在抽象中學(xué)數(shù)學(xué)

鹿鼎

一、數(shù)學(xué)是抽象的

我學(xué)了十多年的數(shù)學(xué)，最大的感受是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程是不斷變化著的，由幼兒園的數(shù)數(shù)、小學(xué)的算算身邊的問(wèn)題（應(yīng)用題），到進(jìn)入初中后直截了當(dāng)?shù)孛鎸?duì)抽象的代數(shù)式，我們從充滿(mǎn)好奇地?cái)?shù)碗、數(shù)桌腿享受著童真之樂(lè)，到學(xué)習(xí)平面幾何、平面直角坐標(biāo)系和函數(shù)等等通往真正數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，也就是抽象的數(shù)學(xué)，突如其來(lái)的字母、式子與推理取代了以往應(yīng)用題的情境，讓事物、問(wèn)題本質(zhì)化；數(shù)字1，2，1/2，…換成了字母x，y，α，β…，我們利用概念、圖形、符號(hào)、關(guān)系表述包括已經(jīng)簡(jiǎn)化了的事物在內(nèi)的一類(lèi)事物，將問(wèn)題符號(hào)化，到了高中，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)變得有規(guī)律、系統(tǒng)化，從集合開(kāi)始，到各種各樣的函數(shù)，到解三角形、不等式，到導(dǎo)數(shù)……數(shù)學(xué)的概念越來(lái)越抽象，各種各樣的定義、公理很有規(guī)律地出現(xiàn)在課本當(dāng)中，作業(yè)紙上是一串串復(fù)雜的符號(hào)，腦中是一個(gè)又一個(gè)f（x），g（x）的圖象，看到桌子，不會(huì)再數(shù)有幾條腿，而是會(huì)想它的體對(duì)角線(xiàn)有多長(zhǎng)；看到碗，不會(huì)再數(shù)有幾個(gè)，而是會(huì)猜想是不是半球體……漸漸地，我開(kāi)始學(xué)會(huì)在數(shù)學(xué)式中找規(guī)律，在圖和形中探思路，在抽象的符號(hào)中尋路徑。

所以，學(xué)了那么多年數(shù)學(xué)的我，也算對(duì)數(shù)學(xué)的抽象有了自己的了解了。

二、抽象是什么？

1，把事物本質(zhì)化

抽象，是把繁雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，條理化，幼兒園的老師常常用溫柔如清風(fēng)般的話(huà)語(yǔ)問(wèn)我們：“如果你有一個(gè)蘋(píng)果，別人又給了你兩個(gè)蘋(píng)果，那么你現(xiàn)在有幾個(gè)蘋(píng)果？”現(xiàn)在如果有人問(wèn)我們這個(gè)問(wèn)題，我們可能會(huì)認(rèn)為是不是腦筋急轉(zhuǎn)彎或是有意嘲弄我們的智商，因?yàn)檫@太簡(jiǎn)單了，就是“1+2=？”呀，而這恰恰是一抽象，去掉了冗雜的情境包裝，暴露出來(lái)的是問(wèn)題的本質(zhì)，其實(shí)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是一個(gè)不斷探索問(wèn)題本質(zhì)的過(guò)程，就好像你吃柚子，需要把外面對(duì)你無(wú)用的皮一層層剝掉，才能品嘗到可口的果實(shí)。

2，去掉具體內(nèi)容，將問(wèn)題符號(hào)化

我們都知道，數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科力求簡(jiǎn)單明了，用最干練的方式闡述出事物的性質(zhì)，比如我們?cè)趯W(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，需要研究平面、線(xiàn)點(diǎn)之間的關(guān)系，我們?nèi)绻偸怯梦淖帧捌矫妗薄熬€(xiàn)”與平行或相交等來(lái)表述的話(huà)，那就會(huì)很麻煩，而抽象則可以很有效地解決這些麻煩，我們可以用“α”、“β”、“n”這些字母和符號(hào)來(lái)表示這些面、線(xiàn)以及它們之間的關(guān)系，定義出一些難以用文字表達(dá)的含義，而且別人也都明白這些含義，既能夠簡(jiǎn)易表達(dá)促進(jìn)解決問(wèn)題，也方便不同的人交流想法。

