平衡偽補Ockham代數(shù)的O-理想

趙秀蘭，蔣紅敬

（黃河科技學院數(shù)理部，河南鄭州，450063）

平衡偽補Ockham代數(shù)的O-理想

趙秀蘭，蔣紅敬

（黃河科技學院數(shù)理部，河南鄭州，450063）

在平衡偽補Ockham代數(shù)上，引入O-理想的概念，利用平衡偽補Ockham代數(shù)核理想和余核濾子同余關系表達式，獲得了平衡偽補Ockham代數(shù)上的理想成為O-理想的充要條件.

Ockham代數(shù)；平衡偽補Ockham代數(shù)；核理想；O-理想

0 引言

回顧文獻[1-2]，1個Ockham代數(shù)（簡記為O）（L；∧，∨，f，0，1）是在有界分配格上賦予一元運算的代數(shù)，Ockham代數(shù)是布爾代數(shù)的推廣，它包含著大量重要的代數(shù)子類，諸如Stone代數(shù)、de Morgan代數(shù)、偽補代數(shù)（簡記為p）等.由這些代數(shù)又可產(chǎn)生比較復雜結(jié)構(gòu)的代數(shù)，使上述某些代數(shù)在一個更復雜類型的代數(shù)中同時發(fā)生.比如人們已經(jīng)研究過的偽補MS-代數(shù)、平衡偽補Ockham代數(shù)等.理想和濾子是研究Ockham代數(shù)類結(jié)構(gòu)及同余關系的一個重要工具，特別是核理想與余核濾子，根據(jù)核理想與余核濾子的性質(zhì)特征反映相關Ockham代數(shù)類的結(jié)構(gòu).在文獻[3-4]中，作者借助核理想與余核濾子的同余關系刻畫了平衡偽補Ockham代數(shù)的結(jié)構(gòu).文獻[5-8]，以理想與濾子為載體刻畫了雙重偽補Ockham代數(shù)、偽補MS-代數(shù)、雙重半偽補de Morgan代數(shù)的結(jié)構(gòu).在文獻[9]中，作者研究了分配P代數(shù)中的O-理想，以O-理想為載體刻畫分配P代數(shù)的結(jié)構(gòu)，給出了分配P代數(shù)是O-理想的充要條件.本文研究平衡偽補Ockham代數(shù)的O-理想，并討論它們的性質(zhì).

1 基本知識

定義1.1[1-2]一個偽補代數(shù)（簡記為p）是一個代數(shù)（L；∨，∧，*，0，1），它具有一個最小元0及一個映射*：L→L，使得x*＝max{y∈L|x∧y＝0}.

定義1.2[1-2]設（L；∧，∨，0，1）是一個有界分配格，其上賦予一個一元運算f，若f滿足條件：

稱（L；∧，∨，f，0，1）是一個Ockham代數(shù)（簡記為O）.

定義1.3[10]設（L；∧，∨）是一個格，I是格L的子格，若x，y∈L，y≤x∈I總有y∈I，稱子格I是格L的理想.

對偶地，F(xiàn)是格L的子格，若x，y∈L，y≥x∈F總有y∈F，稱子格F是格L的濾子.

定義1.4[11]設（L；∧，∨，0，1）是一個有界分配格，其上賦予兩個一元運算*和f，且

（1）（L；*）∈p；

（2）（L；f）∈O；

（3）（x∈L）f（x*）＝x**，[f（x）]*＝f2（x）.

稱（L；∧，∨，*，f，0，1）是平衡偽補Ockham-代數(shù)（簡稱bpO-代數(shù)）.

定義1.5[3]設（L；∧，∨，f，*，0，1）是一個bpO-代數(shù)，θ是L的格同余關系，若

則稱θ是L的同余關系.

定義1.6[3]設（L；∧，∨，f，*，0，1）是一個bpO-代數(shù)，對于L的理想I，若存在L的同余關系φ，使得I＝Kerφ，其中

稱理想I為L的核理想.

對于L的濾子F，若存在L的一個同余關系φ，使得F＝Cokerφ，其中

稱濾子F為L的余核濾子.

引理1.1[3，定理1]設（L；∧，∨，f，*，0，1）是一個bpO-代數(shù)，I和F分別是L的理想和濾子，則下面的條件成立：

（1）I是L的核理想當且僅且（?a∈L）a∈I?f（a*）∈I；

（2）F是L的余核濾子當且僅且（?a∈L）a∈F?（f（a））*∈F.

