金融數(shù)學(xué)概述

王散激

【摘要】本文對(duì)金融數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程進(jìn)行了概述，對(duì)金融數(shù)學(xué)中的基本理論及其研究的新進(jìn)展和研究所面臨的問題等做了簡要介紹，并總結(jié)了金融數(shù)學(xué)進(jìn)一步發(fā)展的前沿課題.

【關(guān)鍵詞】金融數(shù)學(xué)；資產(chǎn)組合管理；期權(quán)定價(jià)理論

【基金】（1）2013年度廣西高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目（2013JGA257）

（2）2012年度校級(jí)教學(xué)改革研究課題（JGYB201203）

一、前 言

金融數(shù)學(xué)作為新興的學(xué)科，是數(shù)學(xué)與金融的交叉體，不僅可以使數(shù)學(xué)家們深入金融領(lǐng)域，更加關(guān)注我國經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的狀況，而且可以使經(jīng)濟(jì)金融學(xué)家們掌握數(shù)學(xué)這個(gè)工具，更好地進(jìn)行金融研究，指導(dǎo)我國經(jīng)濟(jì)健康發(fā)展.近二十多年來，金融數(shù)學(xué)愈發(fā)受到高度關(guān)注，1996年金融數(shù)學(xué)家們自發(fā)地成立了“金融學(xué)會(huì)”，通過國際交流推動(dòng)隨機(jī)過程、統(tǒng)計(jì)學(xué)以及其他數(shù)理理論在金融學(xué)上的運(yùn)用，一些關(guān)于數(shù)理金融學(xué)的創(chuàng)新理論相繼創(chuàng)立，如“行為金融學(xué)”“決策金融學(xué)”等.

二、金融數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展

金融數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代科學(xué)名詞的提出年僅30左右，但其活動(dòng)的最早出現(xiàn)歷史卻可以追溯到1896年艾文·費(fèi)雪最先確認(rèn)并做出解釋的基本估值關(guān)系.這種關(guān)系是金融核心理念之一，它說明一項(xiàng)資產(chǎn)的價(jià)值等于其產(chǎn)生的未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值之和.在之后的幾年，由于證券市場的不斷發(fā)展，投資者們迫切希望可以尋找到預(yù)測未來價(jià)格和對(duì)風(fēng)險(xiǎn)證券進(jìn)行定價(jià)的方法.這樣，在1900年來自法國的數(shù)學(xué)家巴歇里埃的學(xué)位論文《投機(jī)理論》中，便首先開創(chuàng)性地運(yùn)用了布朗運(yùn)動(dòng)來研究股市.這一理論推動(dòng)了金融數(shù)學(xué)未來的發(fā)展，尤其是在為現(xiàn)代期權(quán)定價(jià)理論的建立奠定了理論基礎(chǔ).然而遺憾的是，巴歇里埃的論文在當(dāng)時(shí)并沒有引起人們的關(guān)注，直到它沉寂了半個(gè)多世紀(jì)之后，這一理論才在1965年被著名的經(jīng)濟(jì)學(xué)家薩繆爾遜推薦而為金融界知曉.

隨著計(jì)算機(jī)的應(yīng)用與發(fā)展，20世紀(jì)50年代，金融數(shù)學(xué)活動(dòng)再次興起，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具研究金融問題的學(xué)者頻頻在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)中榮獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，這些促使金融數(shù)學(xué)越來越受到業(yè)內(nèi)研究人士的青睞.哈里·馬柯維茨在1952年發(fā)表“投資組合選擇”論文，提出了投資組合的選擇理論，其是以單期投資組合問題為研究對(duì)象的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論.該理論的提出，被稱為是第一次華爾街革命.第一次華爾街革命沒過多久，威廉·夏普、約翰·林特納、簡·莫幸三人在馬柯維茨投資組合選擇理論的基礎(chǔ)上，分別獨(dú)立地提出了風(fēng)險(xiǎn)資本資產(chǎn)定價(jià)模型.這是第一個(gè)在不確定條件下探討資產(chǎn)定價(jià)理論的數(shù)學(xué)模型.該模型研究出了在均衡市場下，證券市場中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與預(yù)期收益率之間的關(guān)系及均衡價(jià)格的形成.這一模型在金融領(lǐng)域獨(dú)領(lǐng)風(fēng)騷了15年之久，是現(xiàn)代證券分析的一個(gè)重要模型.由于夏普對(duì)此所做出的突出貢獻(xiàn)，他榮幸地與馬柯維茨分享了1990年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng).然而科學(xué)總是在不斷進(jìn)步的，1977年，理查·羅爾對(duì)資本資產(chǎn)定價(jià)模型提出了質(zhì)疑，他認(rèn)為在實(shí)際中，該模型是不能得到實(shí)證檢驗(yàn)的，就這一問題的爭論至今仍然是方興未艾.1973年，華爾街的第二次革命發(fā)生，布萊克和索爾斯發(fā)表了著名的BlackScholes定價(jià)公式，給出了歐式期權(quán)定價(jià)的顯示表達(dá)式.與此同時(shí)，莫頓在“合理的期權(quán)定價(jià)理論”中對(duì)BlackScholes定價(jià)公式作了完善并給予了推廣，莫頓還將他們利用期權(quán)估價(jià)的思想發(fā)展為“未定權(quán)益分析”.索爾斯和莫頓因此獲得1997年度的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng).1976年，考克斯和羅斯提出了風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論.在這一基礎(chǔ)上，哈里森和克瑞普斯于1979年提出多時(shí)段的鞅方法和套利，并用等價(jià)鞅測度對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià)和套期保值或?qū)_，這對(duì)金融數(shù)學(xué)后來的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響.

