拉普拉斯白噪聲下的分組Turbo碼

黨小宇， 黃準(zhǔn)， 朱魯軍， 虞湘賓， 陳小敏

南京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院， 南京 210016

拉普拉斯白噪聲下的分組Turbo碼

黨小宇*， 黃準(zhǔn)， 朱魯軍， 虞湘賓， 陳小敏

南京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院， 南京 210016

目前，傳統(tǒng)航空測(cè)控通信所采用的糾錯(cuò)碼大多是建立在高斯信道基礎(chǔ)上的。然而，航空測(cè)控環(huán)境中不可避免存在著多種尖銳的噪聲，測(cè)控通信糾錯(cuò)碼的可靠性能在非高斯信道中尚未得到充分的研究。分析了一類國(guó)際航空遙測(cè)的分組Turbo碼(BTC)在拉普拉斯白噪聲信道下的譯碼和性能。將傳統(tǒng)Chase迭代譯碼算法引入到拉普拉斯白噪聲信道中，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,同時(shí)，基于該數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)了3種不同的譯碼接收器下的BTC譯碼方案。仿真結(jié)果驗(yàn)證了該數(shù)學(xué)模型的正確性與可行性，在誤碼率為10-4時(shí)最佳譯碼方案相比于硬限幅接收機(jī)有3.7 dB的增益，相比原有的高斯信道下的接收機(jī)僅有0.6 dB的性能損失。

分組Turbo碼； 拉普拉斯白噪聲； 誤碼率(BER)； 碼字可靠性； 迭代譯碼算法

近十幾年來，拉普拉斯白噪聲模型在信號(hào)處理、信號(hào)檢測(cè)和通信領(lǐng)域等方面被廣泛地關(guān)注和研究。它常常被用于各種環(huán)境中的脈沖噪聲模型，比如室內(nèi)[1]與室外無線電環(huán)境[2-3]和海底傳輸環(huán)境等[4]。一方面，在超寬帶無線通信(Ultra-Wide Bandwidth, UWB)[5]中存在拉普拉斯噪聲，這主要是因?yàn)樵赨WB系統(tǒng)中的多用戶干擾(Multi-User Interference, MUI)概率分布與拉普拉斯分布的概率密度函數(shù)相似[6]。另一方面，文獻(xiàn)[7-8]對(duì)拉普拉斯噪聲中的信號(hào)進(jìn)行估計(jì)與提取。實(shí)際上，在航空航天領(lǐng)域中也存在著拉普拉斯噪聲，如航天飛船在多級(jí)分離中的各次點(diǎn)火瞬間就存在尖銳的脈沖噪聲信號(hào)，可以被當(dāng)作拉普拉斯噪聲進(jìn)行研究[9-10]。

分組Turbo碼[11](Block Turbo Code, BTC)是與Turbo卷積碼[12]不同的，通過行列交織形成的二維分組碼。1993年，Berrou等[13]提出Turbo卷積碼的譯碼算法，使信道編碼領(lǐng)域有了新的突破。隨后，基于分組Turbo碼的特點(diǎn)，Pyndiah等[14]在1994年提出了分組Turbo碼的軟輸入軟輸出迭代譯碼算法。自BTC軟輸入輸出迭代譯碼算法提出后，其編譯碼過程被廣泛采用，尤其是譯碼。BTC譯碼采用Chase譯碼算法[15]，它是基于軟輸入輸出進(jìn)行迭代譯碼的，在高碼率下，它仍然具有較強(qiáng)的糾錯(cuò)能力。同時(shí)，Chase譯碼算法能使譯碼碼字的錯(cuò)誤機(jī)率達(dá)到最小，其性能接近最大似然譯碼。文獻(xiàn)[16]針對(duì)BTC的譯碼算法提出了一種高效的混合式譯碼器。另外，BTC在信道編碼領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，例如航空遙測(cè)技術(shù)新版標(biāo)準(zhǔn)IRIG106-11采用了一類BTC碼作為糾錯(cuò)編碼方案[17]。

