搜索空間變換策略，該策略可以大幅縮小搜索空間，提高Pareto解的求解效率；最后介紹序優(yōu)化方法，將該方法用于定位精度優(yōu)化環(huán)節(jié)，進(jìn)一步縮短優(yōu)化耗時(shí)。

3.1 預(yù)警星座的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

結(jié)合式(11)和式(20)，將預(yù)警星座優(yōu)化定義為如式(22)的多目標(biāo)優(yōu)化問題(Multiple Objectives Problem, MOP)[22]

(22)

MOP的解并不局限于單個(gè)解，而可能有多個(gè)解，求解MOP首先計(jì)算其Pareto最優(yōu)解集，然后在其中挑選符合設(shè)計(jì)者偏好的解。Pareto最優(yōu)的相關(guān)定義如下[23]：

定義1(Pareto支配)設(shè)x1和x2為多目標(biāo)優(yōu)化問題的兩個(gè)可行解，解x1支配x2當(dāng)且僅當(dāng)fi(x1)≤fi(x2)(?i=1,2,…,m)∧fj(x1)

定義2(Pareto最優(yōu)解集)Pareto最優(yōu)解(或非支配解)是不被可行解集中的任何解支配的解。所有Pareto最優(yōu)解的集合為Pareto最優(yōu)解集，定義為X*={x*∈X|?x∈X∶x?x*}。

由于區(qū)域覆蓋是系統(tǒng)發(fā)揮功能的前提，而定位精度需要在滿足覆蓋的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化，因此并非式(22)的所有Pareto解都滿足預(yù)警星座設(shè)計(jì)的目標(biāo)。針對(duì)這種多目標(biāo)間存在主次關(guān)系的情況，將MOP問題式(22)轉(zhuǎn)化為求解下面的MOP。

x=[L1L2…LNLa]；

(23)

根據(jù)式(23)所示，首先在整個(gè)搜索空間X上，將覆蓋目標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)，求出Pareto最優(yōu)解集X*，然后在X*上根據(jù)定位精度目標(biāo)求解星座優(yōu)化方案集合X**。顯然式(23)的解是式(22)的子集。圖5展示了這種兩級(jí)求解過程。其中覆蓋性優(yōu)化環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了搜索空間變換方法，在變換后的搜索空間上搜索Pareto最優(yōu)解可大幅縮短覆蓋性優(yōu)化時(shí)間，該過程將在3.2節(jié)中介紹；在基于定位精度目標(biāo)優(yōu)化中，采用序優(yōu)化方法進(jìn)一步縮短優(yōu)化時(shí)間，該過程將在3.3節(jié)中介紹。

圖5 多策略融合優(yōu)化框架Fig.5 Multi-method fusion framework for optimization

3.2 搜索空間變換

(24)

由式(13)可知，星座覆蓋性能指標(biāo)函數(shù)為階梯函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)取值的不同將搜索空間進(jìn)行分塊，在同一塊內(nèi)，覆蓋性能指標(biāo)相同。

通過搜索空間變換方法，優(yōu)化問題的搜索空間得到大幅度縮小。采用圖7來說明搜索空間變換的原理。

圖6 搜索空間分割示意圖Fig.6 Sketch diagram of search space partition

圖7 搜索空間變換示意圖Fig.7 Sketch diagram of search space transformation

3.3 序優(yōu)化方法

通過覆蓋優(yōu)化得到的Pareto最優(yōu)解集X*中的每個(gè)解是一個(gè)由N+1個(gè)區(qū)間解構(gòu)成的空間，它們是定位精度優(yōu)化問題的搜索空間。為了進(jìn)一步縮短優(yōu)化耗時(shí)，在定位精度優(yōu)化問題的求解中，采用序優(yōu)化方法提高優(yōu)化效率。

序優(yōu)化方法(Ordinal Optimization, OO)[24]是一種數(shù)值優(yōu)化方法。其方法是首先設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算速度快的性能指標(biāo)計(jì)算粗糙模型，然后利用該模型對(duì)備選方案進(jìn)行篩選，選出性能指標(biāo)數(shù)值排序前s個(gè)備選方案構(gòu)成縮小的搜索空間S，在子集S中采用準(zhǔn)確的性能計(jì)算模型重新計(jì)算，從而選出滿意的解。序優(yōu)化方法基于兩個(gè)思想：① 序比數(shù)值在噪聲存在時(shí)更穩(wěn)健，② 放棄尋找最優(yōu)解而找足夠好的解。它可以大幅度縮減搜索空間，以很高的概率得到足夠好的解。

