四元數(shù)矩陣右特征值的范圍估計(jì)

韓俊佳，暢大為，葉絨絨

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710119)

四元數(shù)矩陣右特征值的范圍估計(jì)

韓俊佳，暢大為，葉絨絨

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 西安 710119)

討論一個(gè)n×n階四元數(shù)矩陣的所有右特征值的范圍.對(duì)已有圓盤定理的條件加以改進(jìn),從而得到對(duì)于任意一個(gè)右特征值λ,只要存在η∈[λ],且有|λ-aii|=|η-aii|,則所有右特征值都在圓盤的并集內(nèi).另外還給出了四元數(shù)矩陣的所有右特征值或者所有主對(duì)角線元素都是實(shí)數(shù)情況下的結(jié)論.數(shù)值例子說明所得定理結(jié)論對(duì)一般情況仍成立.

四元數(shù);四元數(shù)矩陣;右特征值;特征向量

0 引 言

1843年,愛爾蘭數(shù)學(xué)家漢密爾頓在將復(fù)數(shù)推廣到更高維數(shù)時(shí)提出了四元數(shù)的概念.四元數(shù)在計(jì)算機(jī)科學(xué)和量子力學(xué)等領(lǐng)域起著重要的作用.因?yàn)樗脑獢?shù)能表示四維空間中的量,因而也常用于機(jī)械視覺以及視頻游戲和控制航天器中[1-2].

近年來,四元數(shù)問題備受學(xué)者關(guān)注并得到廣泛研究[3-7].而研究四元數(shù)和四元數(shù)矩陣的主要問題就是四元數(shù)乘積的不可交換性[8-9].一個(gè)四元數(shù)問題的結(jié)果、解決方案或結(jié)論與復(fù)數(shù)情況時(shí)有很大不同[10-12].例如,對(duì)于復(fù)數(shù)矩陣不區(qū)分左、右特征值,實(shí)際上它們是相等的.而對(duì)于四元數(shù)矩陣就要分別討論其左、右特征值,在一般的情況下它們區(qū)別很大.文獻(xiàn)[8] 中的四元數(shù)矩陣的一個(gè)左特征值不是它的右特征值且四元數(shù)矩陣的左右特征值的個(gè)數(shù)不相等.

文獻(xiàn)[13-17]給出的適用于2×2四元數(shù)矩陣的所有左特征值的圓盤定理,在大多數(shù)情況下并不適用于右特征值；而給出的適用于四元數(shù)矩陣右特征值的圓盤定理并不能包含四元數(shù)矩陣的所有右特征值,只是說明由所有右特征值構(gòu)成的集合與n個(gè)圓盤的并集有交集.本文在此基礎(chǔ)上,加上一個(gè)條件,使得滿足條件的四元數(shù)矩陣的所有右特征值都在n個(gè)圓盤的并集內(nèi),得到一個(gè)應(yīng)用范圍更廣的結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

一般地,C、R分別表示復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集.設(shè)四元數(shù)集

H={a0+a1i+a2j+a3k:a0,a1,a2,a3∈R},

其中i2=j2=k2=ijk=-1.

定理1[8]設(shè)x為任意四元數(shù),那么有

(2) x*=x當(dāng)且僅當(dāng)x∈R.

(3) ?x∈H,有ax=xa當(dāng)且僅當(dāng)a∈R.

(4) 若x≠0,稱x*/|x|2為x的逆,記作x-1,且|x-1|=1/|x|.

(5) 任意的四元數(shù)x可以被寫成x=a1+a2j,其中a1,a2∈C.

定義2[8]對(duì)于兩個(gè)四元數(shù)x,y,如果存在一個(gè)非零四元數(shù)q,使得q-1xq=y,則稱x與y 是相似的,記作x～y.

記所有與x相似四元數(shù)組成的集合為[x],稱為[x]的相似類.若x與y相似,則有|x|=|y|.

例如,i與-j相似,存在q=i-j,使得-j=q-1xq,則有-j∈[i].

特別地,對(duì)于任意四元數(shù)x,x與x*相似.

