小波分解ARMA-GARCH模型及其在基金凈值預(yù)測中的應(yīng)用

景 陽，竇井波

(西安財(cái)經(jīng)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)學(xué)院,陜西 西安 710100)

小波分解ARMA-GARCH模型及其在基金凈值預(yù)測中的應(yīng)用

景 陽1，竇井波2

(西安財(cái)經(jīng)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)學(xué)院,陜西 西安 710100)

基于小波分解理論建立了小波分解ARMA-GARCH模型,通過天宏周期策略基金數(shù)據(jù)對(duì)模型的有效性進(jìn)行實(shí)證分析．結(jié)果表明,小波分解ARMA-GARCH模型的預(yù)測精度顯著高于小波去噪AR模型與ARMA-GARCH模型的預(yù)測精度,短期預(yù)測精度稍高于長期預(yù)測,且預(yù)測效果在數(shù)據(jù)的平穩(wěn)期顯著優(yōu)于震蕩期．

小波分解;ARMA-GARCH模型;基金累計(jì)凈值

0 引 言

我國證券投資基金近年來發(fā)展迅速．目前我國基金數(shù)目達(dá)到2 525支,基金資產(chǎn)凈值達(dá)43 495億元．2001年我國第一只開放式基金發(fā)行至今,開放式基金已經(jīng)超越了封閉式基金,成為我國證券基金業(yè)的市場主流[1-3]．

在基金理論的發(fā)展與基金產(chǎn)業(yè)的評(píng)價(jià)方面,基金凈值是最基礎(chǔ)與最關(guān)鍵的因素,因此研究基金凈值的預(yù)測很有意義．分析已有的研究成果發(fā)現(xiàn)影響基金凈值的因素涉及方面較多[4-21],傳統(tǒng)預(yù)測方法不能反映基金凈值與政治、經(jīng)濟(jì)等多種因素之間的非線性規(guī)律,對(duì)基金凈值預(yù)測偏離較大,因此人們開始尋找其他方法解決這些問題．考慮到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)性可以較好地解決上述問題,王波[22]將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論引入基金周凈值預(yù)測模型中,結(jié)果表明,該模型能夠準(zhǔn)確預(yù)測基金周凈值的短期走向和周凈值曲線變化的拐點(diǎn)．在預(yù)測基金日凈值方面,劉麗峰[23]證實(shí)了粒子群優(yōu)化與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可以提高基金凈值預(yù)測的精度,有效解決了傳統(tǒng)預(yù)測方法不能反映基金凈值與政治、經(jīng)濟(jì)等多種因素之間的非線性規(guī)律而導(dǎo)致的預(yù)測精度低的問題．上述方法對(duì)基金凈值預(yù)測的精度有所提高,但建立模型時(shí)均需要選取基金凈值的影響指標(biāo),指標(biāo)選取的合適與否決定模型預(yù)測精度的高低,并且涉及的指標(biāo)越多,數(shù)據(jù)收集與處理的工作量越大．喬寶明[24]等采用小波去噪原理對(duì)基金凈值序列進(jìn)行消噪處理,使得到的新序列具有更好的平穩(wěn)性,然后對(duì)新序列建立AR模型,實(shí)證發(fā)現(xiàn)小波去噪能夠顯著提高AR模型的預(yù)測精度．李小康[25]運(yùn)用極大值分布GPD模型對(duì)基金凈值樣本數(shù)據(jù)的極值點(diǎn)進(jìn)行了較為理想的預(yù)測．上述基金凈值的預(yù)測精度雖然有所提高,但小波去噪的同時(shí)也會(huì)濾去數(shù)據(jù)中有效的信息從而導(dǎo)致預(yù)測值的絕對(duì)百分比誤差仍較高．