圖8 序優(yōu)化總體思路Fig.8 General idea for ordinal optimization

圖8為序優(yōu)化總體思路示意圖。圖中：Θ為搜索空間；G為使系統(tǒng)性能足夠好的解集，即Θ中性能排序前g個(gè)的方案構(gòu)成的集合，它的勢(shì)為|G|≡g；S為Θ的子集，通過某種規(guī)則(一般采用賽馬(Horse Race)法[24])從Θ中選取，它的勢(shì)為|S|≡s，序優(yōu)化的目的是通過粗糙性能評(píng)價(jià)模型快速構(gòu)造盡量小的S，使G∩S中以很高的概率包含至少k個(gè)元素。即PA(k,G,S)≡PA(|G∩S|≥k)很大(一般為95%)。因此搜索空間可以從Θ大幅度縮減到S上，再利用精確性能評(píng)價(jià)模型在S中搜索足夠好的解。

將序優(yōu)化方法用于定位精度優(yōu)化的步驟如下：

步驟4利用精確定位性能計(jì)算模型在S中搜索到足夠好的解。

4 仿真試驗(yàn)與結(jié)果分析

4.1 優(yōu)化計(jì)算過程

以美國SBIRS-High星座為例，進(jìn)行部署位置優(yōu)化。假設(shè)星座需要優(yōu)化4顆GEO衛(wèi)星和2顆 HEO衛(wèi)星組成的混合星座，軌道根數(shù)的約束條件如下：GEO衛(wèi)星部署經(jīng)度范圍為(-180°,180°]，參考文獻(xiàn)[9]，對(duì)HEO衛(wèi)星參數(shù)約束如表1 所示。

根據(jù)文獻(xiàn)[8]的分析結(jié)果，設(shè)置關(guān)注的重點(diǎn)區(qū)域如圖 9所示。紅色區(qū)域?yàn)橹攸c(diǎn)關(guān)注區(qū)域中的優(yōu)先級(jí)最高的區(qū)域，設(shè)置至少有兩顆衛(wèi)星覆蓋，粉色和綠色區(qū)域?yàn)橹攸c(diǎn)關(guān)注區(qū)域關(guān)注優(yōu)先級(jí)相對(duì)次之的區(qū)域，設(shè)置至少需要一顆衛(wèi)星覆蓋。

根據(jù)區(qū)域的設(shè)置可計(jì)算完全覆蓋每個(gè)區(qū)域的衛(wèi)星部署范圍，圖10為GEO衛(wèi)星部署區(qū)間和在每個(gè)區(qū)間上可覆蓋區(qū)域的個(gè)數(shù)關(guān)系，根據(jù)此函數(shù)取值的不同可以將搜索空間分割為25段。一顆GEO衛(wèi)星部署于同一段的不同位置，它對(duì)各區(qū)域的完全覆蓋情況是相同的。通過搜索空間變換，搜索空間規(guī)模大幅度縮減，可以采用遍歷算法搜索Pareto最優(yōu)解。

在求得Pareto最優(yōu)解集后，需要根據(jù)一定的準(zhǔn)則在其中進(jìn)行篩選，從中選出較好的解。根據(jù)預(yù)警需求，設(shè)篩選準(zhǔn)則如下：

準(zhǔn)則1重點(diǎn)區(qū)域覆蓋重?cái)?shù)要滿足設(shè)計(jì)者的最低要求。

準(zhǔn)則2盡量多的區(qū)域可以被雙重或以上覆蓋(可以被立體觀測(cè))。

準(zhǔn)則3相鄰GEO衛(wèi)星位置不要過近，以免午夜太陽直射同時(shí)影響兩顆衛(wèi)星。

根據(jù)以上準(zhǔn)則，篩選算法的流程如下：

步驟1設(shè)置對(duì)每個(gè)重點(diǎn)區(qū)域的最小覆蓋重?cái)?shù)F(goal)=[c1c2…cM]，從Pareto前沿中篩選出支配F(goal)的方案。