定義3[8]設(shè)A=(aij)∈Hn×n,A可以寫成A=A1+A2j,A1,A2∈Cn×n,稱φA為四元數(shù)矩陣A 的復(fù)伴隨矩陣.其中

定義4[8]設(shè)A=(aij)∈Hn×n,對(duì)于一個(gè)四元數(shù)λ,如果存在一個(gè)非零四元數(shù)列向量Y=(y1,y2,…,yn)T,使得AY=Yλ,則稱λ為矩陣A的一個(gè)右特征值.

特別地,若λ是矩陣A的一個(gè)右特征值,則?q∈[λ]也是A的右特征值.

2 主要結(jié)論及證明

證明 令λ為A 的任意一個(gè)右特征值,0≠ X=(x1,x2,…,xn)T∈Hn×1是對(duì)應(yīng)于λ的特征向量,即AX=Xλ.設(shè)|xt|=max|xi|,i=1,2,…,n,則有|xt|≠0.若存在η, 使得ηxt=xtλ,就有η∈[λ].因此由AX=Xλ得

則有

從而有

因此

又由|λ-aii|=|η-aii|得

證明 若矩陣A的每一個(gè)右特征值λ,都有λ∈R,則?γ∈[λ],都有|λ-aii|=|γ-aii|.因此由定理4知結(jié)論成立.

注 推論1與推論2為定理3的兩個(gè)特殊情況.定理3給出了能包含四元數(shù)矩陣所有右特征值的一個(gè)集合，比文獻(xiàn)[13]中定理7的結(jié)論更好.

定義5[18]對(duì)于兩個(gè)矩陣A∈Hn×n和B∈Hn×n,如果存在P∈Hn×n,使得A=P-1BP,則稱A與B相似,記作A≈B.

引理2[18]設(shè)A∈Hn×n,則有A≈ A*.

引理3[18]設(shè)A∈Hn×n和B∈Hn×n,若A與B相似,則它們有一樣的右特征值.

由上面的引理,可得如下定理.

證明 設(shè)λ為A的任意一個(gè)右特征值,由引理2和引理3知,λ也為A*的一個(gè)右特征值.設(shè)0≠X=(x1,x2,…,xn)T∈Hn×1為矩陣A*的對(duì)應(yīng)與λ的一個(gè)特征向量,即A*X=Xλ.令|xt|=max|xi|,i=1,2,…,n,則|xt|≠ 0.于是有

令ηxt=xtλ,η∈[λ],則

就有

即

同理可得以下結(jié)論.

證明 若矩陣A的每一個(gè)右特征值λ,都有λ∈R,則?γ∈[λ],都有|λ-aii|=|γ-aii|.因此由定理5知結(jié)論成立.

注 推論3和推論4為定理5的兩個(gè)特殊情況.定理5給出了能包含四元數(shù)矩陣所有右特征值的一個(gè)集合比文獻(xiàn)[18]中定理3.2的結(jié)論要好一些.

以上推論分別為定理4和定理5的特殊情況,下面舉例說明定理4和5對(duì)于一般情況仍然成立.

由det(λI-φA)=0得,A的右特征值為0和{q-1(1+i)q: q∈H}.

對(duì)于一個(gè)右特征值λ=1+i,存在η=1+j∈[λ],使得|1+i-1|=|1+j-1|,|1+i-k|=|1+j-k|,|1+i+k|=|1+j+k|. 此處R1=1,R2=1,C1=1,C2=1則有1+i∈{z∈H: |z-1|≤1}∪{z∈H: |z-k|≤1},1+i∈{z∈H:|z-1|≤1}∪{z∈H:|z+k|≤1}.

3 結(jié)束語

本文對(duì)四元數(shù)矩陣的右特征值加以條件限制,即對(duì)四元數(shù)矩陣的任意一個(gè)右特征值,只要存在一個(gè)四元數(shù)與其相似且他們與矩陣的任意一個(gè)主對(duì)角線元素之差的模相等,則四元數(shù)矩陣的所有右特征值都在n個(gè)圓盤的并集內(nèi).另外本文討論的四元數(shù)矩陣的階數(shù)是有限的,目前只能準(zhǔn)確地計(jì)算出2×2階四元數(shù)矩陣的左、右特征值,而3×3階或者更高階的四元數(shù)矩陣的左、右特征值的精確值計(jì)算方法還有待進(jìn)一步研究.