設（L；∧，∨，f，*，0，1）是一個bpO-代數(shù)，I和F分別是L的理想和濾子，符號θ（I）和θ（F）分別表示由I和F所生成的主同余關系，它們具有下列性質(zhì).

引理1.2[3，推論2]設（L；∧，∨，f，*，0，1）是一個bpO-代數(shù)，I和F分別是L的核理想和余核濾子，則

引理1.3[11]設（L；∧，∨，f，*，0，1）是一個bpO-代數(shù)，x，y∈L，則（x∧y）*＝x*∨y*.

定義1.7[7]設（L；∧，∨，f，*，0，1）是一個bpO-代數(shù)，I是L的一個理想，若存在L的一個濾子F，使得I＝Ker（θ（F）），則稱I是L的一個O-理想.

設（L；∨，∧，f，*）是一個平衡偽補Ockham代數(shù)，由核理想與O-理想的定義知，O-理想一定是核理想.那么，核理想是否一定是O-理想呢？下面的定理2.5給出了答案.

2 主要結(jié)果

設（L；∧，∨，f，*，+，0，1）是一個bpO-代數(shù)，a∈L，定義，易見，則（a*］有下列性質(zhì).

定理2.1設（L；∧，∨，f，*，0，1）是一個bpO-代數(shù)，a∈L，若（L；∨，∧，f）為de Morgan代數(shù)，則（a*］是的一個O-理想.

因為x∈F給出，[f（x）]*≥[f（a）]*＝f2（a）.由于（L；∨，∧，f）為de Morgan代數(shù)，故[f（x）]*≥a.所以，[f（x）]*∈F.由引理1.1知，F(xiàn)是L的一個余核濾子.

設x∈（a*］，則x∧a＝0，故x∧a＝0∧a＝0.又因a∈F，故由引理1.2知，

所以x∈Kerθ（F）.因此，（a*］?Kerθ（F）.

另一方面，設x∈Kerθ（F），即（x，0）∈θ（F），則存在f∈F，使得x∧f＝0.于是x≤f*，又因為f≥a給出f*≤a*，故得到x≤a*，從而有x∈（a*］，所以Kerθ（F）?（a*］.因此，

定理2.2設（L；∧，∨，f，*，0，1）是一個bpO-代數(shù)，I是L的一個核理想，令，則σ（I）是L的一個O-理想.

證明易見0∈σ（I），設x，y∈σ（I），即（x*］∨I＝L，（y*］∨I＝L.

下證x∧y，x∨y∈σ（I）.根據(jù)引理1.3可得

故x∧y，x∨y∈σ（I）.

再設y∈L，x∈σ（I）且y≤x，從而y*≥x*，于是（y*］∨I≥（x*］∨I＝L，所以（y*］∨I＝L，故y∈σ（I）.因此σ（I）是L的一個理想.

令F＝Cokerθ（I），下證σ（I）＝Kerθ（F）.

設x∈F，y≥x下證y∈F，說明F是L的一個濾子.由于（x，1）∈θ（I），由引理1.2知，存在i∈I，使得x∨i＝1∨i＝1.易得y∨（x∨i）＝y(tǒng)∨1∨i，從而y∨i＝1∨i，故（y，1）∈θ（I），即y＝Cokerθ（I），因此y∈F，所以F是L的一個濾子.

再證F是L的一個余核濾子.若x∈F，即（x，1）∈θ（I），于是（（f（x））*，1）∈θ（I），因此（f（x））*∈F，由引理1.1知，F(xiàn)是L的一個余核濾子.

再設x∈σ（I），則（x*］∨I＝L，故存在a∈（x*］，b∈I，使得a∨b＝1.又因b∨b＝0∨b＝b，故（b，0）∈θ（I）.于是（a∨b，a∨0）∈θ（I），即（a，1）∈θ（I），從而a∈F.由a∈（x*］得，a∧x＝0，所以a∧x＝0∧a＝0.又因a∈F，又由引理1.2知，（x，0）∈θ（F），因此x∈Kerθ（F），所以σ（I）?Kerθ（F）.

另一方面，設x∈Kerθ（F），即（x，0）∈θ（F），由引理1.2知，存在j∈F，使得

故j∈（x*］.