步驟2從步驟1的結(jié)果中篩選出雙重以上覆蓋的區(qū)域數(shù)目最多的方案。

步驟3設(shè)置相鄰GEO衛(wèi)星間隔最小夾角θmin，排除相鄰GEO衛(wèi)星部署區(qū)間間距小于θmin的方案。

在得到基于覆蓋的優(yōu)化解后可進(jìn)行基于定位精度的優(yōu)化。首先在搜索空間中進(jìn)行采樣，各衛(wèi)星部署經(jīng)度的采樣間隔為3°，傳感器視線誤差40 μrad，利用粗糙模型采用賽馬方式[24]進(jìn)行計(jì)算。圖11為粗糙模型的OPC，確定類型為Flat型。

表1 HEO星座參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameters setting of HEO constellation

圖9 監(jiān)視區(qū)域分布Fig.9 Distribution of surveillance areas

圖10 GEO衛(wèi)星部署區(qū)間分割Fig.10 Partition for deployment interval of GEO satellite

圖11 粗糙模型的性能排序曲線(OPC) Fig.11 Ordered performance curve (OPC) of crude model

隨機(jī)從設(shè)計(jì)空間中選取500個(gè)點(diǎn)，計(jì)算粗糙模型和精確模型的標(biāo)準(zhǔn)差，估計(jì)模型誤差為σ=0.16。通過查表可以得到相關(guān)參數(shù)，計(jì)算得s=66。從而利用精確模型對(duì)粗糙模型計(jì)算結(jié)果的前66個(gè)方案進(jìn)行再計(jì)算。最終選擇性能指標(biāo)最好的作為優(yōu)化方案。

優(yōu)化結(jié)果為GEO衛(wèi)星部署位置分別為90.8° W、1.3° W、80.1° E、143° E；HEO衛(wèi)星遠(yuǎn)地位置分別為63.4° N、39° W和63.4° N、141° E。

4.2 結(jié)果分析

表2給出了優(yōu)化算法的計(jì)算耗時(shí)和優(yōu)化性能總體情況。優(yōu)化總耗時(shí)56.15 s。因此該算法可以近實(shí)時(shí)的優(yōu)化出衛(wèi)星部署位置。在仿真算例中，覆蓋最低要求為對(duì)12個(gè)區(qū)域中的4處區(qū)域?qū)崿F(xiàn)雙重覆蓋，其余單重覆蓋。而覆蓋優(yōu)化結(jié)果為對(duì)12處區(qū)域中的9個(gè)可持續(xù)3重覆蓋，其余3個(gè)可雙重覆蓋。結(jié)果大大優(yōu)于最低覆蓋要求。

圖12為此星座對(duì)全球的覆蓋情況。不同顏色表示該區(qū)域被持續(xù)覆蓋的最少重?cái)?shù)。藍(lán)色方塊點(diǎn)是根據(jù)圖9對(duì)重點(diǎn)區(qū)域的采樣點(diǎn)。從圖中可以看出所有重點(diǎn)區(qū)域都滿足二重以上的覆蓋，且北半球大部分重點(diǎn)區(qū)域?yàn)槿馗采w，HEO星座和GEO星座的綜合覆蓋優(yōu)化使太平洋東部重點(diǎn)區(qū)域和大西洋北部重點(diǎn)區(qū)域也實(shí)現(xiàn)了三重覆蓋，此外HEO兩個(gè)向南延伸的區(qū)域也得到了充分的利用，對(duì)太平洋東部和中東兩處中低緯區(qū)域進(jìn)行了覆蓋。而且可以發(fā)現(xiàn)多個(gè)區(qū)域正好處于多重覆蓋區(qū)域的邊緣，說明算法在尋優(yōu)的時(shí)候在滿足覆蓋要求的情況下，盡量不浪費(fèi)覆蓋資源，使有限的視場(chǎng)覆蓋盡量多的區(qū)域。