為了更好地預(yù)測證券投資基金的凈值,避免小波去噪可能導(dǎo)致數(shù)據(jù)中有效信息流失的問題,本文根據(jù)小波分解原理,結(jié)合傳統(tǒng)的ARMA-GARCH模型建立了小波分解ARMA-GARCH模型．將基金凈值序列分解到不同的層(即不同尺度)得到趨勢序列與不同層對(duì)應(yīng)的細(xì)節(jié)序列,對(duì)得到的新序列分別建立ARMA-GARCH模型,重組各個(gè)ARMA-GARCH模型的預(yù)測值后得到基金凈值的預(yù)測值,盡可能地保留數(shù)據(jù)原有的信息,從而進(jìn)一步提高預(yù)測精度,降低誤差.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 ARMA模型

1.2 GARCH模型

1.3 小波分析

(1)

重構(gòu)函數(shù)為

(2)

(3)

二進(jìn)離散小波變換重構(gòu)函數(shù)為

(4)

1.4 多分辨率分析

多分辨率分析(MRA)是S. Mallat和Y. Meyer于1986年在多尺度逼近的基礎(chǔ)上提出的一個(gè)理解和構(gòu)造小波的統(tǒng)一框架的概念[30]．

設(shè)Vj=span{2-j/2φ(2-jt-k)}(j∈Z)是L2(R)上的一個(gè)具有嵌套性、逼近性、伸縮性和平移不變性的空間序列,那么Vj(j∈Z)為L2(R)的多分辨率分析．根據(jù)多分辨率理論,空間Vj可以分解為Vj=Wj-1?Vj-1=Wj-1?Wj-2?Vj-2=…=Wj-1?Wj-2?…?Wj-m?Vj-m,其中Wj=span{2-j/2φ(2-jt-k)}(j∈Z),子空間Wj-1,Wj-2,…,Wj-m,Vj-m相互正交．那么,L2(R)=?Wj,則x(t)∈L2(R)可以表示為

(5)

(6)

如引言所述,經(jīng)典的ARMA-GARCH模型預(yù)測精度有待進(jìn)一步提高,而小波分解可以刻畫信號(hào)的細(xì)節(jié)部分,提高時(shí)間序列數(shù)據(jù)的利用率,將小波分解原理與經(jīng)典的ARMA-GARCH模型相結(jié)合可以提高模型的預(yù)測精度,因此本文將構(gòu)建一種基于小波分解的小波ARMA-GARCH模型．

2 小波分解ARMA-GARCH模型

小波分解ARMA-GARCH模型的基本思想是:根據(jù)小波理論將離散時(shí)間序列{St}進(jìn)行L分解后得到1個(gè)趨勢系數(shù)序列和L個(gè)細(xì)節(jié)系數(shù)序列,對(duì)系數(shù)序列單支重構(gòu)后得到趨勢序列{AL,t}與細(xì)節(jié)序列{Dl,t},l=1,2,…,L.由式(6)得

(7)

Daubechies小波具有緊支撐、正交、非對(duì)稱的性質(zhì),其消失矩選取對(duì)小波函數(shù)的光滑度與支撐度以及小波變換的計(jì)算量都有影響,而消失矩為4的Daubechies小波db4在滿足光滑度的同時(shí)支撐度最小,因此本文選取db4(L)小波．

趨勢序列的ARMA模型的可決系數(shù)隨小波分解層數(shù)的增加而越大,可決系數(shù)越大,模型的擬合效果越好,預(yù)測誤差越小;另一方面,分解層數(shù)的增加不僅使得趨勢序列與原序列的標(biāo)準(zhǔn)離差變大,還使得建立的細(xì)節(jié)序列ARMA模型增加,二者均導(dǎo)致預(yù)測誤差增大．綜合考慮以上因素,本文在可決系數(shù)一定的情況下趨勢序列的最低層次為小波分解層數(shù)．另外,為減少模型選取帶來的工作量,ARMA的p和q階數(shù)均小于6．

表 1 各層趨勢序列的ARMA模型的可決系數(shù)

