線性變系數差分方程的時域求解方法

陳紹榮，劉郁林，朱桂斌，何 為

(1.重慶通信學院，重慶 400035；2.聯合參謀部通信工程設計研究所，遼寧 沈陽 110005)

?

線性變系數差分方程的時域求解方法

陳紹榮1，劉郁林2，朱桂斌1，何 為1

(1.重慶通信學院，重慶 400035；2.聯合參謀部通信工程設計研究所，遼寧 沈陽 110005)

以線性變系數微分方程的求解方法為依據，用類比法，提出了序列的原序列的概念，提出了后向差分運算對應的逆運算，即序列的不定求和，揭示了線性變系數差分方程的解結構。導出了一階線性變系數差分方程的通解公式，基于一階線性變系數差分方程的通解公式，利用降階方法，導出了二階線性變系數差分方程的通解公式，有效地解決了部分線性變系數差分方程的時域求解問題。

原序列；不定求和；變系數；差分方程；降階法

在國內外《信號與系統》及《數字信號處理》的教材或文獻[1-5]中，均提到線性離散時間系統可分為線性移變系統和線性移不變系統；在線性離散時間系統的時域分析中，都局限于介紹線性移不變系統的分析方法。其原因有兩點，一是并非所有描述線性移變系統的線性變系數差分方程都有解；二是即使描述線性移變系統的線性變系數差分方程有解，由于缺乏數學理論基礎的支撐和有效的方法，導致無法求出其解。本文提出了序列的原序列概念、序列的不定求和運算，揭示了線性變系數差分方程的解結構，導出了一階線性變系數差分方程和二階線性變系數差分方程的通解公式，有效地解決了部分線性變系數差分方程的時域求解問題。

1 數學理論基礎

1.1 原序列

對定義在區(qū)間[n1，n2](n1、n2為整數)上的序列x(n)，若存在序列X(n)，對該區(qū)間[n1，n2]上的一切整數n滿足

(1)

則稱序列X(n)為序列x(n)在區(qū)間[n1，n2]上的原序列。

由原序列的定義，可得下述兩個推論。

推論1：

若序列X(n)為序列x(n)在區(qū)間[n1，n2]上的原序列，則序列X(n)+C×1n(其中C為任意常數)也是序列x(n)在區(qū)間[n1，n2]上的原序列。

推論2：

若序列X(n)及Φ(n)均是序列x(n)在區(qū)間[n1，n2]上的原序列，則

Φ(n)-X(n)=C×1n

式中，C為任意常數。

1.2 序列的不定求和

若序列X(n)是序列x(n)在區(qū)間[n1，n2](n1、n2為整數)上的一個原序列，則序列X(n)+C×1n(其中C為任意常數)是序列x(n)在該區(qū)間[n1，n2]上的全體原序列，將一個序列x(n)的全體原序列(或原序列的集合)定義為序列x(n)的不定求和，記作∑x(n)，即

∑x(n)=X(n)+C×1n

(2)

(3)

式(3)表明，序列x(n)一階后向差分后再不定求和，在還原出x(n)的同時，多出了一個任意的常數序列，特別地，如果取C=0，則式(3)描述的運算，僅還原出x(n)。因此，從本質上講，序列的不定求和運算是序列后向差分運算的逆運算。

顯然，由式(2)可以得到

(4)

式(4)表明，序列x(n)不定求和后再差分，其結果仍然是x(n)。

顯然，序列的不定求運算還具有下述兩個性質。

性質1：

∑Cx(n)=C∑x(n)

式中，C為任意常數。

性質2：

∑[x1(n)±x2(n)]=∑x1(n)±∑x2(n)

由序列不定求和的定義，我們可以得到下述3個常用的序列不定求和公式：

1)若a>0，則有

(5)

2)當a≠1時，則有

(6)

3)當a≠1時，則有

(7)

式中，u(n)為單位階躍序列。

2 線性變系數差分方程的通解

2.1 一階線性變系數差分方程的通解

這里將構建一階線性變系數齊次差分方程的通解公式和一階線性變系數非齊次差分方程的通解公式。

y(n)-v(n)y(n-1)=x(n)，v(n)>0

(8)

處理方式1：

利用常數變易法來確定一階線性變系數非齊次差分方程式(8)的通解。

1)求一階變系數齊次差分方程

y(n)-v(n)y(n-1)=0，v(n)>0

(9)

的通解。

由一階變系數齊次差分方程式(9)可得

亦即lny(n)-lny(n-1)=lnv(n)

(10)