又因F＝Cokerθ（I），故（j，1）∈θ（I），由引理1.2知，存在i∈I，使得j∨i＝1∨i＝1，所以（x*］∨I＝L，即x∈σ（I）.因此Kerθ（F）?σ（I）.

綜上σ（I）＝Kerθ（F），所以σ（I）是L的一個O-理想.

引理2.1設（L；∧，∨，f，*，0，1）是一個bpO-代數(shù)，I是L的一個核理想，則I＝Kerθ（I）.

證明為證Kerθ（I）為L的核理想，只須證Kerθ（I）＝I.下證I＝Kerθ（I）.設x∈Kerθ（I），即（x，0）∈θ（I）.由引理1.2知，存在i∈I，使得x∨i＝i，所以x≤i，故x∈I，因此Kerθ（I）?I.

另一方面，由于I是L的核理想，若x∈I，由引理1.1知，x**∈I，又因x≤x**，故x∨x**＝0∨x**＝x**，從而x∈Kerθ（I），即I?Kerθ（I）.所以I＝Kerθ（I）.

設（L；∧，∨，f，*，0，1）是一個bpO-代數(shù)，I是L的一個核理想，定義

易見，IO是L的一個濾子.那么，核理想I和濾子IO的同余關系滿足下面的定理.

定理2.3θ（I）＝θ（IO）.

證明先證IO為L的余核濾子.假設x∈IO，則存在a∈I，使得x≥a*.從而（f（x））*≥（f（a*））*.由引理1.1知，f（a*）∈I.故（f（x））*∈IO.所以由引理1.1知，IO為L的余核濾子.

設（x，y）∈θ（I），由引理1.2得，存在i∈I，使得x∨i＝y(tǒng)∨i.又因i≤i**，故x∨i**＝y(tǒng)∨i**.所以i*∧（x∨i**）＝i*∧（y∨i**）.又因i*∧i**＝0，因此x∧i*＝y(tǒng)∧i*.又因i*∈IO，所以由引理1.2知，（x，y）∈θ（IO）.因此，θ（I）?θ（IO）.

另一方面，設（x，y）∈θ（IO），由引理1.2得，存在j∈IO，使得x∧j＝y(tǒng)∧j.由j∈IO，則存在a∈I，使得j≥a*.于是x∧a*＝y(tǒng)∧a*.所以

因為a*∨a**＝1，從而x∨a**＝y(tǒng)∨a**.又因I是L的核理想且a∈I，故a**∈I，所以（x，y）∈θ（I），因此θ（IO）?θ（I）.

綜上可得，θ（I）＝θ（IO）.

定理2.4設（L；∧，∨，f，*，0，1）是一個bpO-代數(shù)，I是L的核理想當且僅當I是L的O-理想.

證明必要性結(jié)合核理想和O-理想的定義易得.

充分性由引理2.1和定理2.3知，I＝Kerθ（I）＝Kerθ（IO）且IO為L的余核濾子，命題得證.

3 結(jié)論

在這篇文章中，提出了平衡偽補Ockham代數(shù)的O-理想的概念，借助O-理想與核理想的關系，利用平衡偽補Ockham代數(shù)的核理想與余核濾子同余關系的表達式，構(gòu)造了某些理想是O-理想的一些結(jié)果，同時，給出了平衡偽補Ockham代數(shù)的理想成為O-理想的充要條件，這些結(jié)論拓廣了序代數(shù)的研究，豐富了Ockham代數(shù)的發(fā)展.

參考文獻

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O-Ideals in Balanced Pseudo-Complemented Ockham Algebras

ZHAO Xiulan,JIANG Hongjing
（Department of Mathematics and Physics,HuangHe Science and TechnologyCollege,Zhengzhou 450063,Henan,China）

The concept of O-ideals on balanced pseudo-complemented Ockham algebras is introduced.By using the expressions of the kernel ideals and co-kernel filters congruences on a balanced pseudo-complemented Ockham algebra,the sufficient and necessary condition of the Ockham algebra of the O algebra is obtained.

Ockham algebra;balanced pseudo-complemented Ockham algebra;kernel ideal; O-ideal

0151

A

1001-4217（2016）04-0019-05

2015-11-16

趙秀蘭（1982—），女，河南周口人，副教授，碩士，研究方向：格論與序代數(shù)，E-mail：xiulanz@126.com.