改進(jìn)的壓縮感知限幅噪聲消除方案

莊 陵, 葉華雙

(1.重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院, 重慶 400065; 2.移動(dòng)通信教育部工程研究中心,重慶 400065; 3.移動(dòng)通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 重慶 400065)

0 引 言

由于正交頻分復(fù)用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)技術(shù)共有高傳輸速率、對抗頻率選擇性衰落的魯棒性、高頻譜效率的特點(diǎn)，易于被廣泛用于多種無線通信系統(tǒng)。但OFDM信號(hào)的較高峰均功率比(peak to average power ratio, PAPR)很大程度上限制了其使用[1-3]。

通常PAPR抑制技術(shù)被劃分為3類:信號(hào)失真技術(shù)[4-5]、編碼技術(shù)[6]及多信號(hào)概率類技術(shù)[7-8]。編碼技術(shù)和多信號(hào)概率類技術(shù)易帶來較高的系統(tǒng)復(fù)雜度及額外冗余。信號(hào)失真技術(shù)中的限幅技術(shù)根據(jù)信號(hào)幅值預(yù)設(shè)限幅門限,對信號(hào)直接剪切,由于其復(fù)雜度低、易操作,被廣泛用于PAPR抑制。限幅雖可有效抑制OFDM信號(hào)的PAPR值,但會(huì)引入帶外泄露與帶內(nèi)失真即限幅噪聲[9]。帶外泄露可在發(fā)射端通過頻域?yàn)V波消除[10],但限幅噪聲無法通過濾波消除,導(dǎo)致系統(tǒng)誤碼率(bit error rate, BER)性能顯著下降。

為消除限幅噪聲,文獻(xiàn)[11-12]利用決策輔助重建方案在接收端迭代消除限幅噪聲,補(bǔ)償了限幅過程系統(tǒng)性能的下降,但迭代過程以及額外引入的快速傅里葉變換(fast Fourier transform, FFT)和逆FFT(inverse FFT, IFFT),帶來較高計(jì)算復(fù)雜度。

另外,由于OFDM符號(hào)的包絡(luò)在時(shí)域上服從瑞利分布,較大峰值只出現(xiàn)在少數(shù)的采樣點(diǎn),對少數(shù)的采樣點(diǎn)限幅處理,產(chǎn)生噪聲在時(shí)域上具有稀疏特性,這種稀疏特性使壓縮感知(compressed sensing, CS)算法在消除限幅噪聲中得到廣泛研究[13-17]。

文獻(xiàn)[13-14]中提出預(yù)留空子載波的CS算法,該算法預(yù)留空子載波作為CS觀測向量,但會(huì)降低數(shù)據(jù)傳輸速率。文獻(xiàn)[15]提出改進(jìn)的CS算法,利用導(dǎo)頻信號(hào)作為CS的觀測值,但導(dǎo)頻子載波對載波間干擾敏感,且易受信道噪聲干擾,會(huì)影響CS算法的重構(gòu)性能。文獻(xiàn)[16]整體量化限幅和功率放大器產(chǎn)生的非線性失真,利用CS算法恢復(fù)總的非線性失真,但是從提高CS算法重構(gòu)精度的角度來說,引入功率放大器產(chǎn)生的失真會(huì)破壞限幅噪聲固有的稀疏特性。文獻(xiàn)[17]選取受信道噪聲影響小的子載波作為可靠觀測值,在接收端利用CS算法對限幅噪聲重構(gòu),該算法不需要預(yù)留空子載波，所以不會(huì)降低數(shù)據(jù)傳輸速率,但該方法無法避免信道以及多徑效應(yīng)對限幅噪聲的干擾,仍會(huì)破壞限幅噪聲在發(fā)射端固有的位置分布特點(diǎn)及幅度特性,影響CS觀測向量選取,使CS算法重構(gòu)精度降低。

