非線性隨機參數(shù)模型的Legendre多項式逼近誤差

嚴惠云,師義民

(西北工業(yè)大學 理學院,陜西 西安 710072)

非線性隨機參數(shù)模型的Legendre多項式逼近誤差

嚴惠云,師義民

(西北工業(yè)大學 理學院,陜西 西安 710072)

利用均方誤差最小原則研究參數(shù)取值對Legendre多項式逼近誤差的影響.分析數(shù)值解的均方誤差,結(jié)果表明,模型參數(shù)的選取對近似逼近精度有顯著影響,其中參數(shù)的標準差σ對近似逼近的精度影響最大,σ增大10倍時,近似逼近的均方誤差可能會增加104倍.通過選取合適的參數(shù)Legendre多項式能有效逼近含有界隨機參數(shù)的非線性經(jīng)濟周期模型.

Legendre多項式逼近法;有界隨機參數(shù);經(jīng)濟周期模型

0 引 言

在宏觀經(jīng)濟問題研究中,影響經(jīng)濟運行的因素很多,且各因素聯(lián)系緊密.而模型和實際問題間存在誤差，這些誤差在模型中主要以兩種形式存在:一是作為模型的隨機擾動項,二是隱含在參數(shù)中,此時參數(shù)就是隨機參數(shù).因此,研究隨機參數(shù)對經(jīng)濟周期模型響應的影響有重要的理論意義和應用價值.

目前,研究含有界隨機參數(shù)模型的方法主要有Monte Carlo方法[1-2],隨機有限元法[3-4]和正交多項式逼近法[5-13].Monte Carlo方法簡單但費時,隨機有限元法只能解決隨機參數(shù)是一個小量的情況,正交多項式逼近法則適用性更強.正交多項式逼近法應用較多的是第二類Chebyshev多項式．但并不是任何情況下都可以使用第二類Chebyshev多項式對模型進行近似逼近,應根據(jù)實際情況選擇最合適的正交多項式.另外,在現(xiàn)有的研究成果中,很少見到對多項式近似逼近誤差的討論.沒有考慮近似誤差的多項式逼近有可能是無效的,因此,本文根據(jù)模型參數(shù)的實際意義,選取Legendre多項式作為正交多項式,以非線性經(jīng)濟周期模型為例,在均方誤差最小的準則下討論了參數(shù)取值對Legendre多項式近似逼近誤差的影響.

1 含有界隨機參數(shù)的非線性經(jīng)濟周期模型

根據(jù)Puu的投資函數(shù)[14]和Goodwin的消費函數(shù)[15],建立如下經(jīng)濟周期模型

(1)

其中：x表示國民收入增長率,α(0≤α≤1)是邊際消費率,表示資本市場的供需關(guān)系;v是邊際投資率,滿足v=1/(1-a),u=2α-1+1/(1-α);f與ω均為無量綱參數(shù),分別表示周期噪聲的強度和頻率．由于不同時間的邊際消費率不同,因此α是一個有界隨機參數(shù).

2 正交多項式基的選取(Legendre多項式)

由于ξ的分布沒有先驗信息,一般可以將ξ看作服從(-1,1)上均勻分布的隨機變量,即ξ的概率密度函數(shù)為

(2)

基于上述的概率密度函數(shù),本文選取Legendre多項式為正交多項式基. 這類多項式的一般表達式為

(3)

由此可以得到Legendre多項式的具體表達式，即

P0(ξ)=1,P1(ξ)=ξ,P2(ξ)=(3ξ2-1)/2,P3(ξ)=(5ξ3-3ξ)/2,…

(4)

由Legendre多項式三項式的遞推公式,即

(l+1)Pl+1(ξ)=(2l+1)ξPl(ξ)-lPl-1(ξ),(l≥1),

可以得到

ξPl(ξ)=[(l+1)Pl+1(ξ)+lPl-1(ξ)]/(2l+1),(l≥1).

(5)

另外,Legendre多項式的正交性可表示為

(6)

3 Legendre多項式逼近

為方便后續(xù)推導,給式(1)兩邊同時乘以(1-α),得到

(7)

模型(7)的響應是關(guān)于時間t和ξ的函數(shù)

x=x(t,ξ).