3，通過(guò)假設(shè)和推理建立法則、公式或者模型，追求普適性

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有“萬(wàn)物皆數(shù)”的思想，他們認(rèn)為世界上的所有事物都體現(xiàn)或包含著數(shù)學(xué)的知識(shí)，而且可以用數(shù)學(xué)來(lái)表示、表達(dá)世界上一切事物，我們知道“天行有常，不為堯存，不為桀亡”，萬(wàn)物的運(yùn)動(dòng)都有一定的規(guī)律，那么，數(shù)學(xué)也是如此，普遍性是無(wú)處不在的，正如德國(guó)哲學(xué)家萊布尼茨所說(shuō)“世界上沒(méi)有兩片完全相同的葉子，也沒(méi)有兩片完全不同的葉子”，而抽象的重要方面就是在一般意義上解釋具體事物，如果我們總是碰到一個(gè)看似從來(lái)未接觸的問(wèn)題就沒(méi)了思路與頭緒，漫無(wú)目地胡思亂想，只會(huì)讓自己精神疲倦而無(wú)所得，我們要學(xué)會(huì)將其與一些我們熟悉的問(wèn)題試著聯(lián)系起來(lái)，尋求解法。

我們都知道二次函數(shù)的圖象是拋物線(xiàn)，如果要求一個(gè)二次函數(shù)的值域或最值，相信大多數(shù)初中生都能駕輕就熟。

三、怎樣把數(shù)學(xué)學(xué)得抽象？

既然數(shù)學(xué)是抽象的，那么我們只有努力地把數(shù)學(xué)學(xué)得抽象，主動(dòng)地去適應(yīng)其抽象的特征，方能于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之路中走得更平坦、更順暢。

1，最大限度地抽象

我們知道，“冰凍三尺，非一曝之寒”，要做到深層次的抽象，必須在平時(shí)的思考、做題中逼迫自己去抽象地思考問(wèn)題，比如我們做一些幾何的填空題，也許我們習(xí)慣于畫(huà)個(gè)圖，把平面幾何的圖描繪出來(lái)，或是把立體圖形較為直觀(guān)地畫(huà)在圖上，去分析觀(guān)察，有些問(wèn)題也許就能慢慢地解決，甚至有些問(wèn)題通過(guò)圖形一目了然，倘若一直依賴(lài)于將其直觀(guān)化來(lái)解題，又怎能將數(shù)學(xué)學(xué)得抽象呢？所以，我們要強(qiáng)迫自己最大限度地抽象，在腦海里思索這些問(wèn)題，也許這個(gè)過(guò)程會(huì)有些痛苦，但我們抽象的能力及水平于無(wú)形之中一點(diǎn)點(diǎn)提升著，此外，對(duì)于一次函數(shù)、二次函數(shù)等這些我們熟悉的函數(shù)的圖象，我們要做到頭腦中有圖。

2，讓數(shù)學(xué)問(wèn)題變得不太抽象

努力地去抽象當(dāng)然很關(guān)鍵，但有時(shí)與其拘泥于泥淖之中進(jìn)退兩難，不如另辟蹊徑，找到一條平坦一些的道路，達(dá)到事半功倍的效果。

進(jìn)入高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，數(shù)學(xué)這一門(mén)學(xué)科的學(xué)習(xí)再也不像往日那樣輕松，迎來(lái)的挑戰(zhàn)一波接一波，常常是解題時(shí)，想不出來(lái)題目說(shuō)的到底是什么樣的，總還習(xí)慣性以為以前的老套路，老想法依然可以解題，結(jié)果往往是失敗，數(shù)學(xué)也開(kāi)始不需要從前那么“真實(shí)”，是玩“符號(hào)游戲”，有點(diǎn)“空對(duì)空”的感覺(jué)，這時(shí)候，我們應(yīng)該學(xué)會(huì)靈巧一點(diǎn)，比如說(shuō)畫(huà)個(gè)圖，讓其直觀(guān)化一些；或是舉些例子，在例子中試圖歸納出一些性質(zhì)和共同點(diǎn)；再者我們可以將已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)與其聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)類(lèi)比、推理的方法尋找解題的路徑。

3，將類(lèi)似的問(wèn)題化歸到一類(lèi)問(wèn)題

數(shù)學(xué)離不開(kāi)思維，而抽象是思維活動(dòng)過(guò)程中不可缺少的組成部分，只有把數(shù)學(xué)學(xué)得抽象，我們才有可能在錯(cuò)綜復(fù)雜的事物中抓住問(wèn)題，在變化萬(wàn)千的事物中抓住一般規(guī)律，并用簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確的語(yǔ)言表達(dá)本質(zhì)和規(guī)律，在抽象中學(xué)數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之路變得生意盎然！