通常研究者都與以上文獻(xiàn)相同,在接收端對限幅噪聲進(jìn)行重構(gòu),但噪聲折疊現(xiàn)象[18]嚴(yán)重影響限幅噪聲的重構(gòu)性能。且傳統(tǒng)利用CS算法重構(gòu)噪聲,選取壓縮觀測值精度低,需要較多的觀測值才能達(dá)到預(yù)期的BER性能,這會(huì)增加計(jì)算復(fù)雜度?；谝陨峡剂?本文將在發(fā)送端而非接收端對限幅噪聲重構(gòu)。首先,對限幅噪聲的統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行理論推導(dǎo);其次,根據(jù)推導(dǎo)出的統(tǒng)計(jì)特性,在預(yù)設(shè)的限幅比下估計(jì)出限幅噪聲采樣點(diǎn)分布位置,選取被限幅的采樣點(diǎn)作為CS觀測值的儲(chǔ)備池,從而給出改進(jìn)的CS模型;然后,結(jié)合預(yù)估計(jì)稀疏自適應(yīng)匹配追蹤(sparsity adaptive matching pursuit, SAMP)算法消除限幅噪聲,并給出所提改進(jìn)方案的復(fù)雜度分析;最后仿真驗(yàn)證所提方案的有效性。

1 改進(jìn)的發(fā)送端系統(tǒng)模型

1.1 發(fā)送端限幅噪聲的統(tǒng)計(jì)特性

N維向量表示一個(gè)OFDM符號(hào)序列,序列中每一個(gè)元素首先通過M進(jìn)制的星座映射,X(k)(0≤k≤N-1)表示第k個(gè)子載波攜帶的頻域信息,在過采樣因子為L的情況下得到時(shí)間離散OFDM復(fù)信號(hào)表示為

(1)

X(k)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且同分布,均值為0,方差可表示為E[|X(k)|2]=E[|x(n)|2]=2σ2,由中心極限定理可得當(dāng)OFDM系統(tǒng)有較大子載波數(shù)目N,則x(n)包絡(luò)服從瑞利分布,過采樣下OFDM信號(hào)序列的PAPR表示為

(2)

在OFDM系統(tǒng)中常用互補(bǔ)累積函數(shù)(complementary cumulative distribution function, CCDF)描述信號(hào)的PAPR。因此過采樣下OFDM時(shí)域信號(hào)幅度大于預(yù)設(shè)門限值z的概率定義為

CCDF(z)=1-(1-e-z2)LN

(3)

發(fā)送端對時(shí)域OFDM符號(hào)進(jìn)行過采樣處理,很好地避免了限幅信號(hào)經(jīng)過D/A轉(zhuǎn)換器峰值再生,限幅信號(hào)表示為

(4)

式中:A是限幅閾值;θ是xL(n)的限幅角度限幅比,定義為

(5)

根據(jù)限幅信號(hào)時(shí)域特性,限幅信號(hào)可以描述為原始信號(hào)與限幅噪聲之和：

(6)

當(dāng)OFDM系統(tǒng)子載波數(shù)目足夠大時(shí),xL(n)的包絡(luò)服從瑞利分布,則限幅后信號(hào)平均功率可表示為

(7)

限幅信號(hào)經(jīng)由時(shí)域進(jìn)行LN點(diǎn)的傅里葉變換至頻域信號(hào),當(dāng)過采樣因子大于1,為消除限幅引入的帶外泄露,需要對限幅后的OFDM頻域序列進(jìn)行濾波處理,濾波后的限幅信號(hào)表示為

(8)

式中:C(k)是限幅噪聲的頻域表示。為描述C(k)的統(tǒng)計(jì)特性,根據(jù)Bussgangs理論,限幅信號(hào)可描述為

(9)

式中:dL(n)為過采樣下的限幅噪聲；f為衰減因子,可表示為

(10)

結(jié)合式(8)和式(9)推導(dǎo)出濾波后限幅信號(hào)為

D(k)=C(k)-(f-1)X(k),0≤k

(11)

(1-e-γ2-f2)E{|X(k)2|}

(12)

(2-2f-e-λ2)E{|X(k)2|}

(13)

當(dāng)L>1時(shí),上述限幅噪聲第k個(gè)子載波對應(yīng)方差可以表示為

(14)