然而，在國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中，將BTC與拉普拉斯噪聲相結(jié)合進(jìn)行研究尚未見報(bào)道。因此，本文旨在討論給定航空遙測(cè)IRIG106-11標(biāo)準(zhǔn)中所采用的分組Turbo碼條件下，拉普拉斯信道的最佳/匹配/硬限幅接收器結(jié)構(gòu)，并分析其接收器性能。具體的，將傳統(tǒng)Chase迭代譯碼算法引入到拉普拉斯噪聲模型中，建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，重新推導(dǎo)判決碼字的可靠性，然后得出軟輸出信息，最后進(jìn)行迭代譯碼。相比于高斯白噪聲條件下，BTC在拉普拉斯噪聲中性能損失得到了數(shù)值上的評(píng)估，對(duì)航空器通信鏈路評(píng)估在非高斯噪聲條件下的性能有著重要參考意義。

值得注意的是，適用于Turbo卷積碼的最大后驗(yàn)概率(Maximum A Posteriori, MAP)、最大-對(duì)數(shù)-后驗(yàn)概率(MAX-Log-MAP)等算法并不適用于分組Turbo碼。這是因?yàn)镸AP算法采用前向和后向概率計(jì)算時(shí)，需要利用碼字固有的柵格(Trellis)結(jié)構(gòu)，而分組碼的Trellis結(jié)構(gòu)隨著碼長(zhǎng)的增加會(huì)變得極其復(fù)雜，使得這類算法在分組Turbo碼譯碼上難以應(yīng)用。

本文內(nèi)容安排如下：第1節(jié)介紹拉普拉斯白噪聲信道下的3種BTC譯碼接收器，包括最佳接收器、硬限幅接收器以及匹配濾波接收器。第2節(jié)提出拉普拉斯白噪聲信道中3種接收器下的BTC譯碼方法。第3節(jié)給出高斯白噪聲和拉普拉斯白噪聲信道下的仿真結(jié)果，并進(jìn)行性能分析。第4節(jié)對(duì)本文進(jìn)行總結(jié)分析。

1 基于拉普拉斯白噪聲的譯碼接收器

在高斯白噪聲信道中，譯碼接收器通過匹配濾波來得到輸出信息[18]。然而，拉普拉斯分布的概率密度函數(shù)為

(1)

式中：u為拉普拉斯隨機(jī)變量W的均值，方差為b2/2。u=0時(shí)為拉普拉斯白噪聲。由于與高斯分布概率密度函數(shù)不同，在拉普拉斯白噪聲信道下采用匹配濾波的接收器并不是最佳的接收器[19]。因此需要重新設(shè)計(jì)拉普拉斯白噪聲信道下的BTC譯碼器，推導(dǎo)不同接收器下判決碼字的可靠性。外信息由判決碼字的可靠性推出，而外信息是影響整個(gè)BTC迭代譯碼性能的關(guān)鍵因素[20]，因此，判決碼字的可靠性推導(dǎo)至關(guān)重要。

假設(shè)發(fā)送端二進(jìn)制數(shù)據(jù)符號(hào)為d∈{+1,-1}，經(jīng)過拉普拉斯白噪聲信道后，接收端的信號(hào)表示為

xi=dsi+nii∈{1,2,…,N}

(2)

式中：xi為接收端的采樣點(diǎn)；si為碼元成形函數(shù)s(t)的采樣點(diǎn)；ni為獨(dú)立同分布的拉普拉斯白噪聲的采樣點(diǎn)。

那么，在接收端的采樣點(diǎn)信號(hào)有以下兩種表示

(3)

如果x=[x1x2…xN]，Li為譯碼最佳接收器(Optimal Detector)的對(duì)數(shù)似然比(Log-Likelihood Ratio)，那么Li可以表示為

(4)

式(4)也可寫為

|xi·sgn(si)-|si||)

(5)

式中：sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。定義非線性gi(t),i∈{1,2,…,N}為

gi(t)=|t+|si||-|t-|si||=

(6)

因此，輸入到BTC譯碼器之前的信號(hào)可以表示為

(7)

式中：r對(duì)應(yīng)于BTC碼塊中的一個(gè)碼元。最佳接收器的結(jié)構(gòu)圖如圖1(a)所示。

硬限幅接收器(Hard Limit Detector, HLD)中的非線性gi(t)與最佳接收器不同，如圖1(b)所示。這里，非線性gi(t)取值為

(8)