表2 優(yōu)化效果概述Table 2 Overview of optimization results

圖12 優(yōu)化星座的覆蓋圖Fig.12 Map of coverage for optimized constellation

圖13(a)和圖13(b)分別為HEO衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)位于63.4° N、39° W和63.4° N、141° E時(shí)的PDOP分布圖。衛(wèi)星在這兩個(gè)位置附近運(yùn)行約6 h 時(shí)，每天兩個(gè)周期，交替對(duì)北半球進(jìn)行探測(cè)。紅色方格點(diǎn)為重點(diǎn)區(qū)域的采樣點(diǎn)，由于單星區(qū)域無法計(jì)算PDOP，所以單星覆蓋區(qū)域是空白。圖中的顏色代表了PDOP的數(shù)值大小。從圖13可以看出，所有重點(diǎn)區(qū)域都處于PDOP相對(duì)較小的區(qū)域。

圖13 優(yōu)化星座PDOP分布圖Fig.13 PDOP distribution of optimized constellation

5 結(jié) 論

本文以多個(gè)區(qū)域覆蓋重?cái)?shù)和PDOP作為預(yù)警星座優(yōu)化目標(biāo)，所得結(jié)論如下：

1) 預(yù)警星座是多區(qū)域覆蓋星座，需要對(duì)每個(gè)關(guān)注區(qū)域都滿足覆蓋要求，無法采用單目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化。對(duì)采用多目標(biāo)優(yōu)化方法對(duì)M個(gè)關(guān)注區(qū)域的覆蓋問題進(jìn)行求解符合星座設(shè)計(jì)優(yōu)化目的，能得到一組互不支配的Pareto最優(yōu)解。

2) 基于覆蓋性的搜索空間變換將搜索空間大幅度縮小，從而提高了覆蓋性優(yōu)化計(jì)算效率。

3) 基于序優(yōu)化的定位精度優(yōu)化可以快速優(yōu)化出衛(wèi)星的部署位置。面向覆蓋和定位精度的星座綜合優(yōu)化時(shí)間在分鐘級(jí)別，滿足設(shè)計(jì)需求。

[1] 王群. 美國新一代導(dǎo)彈預(yù)警衛(wèi)星系統(tǒng)及其能力分析[J]. 國防科技, 2012, 33(2): 7-12.

WANG Q. A new generation of USA missile warning satellites system and its ability[J]. National Defense Science and Technology, 2012, 33(2): 7-12 (in Chinese).

[2] 丁國振, 張占月, 郭力聞, 等. SBIRS-GEO衛(wèi)星預(yù)警探測(cè)流程及信噪比閾值建模分析[J]. 裝備學(xué)院學(xué)報(bào), 2014, 25(5): 78-82.

DING G Z, ZHANG Z Y, GUO L W, et al. Simulation and analysis of workflow and signal-to-noise ratio threshold for SBIRS-GEO early warning satellite’s detector[J]. Journal of Equipment Academy, 2014, 25(5): 78-82 (in Chinese).

[3] 李小將, 金山, 廖海玲, 等. 美軍SBIRS GEO-1預(yù)警衛(wèi)星探測(cè)預(yù)警能力分析[J]. 激光與紅外, 2013, 43(1): 3-8.

LI X J, JIN S, LIAO H L, et al. Analysis on infrared detecting and early warning capabilities of America’s SBIRS GEO-1 satellite[J]. Laser & Infrared, 2013, 43(1): 3-8 (in Chinese).

[4] ZHONG Y, WU X Y, HUANG S C. Geometric dilution of precision for bearing-only passive location in three-dimensional space[J]. Electronics Letters, 2015, 51(6): 518-519.

[5] 申鎮(zhèn), 強(qiáng)勝, 張寅生, 等. 單星無源探測(cè)彈道導(dǎo)彈射向估計(jì)新方法[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2011, 32(7): 1451-1456.

SHEN Z, QIANG S, ZHANG Y S, et al. New method on course heading estimation with single satellite’s passive detection[J]. Journal of Astronautics, 2011, 32(7): 1451-1456 (in Chinese).

[6] RUDD J G, MARSH R A, ROECKER J A. Surveillance and tracking of ballistic missile launches[J]. IBM Journal of Research & Development, 1994, 38(2): 195-216.

[7] BEAULIEU M R. Launch detection satellite system engineering error analysis[D]. Monterey, CA: Naval Postgraduate School, 1996.