(8)

由隨機函數(shù)的正交分解法,模型(7)的響應可表示為

其中,Pl(ξ)是第l個Legendre多項式．在實際計算中,選取滿足計算精度的有限項近似,即

(9)

以N=4為例給出詳細計算過程,N等于其他值的情況可以做類似推導.當N=4時,將式(9)代入式(7),得到

根據(jù)公式(5),有

式(10)兩端同乘以p0(ξ),p1(ξ),p2(ξ),p3(ξ),p4(ξ), 關(guān)于ξ求期望得模型(7)的近似確定性系統(tǒng)(11),即

4 Legendre多項式逼近的均方誤差

一個好的近似逼近應該有較小的近似誤差.由于原模型和近似模型的解析解難以得到,因此本文用數(shù)值解分析參數(shù)取值對近似誤差的影響.表1～5列出了N=2,3,4,5時近似確定性模型(11)與原模型(1)數(shù)值解的均方誤差.

表 1 f=0時的均方誤差表

由表1可以看出,當模型(1)沒有周期性噪聲擾動,即f=0時,不論Legendre近似逼近項數(shù)取多少,在其他參數(shù)不變的情況下,隨著σ的增大,Legendre近似逼近的均方誤差迅速增大.當σ增大10倍時,均方誤差增加了104倍.由此看見σ的取值顯著影響著Legendre近似逼近的精度,因此,在實際應用中應該選取較小的σ,以提高近似逼近精度.

表 2 σ=0.2, ω=0.43時的均方誤差表

表 3 σ=0.1, ω=0.43時的均方誤差表

表 4 σ=0.01, ω=0.43時的均方誤差表

表 5 ω取值不同時的均方誤差表

5 結(jié)束語

正交多項式逼近法使用簡單而且應用廣泛,但在實際應用中需要注意選擇合適的正交多項式和近似項數(shù).本文在均方誤差最小的準則下討論了參數(shù)取值對Legendre多項式近似逼近項數(shù)選取的影響.數(shù)值分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，模型參數(shù)取值對近似逼近誤差有顯著影響.隨機參數(shù)的方差越大,均方誤差越大,模型的周期擾動強度越大,均方誤差越大.因此,在實際應用中,應根據(jù)參數(shù)的取值情況選取均方誤差最小的近似逼近項數(shù),且在滿足精度要求的情況下,為了后續(xù)計算簡便,盡可能選取項數(shù)較少的近似逼近.

[1] SHINO ZUKA M.Probability modeling of concrete structures[J].J Eng Mech Div ASCE,1972,98: 1433-1451.

[2] 杜永恩,王生楠,閆曉中.基于Neumann 展開的Monte-Carlo隨機擴展有限元法[J].西北工業(yè)大學學報,2013,31(3):413-416.

DU Yong′en,WANG Shengnan,YAN Xiaozhong.Stochastically extended finite element method based on neumann expansion [J].Journal of Northwestern Polytechnical University,2013,31(3):413-416.

[3] 張義民,劉巧伶,聞邦椿.多自由度非線性隨機參數(shù)振動系統(tǒng)響應分析的概率攝動有限元法[J].計算力學學報,2003,20(1):8-11.

ZHANG Yimin,LIU Qiaoling,WEN Bangchun.Probability perturbation finite element method for response analysis of multi-degree of freedom nonlinear vibration[J].Chinese Journal of Computational Mechanics,2003,20(1): 8-11.

[4] LIU W K,BEST ERFIED G H,BELYT S CHKO P.Variational approach to probabilistic finite elements[J].J Engng Mech,1988,114(12): 2115-2133.

[5] 侯璟,馬少娟,沈瓊.分數(shù)階隨機Duffing系統(tǒng)的Hopf分岔[J].動力學與控制,2014,12(4):310-314.

HOU Jing,MA Shaojuan,SHEN Qiong.Hopf bifurcation of fractional-order stochastic duffing system[J].Joural of Dynamics and Control,2014,12(4):310-314.