在兩次華爾街革命的背景下，現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)產(chǎn)生了.20世紀(jì)80年代初以來，金融數(shù)學(xué)得到了蓬勃發(fā)展，目前主要從事其研究的人大致有如下三類：概率論和隨機(jī)分析學(xué)者、隨機(jī)控制論學(xué)者和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)者.近年來一些其他學(xué)科的學(xué)者也紛紛被吸引到金融中來，他們把本學(xué)科研究的方法移植到復(fù)雜的金融領(lǐng)域，嘗試去揭示這一復(fù)雜領(lǐng)域的某些演變規(guī)律.由此可見，金融數(shù)學(xué)正在散發(fā)著越來越迷人的魅力.

三、金融數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)理論

（一）有效的資本市場理論

市場有效性指的是新證券的價(jià)格能夠反映全部與該證券有關(guān)的信息.這一概念是由羅伯茨和法馬首先提出來的，根據(jù)市場有效性的強(qiáng)弱程度，資本市場理論通常分為三種形式的假說：弱有效市場假說、半強(qiáng)有效市場假說和強(qiáng)有效市場假說.在投資的過程中，三種形式的有效市場所反映的信息不盡相同，投資者的投資行為也會(huì)因投資者對(duì)市場有效性判斷的強(qiáng)弱程度而有所不同.近些年來，行為金融學(xué)迅速興起，人們對(duì)有效資本市場理論的爭議又出現(xiàn)了新的熱潮.

有效資本市場理論最簡單的數(shù)學(xué)表達(dá)式之一為：

ΕR（T）/S（t）=r（t），T≥t.

其中R（T）是指某種資產(chǎn)從t到T持有其的收益率，r（t）是指在t時(shí)刻機(jī)會(huì)成本率，S（t）是指可獲得的信息集.從這個(gè)式子可知投資者從某種資產(chǎn)投資中所獲得的預(yù)期收益率是與所有資金的機(jī)會(huì)成本相等的.

（二）資產(chǎn)組合管理基礎(chǔ)理論

1.馬科維茨投資組合選擇理論

馬科維茨以理性投資者及其基本行為特征為基本假設(shè)，論述了建立有效資產(chǎn)組合邊界的“均值—方差”分析模型.他把投資者投資組合中的證券組合價(jià)格作為一組隨機(jī)變量，其均值表示收益，以其方差表示風(fēng)險(xiǎn).當(dāng)收益一定而投資組合風(fēng)險(xiǎn)最小時(shí)，其投資組合可表述為如下二次規(guī)劃求最優(yōu)解的問題，馬科維茨投資組合選擇理論的核心點(diǎn)是綜合考慮期望收益的最大化和風(fēng)險(xiǎn)的最小化，他不僅提出了該模型的求解方法，還證明了多個(gè)證券投資組合要比單個(gè)證券投資能降低風(fēng)險(xiǎn).但是該模型畢竟是在滿足多個(gè)假設(shè)條件下成立的，其考慮的是單期投資模型，所以此模型在現(xiàn)實(shí)中很難發(fā)揮有效性.

2.資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）

由于馬科維茨投資組合選擇理論在其嚴(yán)格假設(shè)條件下存在的缺陷，為了避免大量復(fù)雜的運(yùn)算，1965年前后，夏普等人在研究市場均衡價(jià)格的形成時(shí)，提出了著名的CAPM資本資產(chǎn)定價(jià)理論.CAPM模型完整地表述了資產(chǎn)組合與風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬之間的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，它們只與各個(gè)相關(guān)的因素有關(guān)，而與單個(gè)投資種類無明顯關(guān)系.CAPM還進(jìn)一步說明了，投資者風(fēng)險(xiǎn)包括系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)與非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)兩大類，其中系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)可以通過風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償獲得回報(bào)，而非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)則可以通過新的投資組合而被分解掉.

（三）套利定價(jià)理論

CAPM成立的前提是建立在一系列嚴(yán)格假設(shè)條件之上的，而在實(shí)際應(yīng)用的市場環(huán)境中往往不能完全滿足這些條件.因此，在1976年，有美國的經(jīng)濟(jì)學(xué)家斯蒂芬·羅斯提出了PAT套利定價(jià)理論.套利理論認(rèn)為，套利行為是現(xiàn)代有效市場形成（亦即市場均衡價(jià)格形成）的一個(gè)決定因素，如果市場未達(dá)到均衡狀態(tài)的話，市場上就會(huì)存在無風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì).套利行為指的是利用同一證券或?qū)嵨镔Y產(chǎn)的不同價(jià)格來獲取無風(fēng)險(xiǎn)利益的行為；套利機(jī)會(huì)指的是在既無風(fēng)險(xiǎn)又無增加資本的情況下即可在投資中獲取利益的機(jī)會(huì).