[8] 胡磊, 閆世強(qiáng), 劉輝, 等. 美國GEO預(yù)警衛(wèi)星覆蓋性能分析[J]. 空軍預(yù)警學(xué)院學(xué)報(bào), 2012, 26(6): 404-408.

HU L, YAN S Q, LIU H, et al. Analysis of coverage performance on US GEO early warning satellites[J]. Journal of Air Force Radar Academy, 2012, 26(6): 404-408 (in Chinese).

[9] 毛藝帆, 張多林, 王路. 美國SBIRS-HEO衛(wèi)星預(yù)警能力分析[J]. 紅外技術(shù), 2014, 36(6): 467-470.

MAO Y F, ZHANG D L, WANG L. Analysis on early warning capability of USA’s SBIRS-HEO satellite[J]. Infrared Technology, 2014, 36(6): 467-470 (in Chinese).

[10] 閻志偉, 田菁, 李漢鈴. 基于改進(jìn)的NSGA-II算法的區(qū)域覆蓋衛(wèi)星星座優(yōu)化[J]. 空間科學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 24(1): 43-50.

YAN Z W, TIAN J, LI H L. Optimization of regional coverage satellite constellation by improved NSGA-II algorithm[J]. Chinese Journal of Space Science, 2004, 24(1): 43-50 (in Chinese).

[11] 閻志偉, 陳璟, 李漢鈴. 空間預(yù)警系統(tǒng)任務(wù)分析/規(guī)劃仿真環(huán)境[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào), 2004, 16(6): 1202-1205.

YAN Z W, CHEN J, LI H L. A mission analysis and planning simulation environment for space early warning system[J]. Acta Simulata Systematica Sinica, 2004, 16(6): 1202-1205 (in Chinese).

[12] 鐘宇, 吳曉燕, 黃樹彩, 等. 面向區(qū)域的 GEO 紅外預(yù)警衛(wèi)星部署研究[J]. 電光與控制, 2015, 22(7): 79-83.

ZHONG Y, WU X Y, HUANG S C, et al. Area-oriented GEO IR early-warning satellite deployment[J]. Electronics Optics & Control, 2015, 22(7): 79-83 (in Chinese).

[13] 張雅聲, 姚勇. 異構(gòu)預(yù)警衛(wèi)星星座設(shè)計(jì)與分析[J]. 裝備指揮技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào), 2009, 20(3): 47-51.

ZHANG Y S, YAO Y. Design and analysis of non-isomorphic early warning satellites constellation[J]. Journal of the Academy of Equipment Command & Technology, 2009, 20(3): 47-51 (in Chinese).

[14] 王瑞, 馬興瑞, 李明. 采用遺傳算法進(jìn)行區(qū)域覆蓋衛(wèi)星星座優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2002, 23(3): 24-28.

WANG R, MA X R, LI M. Optimization of regional coverage satellite constellations by genetic algorithm[J]. Journal of Astronautics, 2002, 23(3): 24-28 (in Chinese).

[15] MATOSSIAN M G. Multi-satellite constellation configuration selection for multiregional highly elliptical orbit constellations[C]//Proceedings of the Second Annual International Space University Alumni Conference. Washington, D.C.: NASA, 1994: 126-136.

[16] 蒙波, 伊成俊, 韓潮. 基于多目標(biāo)粒子群算法的導(dǎo)航星座優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 航空學(xué)報(bào), 2009, 30(7): 1284-1291.

MENG B, YI C J, HAN C. Optimization of navigation satellite constellation by multi-objective particle swarm algorithm[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2009, 30(7): 1284-1291 (in Chinese).

[17] ASGARIMEHR M, HOSSAINALI M M. Optimization of geosynchronous satellite constellation for independent regional navigation and positioning in Middle East region[J]. Acta Astronautica, 2014, 104(1): 147-158.

[18] FERRINGER M P, CLIFTON R S, THOMPSON T G. Constellation design with parallel multi-objective evolutionary computation[C]//Proceedings of AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference. Reston: AIAA, 2006: 21-24.

[19] CUI H Z, HAN C. Satellite constellation configuration design with rapid performance calculation and ordinal optimization[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2011, 24(5): 631-639.