式中：對(duì)于gi(t)，需要說明：當(dāng)t=0時(shí)，gi(t)既可為+1，也可為-1，但發(fā)生這種情況的概率極低，不影響整個(gè)系統(tǒng)性能。因此，輸入到BTC譯碼器之前的信號(hào)同樣可以表示為

(9)

在譯碼匹配濾波接收器(Matched Filter, MF)中，沒有非線性gi(t)，只有采樣點(diǎn)相加模塊，如圖1(c)所示。輸入到譯碼器之前的信號(hào)可以表示為

(10)

圖1 拉普拉斯白噪聲下的3種BTC譯碼接收器結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structures of three BTC decoding detectors in white Laplacian channel

在以上3種接收器中，譯碼最佳接收器最復(fù)雜，而匹配濾波接收器復(fù)雜度最小，只采用了相加模塊。相比于譯碼最佳接收器，譯碼硬限幅接收器降低了接收器復(fù)雜度，即采用了較簡(jiǎn)單的非線性gi(t)。

2 基于拉普拉斯白噪聲的BTC編譯碼原理

在高斯白噪聲BTC譯碼中，最佳判決碼字D的可靠性通過與譯碼器輸入序列R之間的歐氏距離來求得。然而，在拉普拉斯白噪聲的BTC譯碼中，無法通過碼字的歐氏距離來求得判決碼字的可靠性，而是與譯碼器輸入信息的概率密度函數(shù)有關(guān)。因此，本節(jié)對(duì)拉普拉斯白噪聲下的BTC編譯碼原理進(jìn)行詳細(xì)分析，并基于不同的譯碼接收器推導(dǎo)對(duì)應(yīng)判決碼字的可靠性。

2.1 BTC編碼

BTC編碼可以分為二維或三維，二維BTC編碼由兩個(gè)子碼構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)為塊狀，三維BTC編碼由3個(gè)子碼構(gòu)成，其結(jié)構(gòu)為立體狀。BTC的子碼一般由其他碼構(gòu)成，其常用的子碼有線性分組碼、循環(huán)碼和BCH碼等。

如圖2所示，該圖為BTC 的編碼結(jié)構(gòu)圖，信息位為k1×k2矩陣。BTC碼編碼首先將k1×k2信息矩陣安排在如圖2所示的右下角；然后將信息矩陣進(jìn)行列編碼，編碼后得到一個(gè)k1×n2矩陣；最后將k1×n2矩陣進(jìn)行行編碼，編碼后得到一個(gè)n1×n2矩陣。

圖2 二維BTC編碼塊Fig.2 Two-dimensional coding block of BTC

2.2 基于Chase-Ⅱ的BTC譯碼步驟

設(shè)BTC譯碼器輸入端序列為R=[r1r2…rn]，D=[d1d2…dn]為最佳判決碼字。一次迭代譯碼過程為

2) 形成錯(cuò)誤圖樣E，它是將第1步中的p個(gè)位置分別用0、1表示，其他位置置0，即共形成2p個(gè)序列。

3) 形成測(cè)試序列T=H⊕E，H為接收序列R進(jìn)行硬判決后得到的序列，其中⊕為模2相加。

4) 對(duì)所有測(cè)試序列進(jìn)行代數(shù)譯碼，產(chǎn)生候選碼字集合C。

5) 將C與R相對(duì)比，從集合C中選出碼字可靠性最高的碼字作為最佳判決碼字D。在高斯白噪聲BTC譯碼中，按照式(11)找到最佳判決碼字D：

?i,j∈{1,2，…,2p},j≠i

(11)

(12)

如果要進(jìn)行下一次迭代譯碼，Chase譯碼器產(chǎn)生最佳判決碼字D和次佳判決碼字作為競(jìng)爭(zhēng)碼字B，通過計(jì)算得出軟輸出信息和外信息，進(jìn)而產(chǎn)生新的軟輸入信息作為下一次迭代的輸入信息[21]。