對式(10)兩邊作不定求和可得

考慮到式(3)，則上式可寫成

lny(n)=C1×1n+∑lnv(n)

那么，一階變系數齊次差分方程式(9)的通解公式為

y(n)=eC1×1n+∑lnv(n)=Ce∑lnv(n)

(11)

式中，C1和C=eC1均為任意常數。

2)設一階變系數非齊次差分方程式(8)的通解為

y(n)=C(n)e∑lnv(n)

(12)

考慮到式(12)，則有

y(n-1)=C(n-1)e∑lnv(n-1)

(13)

將式(12)及式(13)代入一階變系數非齊次差分方程式(8)，并考慮到式(4)，則有

(14)

對式(14)兩邊作不定求和可得

考慮到式(3)，則上式可寫成

C(n)=C×1n+∑x(n)e-∑lnv(n)

那么，一階變系數非齊次差分方程式(8)的通解公式為

y(n)=C(n)e∑lnv(n)=[C×1n+∑x(n)e-∑lnv(n)]e∑lnv(n)

(15)

式中，C為任意常數。

處理方式2：

考慮到

y(n)-v(n)y(n-1)=x(n)，v(n)>0

(16)

將式(16)兩邊乘e-∑lnv(n)可得

y(n)e-∑lnv(n)-elnv(n)-∑lnv(n)y(n-1)=x(n)e-∑lnv(n)

考慮到式(4)，則上式可寫成

即

y(n)e-∑lnv(n)-e∑lnv(n)-∑lnv(n-1)-∑lnv(n)y(n-1)=x(n)e-∑lnv(n)

y(n)e-∑lnv(n)-e-∑lnv(n-1)y(n-1)=x(n)e-∑lnv(n)

(17)

對式(17)兩邊作不定求和可得

考慮到式(3)，則上式可寫成

y(n)e-∑lnv(n)=C×1n+∑x(n)e-∑lnv(n)

那么，一階變系數非齊次差分方程式(8)的通解公式為

y(n)=[C×1n+∑x(n)e-∑lnv(n)]e∑lnv(n)

(18)

式中，C為任意常數。

結論1：

由一階線性變系數非齊次差分方程的通解公式(15)或(18)可知，一階線性變系數非齊次差分方程式(8)的解結構為

(19)

式中，C為任意常數。

2.2 高階線性變系數差分方程的通解

對于高階線性變系數非齊次差分方程，可以利用降階的方法轉化成一階線性變系數非齊次差分方程來進行研究。

y(n)-[v1(n)+v2(n)]y(n-1)+v1(n)v2(n-1)y(n-2)=x(n)

(20)

式中，v1(n)>0，v2(n)>0。

其實，二階線性變系數非齊次差分方程式(20)可寫成

y(n)-v2(n)y(n-1)-v1(n)[y(n-1)-v2(n-1)y(n-2)]=x(n)

(21)

記y(n)-v2(n)y(n-1)=w(n)

(22)

那么，二階線性變系數非齊次差分方程式(21)可寫成

w(n)-v1(n)w(n-1)=x(n)

(23)

由式(23)，并考慮到式(19)，則有

w(n)=C1e∑lnv1(n)+e∑lnv1(n)∑x(n)e-∑lnv1(n)

(24)

考慮到式(24)，則式(22)可寫成

y(n)-v2(n)y(n-1)=w(n)=C1e∑lnv1(n)+e∑lnv1(n)∑x(n)e-∑lnv1(n)

(25)

由式(25)，并考慮到式(19)，則有

y(n) =C2e∑lnv2(n)+e∑lnv2(n)∑w(n)e-∑lnv2(n)=C2e∑lnv2(n)+e∑lnv2(n)∑[C1e∑lnv1(n)+ e∑lnv1(n)∑x(n)e-∑lnv1(n)]e-∑lnv2(n)

(26)

式中，C1和C2為任意常數。

結論2：

由二階線性變系數非齊次差分方程的通解公式(26)可知，二階線性變系數非齊次差分方程式(20)的解結構為

(27)

3 例題分析

例1：若一階線性變系數差分方程為

y(n)-ny(n-1)=2nn!u(n)，試求其通解。

解：因為v(n)=n，x(n)=2nn!u(n)，由式(19)，并考慮到式(7)，則有

y(n) =Ce∑lnv(n)+e∑lnv(n)∑x(n)e-∑v(n)=Ce∑lnn+e∑lnn∑2nn!u(n)e-∑v(n)=Celnn!+elnn！∑2nn!u(n)e-lnn!=Celnn!+elnn！∑2nu(n) =Cn!+(2n+1-1)n！u(n)