[20] 韓潮, 鄧麗, 徐嘉. 一種改進(jìn)的區(qū)域覆蓋星座優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[J]. 上海航天, 2005, 22(1): 11-14.

HAN C, DENG L, XU J. Improved method of optimal regional coverage constellation[J]. Aerospace Shanghai, 2005, 22(1): 11-14 (in Chinese).

[21] TRISHCHENKO A P, GARAND L. Spatial and temporal sampling of polar regions from two-satellite system on Molniya orbit[J]. Journal of Atmospheric & Oceanic Technology, 2011, 28(8): 977-992.

[22] MARLER R T, ARORA J S. Survey of multi-objective optimization methods for engineering[J]. Structural & Multidisciplinary Optimization, 2004, 26(6): 369-395.

[23] 李志強(qiáng), 藺想紅. 多目標(biāo)優(yōu)化非支配集構(gòu)造方法的研究進(jìn)展[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用, 2013, 49(19): 31-35.

LI Z Q, LIN X H. Research advance of multi-objective optimization non-dominated set construction methods[J]. Computer Engineering & Applications, 2013, 49(19): 31-35 (in Chinese).

[24] HO Y C, ZHAO Q C, JIA Q S. Ordinal optimization: Soft optimization for hard problems[M]. Berlin: Springer, 2007: 9-13.

劉冰男， 博士研究生。主要研究方向： 裝備系統(tǒng)分析、 評(píng)估與優(yōu)化。

Tel.: 0731-84573260

E-mail: liubeing@126.com

易東云男， 博士， 教授， 博士生導(dǎo)師。主要研究方向： 網(wǎng)絡(luò)科學(xué)與大數(shù)據(jù)。

Tel.: 0731-84573206

E-mail: dongyunyi@sina.com

*Correspondingauthor.Tel.：0731-84573206E-mail:dongyunyi@sina.com

Missilewarningconstellationoptimizationbasedonsearchspacetransformationandordinaloptimization

LIUBing,YITaihe,SHENZhen,YIDongyun*

CollegeofScience,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410072,China

Highearthorbitmissilewarningsatelliteconstellationiscomposedofseveralsatellitesoperatingonthegeostationaryorbitandhighlyellipticalorbit.Thecoveragerequirementandpositioningprecisionarethemostimportantobjectivesofitsconstellationoptimization.Forthecoverageoptimization,thecoveragerequirementisdeterminedbythethreatdegreesofdifferentareas.Forthepositioningoptimization,thepositionalprecisioninmulticoverageandsinglecoverageregionsisdifferent.Thesetwofactsdefinetheconstellationoptimizationasacomplicatedmulti-regionalmulti-objectiveproblem.Todealwiththisproblem,amulti-layermulti-objectivemodelwhichisabletodescribetheproblemefficientlyisproposed.Thenamethodwhichdefinestheoptimizationasaprocesswithtwostepsisintroducedtosolvetheproblem.Intheprocessofcoverageoptimization,arapidmethodbasedonsearchspacetransformationisintroducedtothecalculationofParetooptimal,whichistimesavingandimprovestheaccuracy.Intheprocessofpositioningoptimization,theordinaloptimizationisproposedtosavethetimeofoptimization.Finally,thevalidityofthealgorithmistestedbythenumericalexperiment.Andthetimeconsumptionoftheentireoptimizationislessthanoneminute.

satellites;constellation;regionalcoverage;multi-objective;optimization

2015-10-23;Revised2015-12-23;Accepted2016-02-29;Publishedonline2016-03-021449

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160302.1449.010.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(61370013,91438202)

2015-10-23；退修日期2015-12-23；錄用日期2016-02-29； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2016-03-021449

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*

.Tel.：0731-84573206E-maildongyunyi@sina.com

劉冰， 易泰河， 申鎮(zhèn)， 等． 基于搜索空間變換和序優(yōu)化的預(yù)警星座設(shè)計(jì)J． 航空學(xué)報(bào),2016,37(11):3413-3424.LIUB,YITH,SHENZ,etal.MissilewarningconstellationoptimizationbasedonsearchspacetransformationandordinaloptimizationJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(11):3413-3424.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0053

V412.41

A

1000-6893(2016)11-3413-12