歐拉函數(shù)φ（n）倒數(shù)的漸近公式

石瑩

【摘要】本文我們研究歐拉函數(shù)φ（n）倒數(shù)的漸近公式，基于Melvyn.B.Nathanson的結(jié)論：∑n≤x1φ（n）=ologx，我們確定了公式中的主項(xiàng)和余項(xiàng)，得到：∑n≤x1φ（n）=ζ（3）ζ（2）ζ（6）logx+D+oε1x1-ε.這里常數(shù)D=γ∑∞d=11dd*-∑∞d=1logd*dd*，其中γ指歐拉常數(shù)，d*表示整數(shù)d的無(wú)平方因子的乘積.

【關(guān)鍵詞】 歐拉函數(shù)； 漸近公式

【基金項(xiàng)目】2015年江蘇省自然科學(xué)青年基金項(xiàng)目（BK20151000）

歐拉函數(shù)φ（n）是最著名的數(shù)論函數(shù)之一.φ（n）是1，2，…，n中與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù).例如φ（2）=1，φ（6）=2，φ（9）=6.人們不斷研究歐拉函數(shù)φ（n）的各種性質(zhì).關(guān)于φ（n）的漸近公式，先有公式∑n≤xφ（n）=3π2x2+r（x），隨后在不斷地改進(jìn)公式中的余項(xiàng)r（x）的過(guò)程中，得到一些好的結(jié)果，比如：φ（n）的平均值就是6nπ2.與此同時(shí)，關(guān)于歐拉函數(shù)φ（n）倒數(shù)的漸近公式的研究也備受關(guān)注.Melvyn.B.Nathanson首先給出一個(gè)有用的結(jié)果：∑n≤x1φ（n）=ologx，陳景潤(rùn)先生在證明著名的“1+2”——陳氏定理時(shí)，就使用過(guò)這一結(jié)論.

在本文中，我們改進(jìn)Nathanson的結(jié)果，確定了漸近公式中的主項(xiàng)和余項(xiàng)，得到：

下面，我們就逐一討論（*）中的每一項(xiàng).

首先考慮級(jí)數(shù)∑∞d=11dd*，因?yàn)閐*表示整數(shù)d的無(wú)平方因子的乘積，所以整數(shù)dd*的素因子的次數(shù)都不小于2，于是

∑∞d=11dd*=∏p1+1p2+1p3+…=∏p1+1p（p-1）=∏p1+1p31-1p2-1=∏p1-1p61-1p3-11-1p2-1=ζ（3）ζ（2）ζ（6）.（1）

因此，級(jí)數(shù)∑∞d=11dd*是收斂的.

接著，討論（*）式中的第二項(xiàng).

∑∞[]d=1d*≤x

logd*dd*=∑∞d=1logd*dd*-∑∞[]d=1d*>x

logd*dd*.

因?yàn)閷?duì)任意ε>0，存在常數(shù)cε，使得logx≤cεx1-ε成立，所以取ε=12，得到

∑∞d=1logd*dd*≤∑∞d=1cd*dd*=c∑∞d=11dd*=c∏p1+1p1/2（p-1），

其中c是一個(gè)常數(shù)，所以級(jí)數(shù)∑∞d=1logd*dd*收斂，令常數(shù)c1=∑∞d=1logd*dd*.

又因?yàn)?/p>

因此，（*）中的第二項(xiàng)的估計(jì)就是

然后，討論（*）中的最后一項(xiàng).設(shè)d=pα11pα22…pαtt，其中pi為素?cái)?shù)且αi≥0i=1，2，…，t，所以

最后，我們討論（*）中第一項(xiàng)級(jí)數(shù)，由上面（2）可知

【參考文獻(xiàn)】

[1]Melvyn B Nathanson.Additive Number Theory[M].Graduate Texts in Mathematics 164，Springer.

[2]潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社.