[1] FINKELSTEIN D R,JAUCH J M,SCHIMINOVICH S,et al.Foundations of quaternion quantum mechanics[J].Journal of Mathematical Physics,1962,3(2):207-220.

[2] ADLER S L,FINKELSTEIN D R.Quaternionic quantum mechanics and quantum fields[M].New York:Oxford University Press,1995:58-60.

[3] HUANG Liping,SO Wasin.Quadratic formulas for quaternions[J].Applied Mathematics Letters,2002,15(15):533-540.

[4] NIVEN Ivan.Equations in quaternions[J].American Mathematical Monthly,1941,48(10):654-661.

[5] WOOD R M W.Quaternionic eigenvalues[J].Bulletin of the London Mathematical Society,1985,17(2):137-138.

[6] WU Junliang,ZOU Limin,CHEN Xiangping,et al.The estimation of eigenvalues of sum,difference, and tensor product of matrices over quaternion division algebra[J].Linear Algebra and its Applications,2008,428(11/12):3023-3033.

[7] HUANG Liping.On two questions about quaternion matrices[J].Linear Algebra and its Applications,2000,318(1):79-86.

[8] ZHANG Fuzhen.Quaternions and matrices of quaternions[J].Linear Algebra and its Applicayions,1997,251(2):21-57.

[9] FARENICK Douglas R.The spectral theorem in quaternions[J].Linear Algebra and its Applications,2003,371(2):75-102.

[10] FARID F O,WANG Qingwen,ZHANG Fuzhen.On the eigenvalues of quaternion matrices[J].Linear and Multilinear Algebra,2011,59(4):451-473.

[11] SO Wasin.Quaternionic left eigenvalue problem[J].Southeast Asian Bulletin of Mathematics,2005,29(3):555-565.

[12] HUANG Liping,SO Wasin.On the left eigenvalues of a quaternionic matrix[J].Linear Algebra and its Applications,2001,323(1):105-116.

[13] ZHANG Fuzhen.Gergorin type theorems for quatrnionic matrices[J].Linear Algebra and its Applications, 2007,424(1):139-153.

[14] WU Junliang.Distribution and estimation for eigenvalues of real quaternion matrices[J].Computer and Mathematics with Application,2008,55(9):1998-2004.

[15] WU Junliang,ZHANG Yan.Estimate for the lower bound of rank and the upper bound of eigenvalues norms' sum of given quaternion matrix[J].Computer and Mathematics with Application,2010,59(9):3160-3166.

[16] AHMAD Sk Safique,ALI Istkhar.Localization theorems for eigenvalues of quaternion matrices[J].Mathematics,arXiv:1502.08014[math.RA].

[18] ZOU Limin,JIANG Youyi,WU Junliang.Location for the right eigenvalues of quaternion matrices[J].Journal of Applied Mathematics and Computing,2012,38(1):71-83.

編輯、校對(duì)：師 瑯

Location for the right eigenvalues of quaternion matrices

HANJunjia,CHANGDawei,YERongrong

(School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University, Xi′an 710119, China)

The location for all the right eigenvalues of an×nquaternionic matrix is discussed.According to the Ger?gorin type theorem that has been given,it gets a better conclusion that for every right eigenvalueλ,all the right eigenvalues are containned in the union of the Ger?gorin balls if there exists a quaternionη∈[λ] and |λ-aii|=|η-aii|.In additon,the conclusions when all the right eigenvalues or the elements of main diagonal of a quaternionic matrix are given.Finally,it gives a numerical examples to prove the conclusion to be correct in general.

quaternion;quaternion matrices;right eigenvalue;eigenvector

1006-8341(2016)04-0491-05

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.013

2016-05-21

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60671063)

暢大為(1963—)，男，陜西省西安市人，陜西師范大學(xué)副教授，研究方向?yàn)閿?shù)值線性代數(shù).

E-mail:dwch@sina.com

韓俊佳，暢大為，葉絨絨.四元數(shù)矩陣右特征值的范圍估計(jì)[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2016,29(4)：491-495.

HAN Junjia,CHANG Dawei,YE Rongrong.Location for the right eigenvalues of quaternion matrices[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):491-495.

O 241.6

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