然而，由于輸入信息的概率分布函數(shù)不同，拉普拉斯白噪聲下的BTC譯碼并不能使用式(11)找到最佳判決碼字D，并據(jù)此得到下一次迭代的軟輸入信息。因此本文將在2.3節(jié)對(duì)拉普拉斯白噪聲信道下的判決碼字可靠性進(jìn)行詳細(xì)分析和推導(dǎo)。

2.3 判決碼字的可靠性分析

為了提高譯碼的性能，必須采用迭代的方式，因而需要保證判決碼字D的可靠性，并據(jù)此得到外信息作為下一輪的迭代輸入。判決碼字D中的元素的可靠性用傳輸碼字X=[x1x2…xn]的對(duì)數(shù)似然比來表示：

(13)

式中：

(14)

根據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則，有

(15)

(16)

2.3.1 采用最佳接收器的判決碼字可靠性

假設(shè)發(fā)送數(shù)據(jù)sk=1、采樣點(diǎn)數(shù)N=1。在經(jīng)過最佳接收器之后，得到的新的軟限幅拉普拉斯分布rk的概率密度函數(shù)為

fop(rk|sk=1)=

(17)

當(dāng)sk=-1時(shí)，rk的概率密度函數(shù)與sk=1時(shí)的概率密度函數(shù)關(guān)于Y軸對(duì)稱，即

fop(rk|sk=1)=fop(-rk|sk=-1)

(18)

根據(jù)式(17)及式(18)又有式(19)成立：

(19)

即可推得

(20)

則采用最佳接收器條件下的判決碼字D的可靠性表示為

(21)

將式(21)歸一化，可得

(22)

2.3.2 采用硬限幅接收器的判決碼字可靠性

假設(shè)發(fā)送數(shù)據(jù)sk=1、采樣點(diǎn)數(shù)N=1。經(jīng)過硬限幅接收器后的輸出rk的條件概率分布為

(23)

當(dāng)sk=-1時(shí)，rk的概率密度函數(shù)與sk=1時(shí)的概率密度函數(shù)關(guān)于Y軸對(duì)稱，即

fHL(rk|sk=1)=fHL(-rk|sk=-1)

(24)

那么由式(23)及式(18)得到采用硬限幅接收器條件下的判決碼字D的可靠性為

(25)

將其歸一化之后，得到軟輸出信息和外信息分別為

(26)

2.3.3 采用匹配濾波接收器的判決碼字可靠性

當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N=1時(shí)，匹配濾波器的輸出信息服從拉普拉斯分布。此時(shí)匹配濾波接收器輸出信息序列R的條件概率為

(27)

由此得到其判決碼字D的可靠性為

(28)

式(28)可以表示為

(29)

式中：

(30)

將式(29)歸一化，可得

(31)

2.4 外信息的計(jì)算

根據(jù)上文給出的拉普拉斯白噪聲信道下的3種不同接收器的判決碼字可靠性的歸一化表達(dá)式，可以得到對(duì)應(yīng)的外信息從而進(jìn)行迭代譯碼。具體分如下兩種情況討論。

1) 當(dāng)bj≠dj時(shí)，最佳譯碼接收器和硬限幅譯碼接收器的外信息為

(32)

而匹配濾波接收器的外信息為

(33)

2) 當(dāng)bj=dj時(shí)，對(duì)于以上3種接收器的外信息均為

wj=βdj

(34)

式中：調(diào)節(jié)因子β為經(jīng)驗(yàn)值。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本文建立的數(shù)學(xué)模型，本節(jié)在不同譯碼接收器、不同采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)和不同子碼下進(jìn)行仿真分析。仿真條件：BTC子碼采用BCH碼，迭代次數(shù)為4次，行列不可靠位分別為p1=4、p2=4，采樣速率為N=1，調(diào)制方式為BPSK，隨機(jī)脈沖波形為矩形脈沖。

仿真1不同譯碼接收器的仿真分析

仿真2不同子碼的仿真分析

圖3 拉普拉斯白噪聲中不同BTC接收器下的誤碼率曲線Fig.3 BER in white Laplacian channel with different BTC detectors

圖4 高斯拉普拉斯白噪聲下不同子碼的誤碼率曲線 Fig.4 BER curves with different subcodes in Gaussian and white Laplacian channel