（四）期權(quán)定價(jià)理論

期權(quán)是一種合約，是其擁有者具有的在未來指定的某個(gè)時(shí)刻以預(yù)先約定的價(jià)格買賣某種標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利憑證.其按不同的分類方式可分為看跌期權(quán)和看漲期權(quán)，或者分為歐式期權(quán)和美式期權(quán).看跌期權(quán)是指可以在指定的日期以協(xié)議確定的價(jià)格賣出一定量的標(biāo)的資產(chǎn)；歐式期權(quán)則只能在到期日行權(quán)，而美式期權(quán)則可以在期限內(nèi)的任何時(shí)候行權(quán).所謂期權(quán)定價(jià)，就是對(duì)其選擇權(quán)本身的定價(jià).世界上目前廣泛應(yīng)用的期權(quán)定價(jià)模型有兩種，分別是二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)公式即二叉樹定價(jià)模型和BlackScholes公式.

1.二叉樹模型（CRR）

CRR即二叉樹定價(jià)模型是一個(gè)特定的離散時(shí)間模型，其由考克斯和羅斯等人在1979年首先提出.CRR模型假定每個(gè)時(shí)間段tj，tj+1，股票價(jià)格的波動(dòng)只有一種改變方式：要么向上，要么向下，且在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)，股價(jià)改變方式的波動(dòng)概率和幅度均不改變.該模型把整個(gè)時(shí)期分成若干階段，并依據(jù)股價(jià)歷史的波動(dòng)模擬得出股票在整個(gè)時(shí)期間所有可能的隨機(jī)路徑，并對(duì)每一隨機(jī)路徑上的每一節(jié)點(diǎn)計(jì)算出期權(quán)收益和應(yīng)用貼現(xiàn)的方法來計(jì)算出期權(quán)的價(jià)格.在計(jì)算美式期權(quán)價(jià)值時(shí)，CRR模型具有突出的優(yōu)勢(shì)，其在于相對(duì)直觀，不需要用到太多的數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)便可加以應(yīng)用.即在每一節(jié)點(diǎn)上，美式期權(quán)的理論價(jià)值應(yīng)為行權(quán)時(shí)的收益和應(yīng)用貼現(xiàn)方法計(jì)算所得出期權(quán)價(jià)格中較大者.

2.BlackScholes模型

BlackScholes模型（以下簡稱BS公式）是期權(quán)定價(jià)模型中應(yīng)用最廣泛的模型.1973年，布萊克和舒爾斯第一次成功地建立了BS期權(quán)定價(jià)公式.BS公式是在運(yùn)用隨機(jī)微分方程理論的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的期權(quán)定價(jià)模型，具有定價(jià)合理，容易計(jì)算的優(yōu)點(diǎn)，刻畫的是一個(gè)股票價(jià)格連續(xù)發(fā)生變化的模型.其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

C=S×Nd1-E×e-rt×Nd2，d1=lnSE+r+12σ2tσt，d2=lnSE+r-12σ2tσt.

其中C表示期權(quán)現(xiàn)價(jià)；S表示相應(yīng)的股票現(xiàn)價(jià)；N（d）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)；e自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；r表示無風(fēng)險(xiǎn)的連續(xù)利息力；t表示距離期權(quán)到期日的時(shí)間；E表示期權(quán)行權(quán)時(shí)的價(jià)格；σ表示期權(quán)合同標(biāo)的資產(chǎn)連續(xù)復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差.

考察BS公式我們不難發(fā)現(xiàn)，公式中并未直接出現(xiàn)股票預(yù)測價(jià)格這一變量，即股票預(yù)期價(jià)格不會(huì)對(duì)期權(quán)的價(jià)值產(chǎn)生影響，它的風(fēng)險(xiǎn)是中性的，這也是BS公式區(qū)別于套利定價(jià)理論的地方.人們利用風(fēng)險(xiǎn)中性這一特征進(jìn)行期權(quán)定價(jià)，現(xiàn)已發(fā)展成為一套十分有效的定價(jià)方法.

四、總 結(jié)

金融數(shù)學(xué)理論研究的新進(jìn)展主要包括：隨機(jī)最優(yōu)控制理論、鞅理論、最優(yōu)停時(shí)理論、微分對(duì)策理論；金融數(shù)學(xué)面臨的新問題：美式期權(quán)問題、利率期限結(jié)構(gòu)問題、市場價(jià)格的波動(dòng)問題、突發(fā)事件問題.通過上述對(duì)金融數(shù)學(xué)經(jīng)典基礎(chǔ)理論及其理論研究新進(jìn)展和其所面臨的問題等的概述，我們很明顯地知道金融數(shù)學(xué)是為金融經(jīng)濟(jì)學(xué)興起的一場革命，它給金融領(lǐng)域帶來了巨大活力，促進(jìn)了現(xiàn)代金融理論的創(chuàng)新與實(shí)踐管理.

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