式中:SD(k)是限幅噪聲每個(gè)子載波對應(yīng)的功率譜,與限幅噪聲的互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。限幅噪聲的互相關(guān)函數(shù)及自相關(guān)函數(shù)分別表示為

(15)

(16)

1.2 改進(jìn)的發(fā)送端CS模型

由限幅噪聲的統(tǒng)計(jì)特性推導(dǎo)可知,無論在奈奎斯特采樣還是過采樣下,限幅噪聲的方差、平均功率及信號(hào)衰減因子均和限幅比有關(guān)。因此,當(dāng)采樣點(diǎn)的包絡(luò)超過預(yù)設(shè)閾值,對該點(diǎn)的幅值限幅處理,可預(yù)估計(jì)出噪聲的位置,即分布于原始信號(hào)出現(xiàn)極大峰值的采樣點(diǎn)附近,將這些限幅后的采樣點(diǎn)作為壓縮感知的輸入,在發(fā)送端重構(gòu)限幅噪聲,改進(jìn)CS模型如圖1所示。

圖1 改進(jìn)CS模型

在不考慮濾波對限幅噪聲分布影響的前提下,限幅噪聲可描述為

(17)

由于對OFDM時(shí)域序列過采樣處理,使離散信號(hào)類似于連續(xù)時(shí)間信號(hào),故用一系列拋物脈沖描述限幅噪聲,因此式(17)可以改寫為

(18)

式中:fi(·)為第n個(gè)子載波處產(chǎn)生的第i個(gè)限幅噪聲脈沖;Np為產(chǎn)生脈沖總數(shù),即限幅噪聲的稀疏度,其平均值描述為

(19)

2 CS重構(gòu)算法

2.1 SAMP算法

發(fā)射端確定了限幅噪聲的位置及限幅采樣點(diǎn)數(shù)目,可通過選擇矩陣T從限幅噪聲選取部分觀測向量作為CS的待估計(jì)信號(hào)為

(20)

式中:T的維度為R×LN,由LN×LN單位陣I的R行組成;Φ=TF是M×LN的傳感矩陣,擁有良好的嚴(yán)格等距特性;A為傳感矩陣;F是LN×LN傅里葉變換矩陣,記

(21)

算法1 SAMP算法輸入:(1)Mmin×LN的傳感矩陣A=Φ(2)Mmin×1的觀測向量C^(n)=θA,該觀測值選取與預(yù)估計(jì)的限幅噪聲位置有關(guān),選取范圍為R={n|‖x(n)‖2>λE{x(n)}}(3)步長S輸出:(1)信號(hào)稀疏表示系數(shù)(2)Mmin×1維殘差rM=^c(n)-θ^MA處理過程:步驟1 初始化r0=c^,Λ0=?,L=S,t=1;步驟2 計(jì)算u=abs[ATrt-1],選取u中L個(gè)最大值,將這些對應(yīng)A的列序號(hào)j構(gòu)成列序號(hào)集合Sk;步驟3 Zk為Λk∪Sk,At={aj},其中j∈Sk;步驟4 求解c^=θtAt的最小二乘解 θt=argminθt‖c^-θtAt‖=(ATtAt)-1ATtc^;步驟5 從θ^t中選出絕對值最大的L項(xiàng)記為θ^tL,對應(yīng)的At中L列記為AtL,對應(yīng)的A列序號(hào)記為ΛtL,令F=ΛtL;步驟6 更新殘差rnew=^c-AtL(ATtLAtL)-1ATtL^c;步驟7 當(dāng)殘差的值為0則停止迭代進(jìn)入步驟8;如果‖rnew‖2≥‖rt-1‖2,更行步長L=L+S返回至步驟2繼續(xù)迭代;若前面兩個(gè)條件均不滿足,則令Λt=F,rt=rnew,t=t+1,如果t≤Mmin則停止迭代直接進(jìn)入步驟8,反之返回至步驟2繼續(xù)迭代;步驟8 重構(gòu)所得θ^在ΛtMmin有非0值,其值即為最后一次迭代的θ^tMmin;步驟9 重構(gòu)信號(hào)為c=θ^tMmin。

