三角形中的不等式問(wèn)題

王可

三角形中的范圍與不等式問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)解三角形過(guò)程中比較困惑的問(wèn)題，不僅需要用到三角變換、正余弦定理，還涉及基本不等式及求函數(shù)值域.現(xiàn)就以教學(xué)過(guò)程中遇到的該類(lèi)問(wèn)題與大家共同分享、探討.

題型一：求三角函數(shù)值范圍問(wèn)題

例1.若△ABC的內(nèi)角滿(mǎn)足sinA+sinB=2sinC，則cosC的最小值是 .

【解析】cosC=，由sinA+sinB=2sinC可得：a+b=2c，

∴c=

∴cosC====·+·-

≥2=.

【點(diǎn)評(píng)】所求cosC的最值可想到余弦定理用邊表示，cosC=，考慮sinA+sinB=2sinC角化邊得到：a+b=2c，進(jìn)而消去c，計(jì)算表達(dá)式的最值即可.

題型二：求邊的比值范圍問(wèn)題

例2.在銳角△ABC中∠A=2∠B，∠B、∠C的對(duì)邊長(zhǎng)分別是b、c，則的取值范圍是（）.

A.（，）B.（，）C.（，）D.（，）

【思路分析】本題所給條件為角的關(guān)系，不易從邊入手，所以將所求進(jìn)行邊化角：==，只需求出的范圍即可.條件所給的是A，B關(guān)系，從而=，利用∠A=2∠B減少角的個(gè)數(shù)：sinA=sin2B=2sinBcosB，cosA=cos2B=2cosB-1，代入可得：=4cosB-1，根據(jù)銳角三角形求出B的范圍即可.

【解析】==

∵==

由∠A=2∠B？圯sinA=sin2B=2sinBcosB，cosA=cos2B=2cosB-1

∴==2cosB+cos2B=4cosB-1

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，∴0

∴cosB∈（，）∴=4cosB-1∈（1，2），=∈（，）.

【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是解題系統(tǒng)的確定，由于題目中沒(méi)有涉及邊關(guān)系，只給了角的條件，因此優(yōu)先選擇角的系統(tǒng)，從而進(jìn)行角化邊處理，并進(jìn)行一個(gè)分式的常見(jiàn)變形，將變量集中在分母上.另一個(gè)就是主元的確定：本題的主元是B，所以在求表達(dá)式范圍時(shí)將A，C均用B表示，以便于求得值域.

題型三：面積范圍問(wèn)題

例3.已知△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且a+b=c+ab，若△ABC的外接圓半徑為，則△ABC面積的最大值為 .

【思路分析】：由a+b=c+ab可聯(lián)想到余弦定理求cosC，所以cosC==，從而sinC=，所求面積可表示為S=absinC，則只需解出ab的最大值即可.

【解析】由外接圓半徑R=及sinC可得：c=2RsinC=4，所以a+b=16+ab，而a+b≥2ab，所以有16+ab≥2ab？圯ab≤12，所以S≤·12·=4.

【點(diǎn)評(píng)】本題的入手點(diǎn)來(lái)自于條件中對(duì)余弦定理的暗示，從而解出C，計(jì)算面積時(shí)有三組邊角可供選擇：S=absinC=bcsinA=acsinB，通常是“依角而選”，從而把目標(biāo)轉(zhuǎn)向求ab的最值.要注意到余弦定理本身含有平方和與乘積項(xiàng)，再配上均值不等式往往可以找到最值.