式中，C為任意常數。

例2：若一階線性變系數差分方程為

對上式作不定求和可得

考慮到式(3)及式(7)，由上式可得

y(n)=Cn2！+(2n+1-1)n2！u(n)

式中，C為任意常數。

例3：若一階線性變系數差分方程為

y(n)-4ny(n-1)=2n2+2n，試求其通解。

解：考慮到y(n)-4ny(n-1)=2n2+2n

則y(n)2-n(n+1)-2-(n-1)ny(n-1)=2n

對上式作不定求和可得

考慮到式(3)及式(6)，由上式可得

y(n)2-n(n+1)=C×1n+2n+1y(n)=C×2n(n+1)+2(n+1)2

式中，C為任意常數。

例4：設二階線性變系數差分方程為

y(n)-3×4-ny(n-1)+8×16-ny(n-2)=2n-n2u(n)

若y(-2)=2，y(-1)=12，試求y(n)。

解：方法1：

考慮到

y(n)-3×4-ny(n-1)+8×16-ny(n-2)=2n-n2u(n)

則有

y(n)-4-ny(n-1)- 2×4-n[y(n-1)-4-(n-1)y(n-2)]=2n-n2u(n)

將上式兩邊乘2n2可得

[y(n)-4-ny(n-1)]2n2- [y(n-1)-4-(n-1)y(n-2)]2(n-1)2=2nu(n)

對上式兩邊作不定求和可得

考慮到式(3)及式(7)，由上式可得

即y(n)-4n-y(n-1)=C12-n2+2-n2(2n+1-1)u(n)

將上式兩邊乘2(n+1)n可得

y(n)2(n+1)n-y(n-1)2n(n-1)=C12n+(2×4n-2n)u(n)

對上式兩邊作不定求和可得

考慮到式(3)、式(6)及式(7)，由上式可得

式中，C1和C2為待定系數。

方法2：

令v1(n)=2×4-n=21-2n，v2(n)=4-n，

x(n)=2n-n2u(n)

考慮到式(5)，則有

由式(27)，并考慮到式(6)及式(7)，則有

式中，C1和C2為待定系數。

于是，有

4 結束語

本文用類比法，通過與線性變系數微分方程的求解方法相比較，提出了序列的原序列概念、序列的不定求和運算，給出了3個常用序列的不定求和公式，揭示了線性變系數差分方程的解結構。同時，還導出了一階線性變系數差分方程和二階線性變系數差分方程的通解公式，有效地解決了部分線性變系數差分方程的時域求解問題。

[1] 張有正.信號與系統[M].成都：四川科技出版社，1985.

[2] 鄭君里.信號與系統[M].北京：高等教育出版社，1981.

[3]SolimanSS，SrinathMD.Continuousanddiscretesignalsandsystems[M].london：PrenticeHall，1990.

[4] 奧本海姆AV，謝弗RW，巴克JR.離散時間信號處理處理[M].劉樹棠，黃建國，譯.西安：西安交通大學出版社，2001.

[5] 胡廣書.數字信號處理—理論、算法與實現[M].3版.北京：清華大學出版社，2012.

[6] 陳紹榮，劉郁林，雷斌，等.數字信號處理[M].北京：國防工業(yè)出版社，2016.

A Study on the Solutions of Time Domains of Linear Difference Equations With Variable Coefficients

CHEN Shaorong1，LIU Yulin2，ZHU Guibin1，HE Wei1
(1．Chongqing Communication College of PLA，Chongqing 400035，P.R.China；2．Communication Engineering Design Institute of the Joint Staff of the Central Military Commission of CPC，Shenyang Liaoning 110005，P.R.China)

Based on the solutions of linear differential equations with variable coefficients，by means of the method of analogy，this paper introduces the concept of original sequences of sequences as well as inverse operations corresponding with backward difference operations，that is， indefinite summations of sequences，which reveal the structures of solutions of linear difference equations with variable coefficients．In addition，the general solution formulas for first-order linear difference equations with variable coefficients can be derived．Based on the formulas，depending on the method of the reduction of order，the general solution formulas for second-order ones can be derived as well，which are effective in the solutions of time domains of some linear difference equations with variable coefficients．

original sequences；indefinite summations；variable coefficients；difference equations；method of the reduction of order

2016-11-03

陳紹榮(1963-)，副教授，研究方向為信號處理。

O241；TN911.7

A

1008- 8032(2016)06- 0038- 05

該文獲重慶市電機工程學會2016年學術年會優(yōu)秀論文一等獎