發(fā)射端恢復(fù)出限幅噪聲,去噪OFDM時(shí)域限幅序列表示為

(22)

去噪OFDM時(shí)域限幅序列通過高斯信道,接收信號(hào)y(n)首先通過模數(shù)轉(zhuǎn)換器(D/A),移除循環(huán)前綴,經(jīng)由FFT后得到頻域表達(dá)式為

Y(k)=H(k)Xnew(k)+W(k),0≤k≤N-1

(23)

式中:H(k)表示信道頻域響應(yīng);W(k)為加性高斯白噪聲;Xnew(k)為去噪OFDM頻域限幅序列。假設(shè)信道頻域響已知且精準(zhǔn)同步,迫零均衡信道量化可得

H-1(k)Y(k)=Xnew(k)+H-1(k)W(k)

(24)

將式(23)代入式(9)和式(11)推導(dǎo)出X(k)最大似然估計(jì)值(maximum likelihood, ML)為

(25)

Mmin=min(Ne-γ2lnN,0.8N)

(26)

2.2 改進(jìn)方案的復(fù)雜度分析

(1)基于CS限幅噪聲觀測值向量的選取。本文對限幅噪聲的位置進(jìn)行了預(yù)先估計(jì),在選取的觀測值向量包含了確定位置的噪聲,其大小記為Mq,Np

(2)執(zhí)行IFFT/FFT相應(yīng)的計(jì)算復(fù)雜度為O(LNlog2LN);

綜上可得基于改進(jìn)方案的SAMP算法復(fù)雜度可表示為O(LNlog2LN+KMqLN)。與傳統(tǒng)的CS算法相比,所提方案選取CS觀測值是來自預(yù)估計(jì)出位置的限幅采樣點(diǎn),縮小了可靠觀測值的選取范圍,在較小的Mq下,該方案擁有較低計(jì)算復(fù)雜度。

3 仿真結(jié)果與分析

為驗(yàn)證改進(jìn)CS算法對系統(tǒng)性能的提升,本文采用Matlab軟件分別在高斯信道下做3個(gè)方面的仿真及分析:① 不同限幅比下,信號(hào)PAPR抑制程度及限幅噪聲稀疏特性;② 比較所提改進(jìn)方案、傳統(tǒng)SAMP算法以及文獻(xiàn)[17]中OMP算法在壓縮觀測值數(shù)目不同時(shí)對限幅噪聲的重構(gòu)概率影響;③ 對比3種算法在不同限幅比下的系統(tǒng)BER性能。具體參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

3.1 限幅比與PAPR分析

如圖2所示,分析不同的限幅比對信號(hào)PAPR影響,當(dāng)CCDF(PAPR>PAPR0)=0.1時(shí),r=0.8對應(yīng)的PAPR值約為4.5 dB,r=1.6對應(yīng)的PAPR值約為7.5 dB,而原始信號(hào)對應(yīng)PAPR值約為14.3 dB。

圖2 不同限幅比下OFDM信號(hào)的PAPR性能分析

由此可見,無論是低限幅比還是高限幅比,限幅操作對信號(hào)的PAPR值都有良好抑制效果。由式(19)可知,限幅比越小則引入的非0元素越多,為保證限幅噪聲在時(shí)域中具有稀疏性,滿足改進(jìn)CS算法對限幅噪聲重構(gòu)條件,也要同時(shí)滿足對信號(hào)的PAPR充分抑制,因此第3.2節(jié)和第3.3節(jié)選取限幅比取值范圍為 1.3≤r≤1.6進(jìn)行仿真。