[6] 許勇,馬少娟,張慧清.帶有隨機參數(shù)的隨機Brusselator 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析[J].中國科學:物理學，力學，天文學,2011,41(10): 1203-1209.

XU Yong,MA Shaojuan,ZHANG Huiqing.The stability analysis in stochastic brusselator system with random parameter[J].Cientia Sinica：Phys,Mech & Astron,2011,41(10): 1203-1209.

[7] 羅瑞芬,張建剛,杜文舉.一個帶有隨機參數(shù)的新的二維混沌系統(tǒng)的隨機Hopf分岔分析[J].溫州大學學報:自然科學版,2016,37(1):26-35.

LUO Ruifen,ZHANG Jiangang,DU Wenju.Stochastic hopf bifurcation analysis of a novel two-dimensional chaotic system with random parameters[J].Journal of Wenzhou University:Natural Sciences,2016,37(1):26-35.

[8] SPANOS P D,GHANEM R G.Stochastic finite expansion for random media[J].J Engng Mech,1989,115(5): 1035-1053.

[9] JENSEN H,IWAN W D.Response of systems with uncertain parameters to stochastic excitation[J].J Engng Mech ASCE,1992,118(5): 1012-1025.

[10] LI J,LIAO S.Response analysis of stochastic parameter structure under non-stationary random excitation[J].Computational Mechanics,2001,27(1): 61-68.

[11] FANG T,LENG X L,SONG C Q.Chebyshev polynomial approximation for dynamic response problems of random structures[J].J Sound & Vibration,2003,266(1): 198-206.

[12] FANG T,LENG X L,MA X P,et al.K-PDF and gegenbauer polynomial approximation for dynamic response problems of random structure[J].Acta Mech Sinica,2004,20(3):292-298.

[13] 蔣水華,張曼,李典慶.基于Hermite 正交多項式逼近法的重力壩可靠度分析[J].武漢大學學報:工學版,2011,44(2):170-174.

JIANG Shuihua,ZHANG Man,LI Dianqing.Reliability analysis of gravity dam using hermite orthogonal polynomials approximation method[J].Engineering Journal of Wuhan University,2011,44(2):170-174.

[14] PUU T,SUSHKO I.A business cycle model with cubic non-linearity[J].Chaos,Solitons and Fractals,2004,19(3):597-612.

[15] 李偉,徐偉,趙俊峰.一個經(jīng)濟周期模型的穩(wěn)定性及其近似計算[J].數(shù)學的實踐與認識,2008,38(12):120-124.

LI Wei,XU Wei,ZHAO Junfeng.The stability and approximate solution of a business cycle model[J].Mathematics in Practice and the Theory,2008,38(12):120-124.

編輯、校對：師 瑯

Study on approximation error of a nonlinear business cycle model with bounded random parameters

YANHuiyun,SHIYimin

(School of Science, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072,China)

Based on the principle of minimum mean square error, the influence of parameters selection on the approximation error of Legendre polynomial approximation method is investigated.Analyzing the mean-square error of numerical solution,the results show that the selections of model parameters have great influence on approximate accuracy,and the standard deviation of parameter σ has the greatest influence on accuracy of approximation approach, whenσincreased 10 times, the mean square error of approximation approach is likely to increase 104times.By selecting suitable parameters, the Legendre polynomial approximation is an effective approach in equivalent approximation of a nonlinear business cycle model with bounded random parameters.

Legendre polynomial approximation; bounded random parameters; business cycle model

1006-8341(2016)04-0501-07

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.015

2016-06-20

國家自然科學基金資助項目(71171164);陜西省教育廳科學研究計劃項目(2014JK1276);陜西省統(tǒng)計研究中心基金資助項目(14DJ04)

嚴惠云(1977—)，女，陜西省寶雞市人，西北工業(yè)大學博士研究生，研究方向為非線性動力學方法及其應用.E-mail:yanhuiyun@sina.com

嚴惠云,師義民.非線性隨機參數(shù)模型的Legendre多項式逼近誤差[J].紡織高?；A科學學報,2016,29(4)：501-506.

YAN Huiyun,SHI Yimin.Study on approximation error of a nonlinear business cycle model with bounded random parameters[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):501-506.

O 242.2

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