4 結(jié) 論

本文研究拉普拉斯白噪聲條件下航空測(cè)控BTC碼的性能，得到如下結(jié)論：

1) 拉普拉斯白噪聲條件下BTC的譯碼可由最佳、匹配、硬限幅3種接收器實(shí)現(xiàn)。

2) 拉普拉斯白噪聲條件下最佳接收器的BTC譯碼性能最佳，接近高斯白噪聲條件下的BTC譯碼性能，在誤碼率為10-4時(shí)僅相差約0.6 dB。

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黨小宇男， 博士， 教授， 碩士生導(dǎo)師。主要研究方向： 衛(wèi)星導(dǎo)航、 信道編碼理論、 深空通信、 航空航天測(cè)控。

Tel.: 025-84892402

E-mail: dang@nuaa.edu.cn

黃準(zhǔn)男， 碩士研究生。主要研究方向： 信道編碼理論、 調(diào)制解調(diào)技術(shù)。

E-mail: 2702121416@qq.com

朱魯軍男， 碩士研究生。主要研究方向： 調(diào)制解調(diào)技術(shù)、 計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)。

E-mail: zhulujuna@163.com

*Correspondingauthor.Tel.：025-84892402E-mail:dang@nuaa.edu.cn

BlockTurbocodeinwhiteLaplaciannoise

DANGXiaoyu*,HUANGZhun,ZHULujun,YUXiangbin,CHENXiaomin

CollegeofElectronicandInformationEngineering,NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China

Recently,mosterrorcorrectingcodesusedinaeronauticaltelemetryandcontrolcommunicationarebasedonwhiteGaussianchannel.However,thereareunavoidablymultiplekindsofsharpnoisesinaeronauticalmeasurementandcontrolcommunication,andreliabilityoferrorcorrectingcodeswithnon-Gaussianchannelhasnotbeenfullystudied.Inthispaper,thedecodingandperformanceoftheblockTurbocodeinwhiteLaplacianchannelisanalyzed.ThemathematicalmodelisestablishedbyintroducingconventionalChaseiterativedecodingalgorithmtowhiteLaplacianchannel.Atthesametime,threekindsofBTCdecodingschemeswithdifferentdetectorsareproposed.Simulationresultsverifytheavailabilityofthemodel.Itisfoundthatwhenthebiterrorrateis10-4,theoptimaldetectorprovides3.7dBofgaincomparedwiththehardlimitdetectorinwhiteLaplacianchannel,andonly0.6dBofperformancelossincontrastwiththetraditionaldetectorinwhiteGaussianchannel.

blockTurbocode;whiteLaplaciannoise;biterrorrate(BER);codereliability;iterativedecodingalgorithm

2015-11-26；Revised2015-12-14；Accepted2016-02-21；Publishedonline2016-03-021429

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160302.1429.002.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(61172078,61571224,61571225)；FundamentalResearchFundsfortheCentralUniversities(NS2014038)；FoundationofGraduateInnovationCenterinNUAA(kfjj20150404)；ScientificResearchFoundationforthe

OverseasChineseScholarsofMinistryofEducationofChina;SixTalentPeaksProjectinJiangsu

2015-11-26；退修日期2015-12-14；錄用日期2016-02-21； < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間：2016-03-021429

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20160302.1429.002.html

國(guó)家自然科學(xué)基金 (61172078、61571224、61571225)； 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi) (NS2014038)； 南京航空航天大學(xué)研究生創(chuàng)新基地(實(shí)驗(yàn)室)開放基金 (kfjj20150404)； 教育部留學(xué)回國(guó)人員科研啟動(dòng)基金; 江蘇省六大人才高峰項(xiàng)目

*

.Tel.：025-84892402E-maildang@nuaa.edu.cn

黨小宇， 黃準(zhǔn)， 朱魯軍， 等. 拉普拉斯白噪聲下的分組Turbo碼J． 航空學(xué)報(bào),2016,37(11):3494-3501.DANGXY,HUANGZ,ZHULJ,etal.BlockturbocodeinwhiteLaplaciannoiseJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2016,37(11):3494-3501．

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.0050

V243.5; TN911.22

A

1000-6893(2016)11-3494-08