3.2 3種算法的限幅噪聲重構(gòu)概率對比

本節(jié)選取r=1.4,對比3種算法的限幅噪聲重構(gòu)概率。如圖3所示,當(dāng)壓縮觀測值數(shù)目為70時(shí),所提改進(jìn)方案(s=1,5,10)的重構(gòu)概率分別為0.967、0.959、0.947，SAMP算法(s=1,5,10)的重構(gòu)概率分別為0.873、0.864、0.795,而文獻(xiàn)[17]所提方案的重構(gòu)概率僅為0.688。由此可見,所提改進(jìn)方案在步長s分別為1,5,10時(shí),對應(yīng)的限幅噪聲重構(gòu)概率總是好于SAMP(s=1,5,10)算法以及文獻(xiàn)[17]所提算法。文獻(xiàn)[17]中所提算法及SAMP算法為獲得更高的重構(gòu)概率,需增加CS觀測值,由復(fù)雜度分析可知,該方法雖獲得重構(gòu)概率上的增益,但付出高計(jì)算復(fù)雜度的代價(jià),而本文在較少的壓縮觀測值下,便可擁有較高的的重構(gòu)概率,原因有以下兩方面:① 式(20)中用于重構(gòu)限幅噪聲的觀測值來自于被限幅的采樣點(diǎn),使落在該采樣點(diǎn)下的限幅噪聲作為CS的的儲(chǔ)備池,縮小了CS觀測值的選取范圍;② 發(fā)送端對限幅噪聲重構(gòu),避免了信道及多徑效應(yīng)對限幅噪聲幅值和位置產(chǎn)生干擾。

圖3 不同壓縮觀測值的重構(gòu)概率

另外,由圖3可知,當(dāng)s=1時(shí),在相同的觀測值數(shù)目下,所提改進(jìn)方案擁有更高的重構(gòu)概率,但算法收斂速度慢;當(dāng)s=10時(shí),所提改進(jìn)方案提升了算法收斂速度,卻降低重構(gòu)概率。為兼顧該算法的收斂速度及重構(gòu)概率,后文選取參數(shù)s=5,M=80,用所提改進(jìn)方案對限幅噪聲重構(gòu)。

3.3 不同限幅比下3種算法的系統(tǒng)BER對比

由第3.2節(jié)可知,在同一限幅比下,相同數(shù)目的CS觀測值對限幅噪聲重構(gòu),所提改進(jìn)算法的重構(gòu)概率最高。為進(jìn)一步說明所提方案的有效性,本節(jié)對比不同限幅比下,SAMP算法、文獻(xiàn)[17]的OMP算法以及本文所提改進(jìn)方案的BER性能。如圖4所示,在相同限幅比下,所提改進(jìn)方案的BER性能總是優(yōu)于SAMP算法及文獻(xiàn)[17]的BER性能。信噪比為14 dB,且發(fā)送端限幅比分別為1.4、1.6時(shí),文獻(xiàn)[17]的BER分別為1.8×10-3、5×10-4;SAMP的BER分別為7×10-4、5.1×10-4;本文所提改進(jìn)方案的BER分別為4×10-4、2×10-4。

圖4 不同的限幅比下算法的BER性能

由此可見,所提方案在對限幅噪聲位置預(yù)估計(jì)的改進(jìn)CS算法,可以獲得更優(yōu)的BER性能。另外,在低限幅比下,盡管限幅操作引入更多的限幅噪聲,所提改進(jìn)方案依然能自適應(yīng)限幅噪聲的稀疏性,有效地重構(gòu)限幅噪聲,提升系統(tǒng)BER性能。

4 總 結(jié)

傳統(tǒng)的CS算法利用壓縮觀測值在接收端對限幅噪聲重構(gòu),但噪聲折疊現(xiàn)象的存在,降低了限幅噪聲的重構(gòu)精度,為提升重構(gòu)概率,需增加壓縮觀測值數(shù)目,但付出了較高計(jì)算復(fù)雜度的代價(jià)。

本文針對以上問題提出改進(jìn)方案。首先,經(jīng)過限幅噪聲數(shù)理統(tǒng)計(jì)特性的推導(dǎo),隨后選取預(yù)估計(jì)出噪聲位置的采樣點(diǎn)作為CS觀測值,然后發(fā)送端對限幅噪聲重構(gòu)。仿真結(jié)果表明所提方案既能夠減少用于重構(gòu)限幅噪聲的壓縮觀測值數(shù)目,降低算法的計(jì)算復(fù)雜度,又能夠有效重構(gòu)限幅噪聲,提升系統(tǒng)BER性能。