3 實(shí)證分析

從中國基金網(wǎng)獲取天弘周期策略股票型基金(420005)2010年1月4日至2015年8月26日共1 369個(gè)累計(jì)凈值數(shù)據(jù)．以前1 169個(gè)數(shù)據(jù){St}為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行小波分解ARMA-GARCH建模,后200個(gè)數(shù)據(jù)留作模型預(yù)測評(píng)價(jià)參考數(shù)據(jù)．

將樣本期基金累計(jì)凈值{St}小波分解重構(gòu)的各層趨勢序列建立ARMA(p,q)模型．由表1可知,可決系數(shù)R2達(dá)到0.99的最低分解層數(shù)為5,因此小波分解5層．

對(duì)累計(jì)凈值序列進(jìn)行db4(5)分解并單支重構(gòu)的趨勢序列與各層細(xì)節(jié)序列,見圖1．圖1中,S為累計(jì)凈值序列,A5為趨勢序列,D1～D5分別為1～5層細(xì)節(jié)序列．A5與S相比,兩條曲線的趨勢大致相似,但A5更平滑,使得累計(jì)凈值頻繁波動(dòng)的信息分散存儲(chǔ)于各層細(xì)節(jié)序列．

檢驗(yàn)趨勢序列與細(xì)節(jié)序列的平穩(wěn)性,DAF單位根檢驗(yàn)結(jié)果見表2．表2顯示,細(xì)節(jié)序列均為平穩(wěn)序列,趨勢序列A5不平穩(wěn),但A5的一次差分序列DA5是平穩(wěn)的．

對(duì)各平穩(wěn)序列建立合適的ARMA模型,檢驗(yàn)是否存在ARCH效應(yīng),并對(duì)存在ARCH效應(yīng)的模型建立合適的GARCH模型(見表3),各序列模型如下:

表 2 ADF平穩(wěn)性檢驗(yàn)

D3,t= -0.744 6D3,t-1-0.479 6D3,t-2-0.505 0D3,t-3-0.086 8D3,t-4-

1.828 1μt-1+0.080 3μt-2+1.354 3μt-3-0.606 2μt-4,

DA5,t= 0.508 4DA5,t-1+0.360 9DA5,t-2+0.894 4DA5,t-3-0.431 4DA5,t-4-0.111 8DA5,t-5-

0.236 5DA5,t-6+1.235 4μt-1+0.952 5μt-2-0.767 2μt-4-1.119 2μt-5-0.724 4μt-6.

根據(jù)表3, DA5、D3與D5的F統(tǒng)計(jì)量的伴隨概率分別為0.073 2,0.124 6和0.483 9;D1,D2與D4伴隨概率均為0,那么,在95%的置信水平下D1,D2與D4存在ARCH效應(yīng),需建立GARCH模型．表3說明小波分解將累計(jì)凈值具有的集聚特征分散到了細(xì)節(jié)序列．

表 3 ARMA模型與ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

依據(jù)各序列模型分別進(jìn)行靜態(tài)估計(jì),預(yù)測未來200個(gè)工作日的數(shù)據(jù),并根據(jù)式(7)得到天宏周期策略基金的預(yù)測累計(jì)凈值,其與實(shí)際值的對(duì)比情況見圖2,單日預(yù)測1日至10日10個(gè)APE值與連續(xù)預(yù)測的20日至200日等分的10個(gè)預(yù)測期的MAPE值見表4．

表 4 APE與MAPE值

表4中的模型1是指本文模型即小波分解ARMA-GARCH模型,模型2是指小波去噪AR模型,模型3是指傳統(tǒng)的ARMA-GARCH模型．1日至10日的APE結(jié)果顯示,小波分解ARMA-GARCH模型對(duì)第4日的預(yù)測效果最好,APE值為0.019 0%,其余日的APE波動(dòng)相對(duì)較大,介于0.021 4%～ 0.284 0%之間,因此,單日凈值預(yù)測精度較好．MAPE值則隨著預(yù)測期的增加而變大,意味著模型對(duì)連續(xù)預(yù)測的預(yù)測精度隨著預(yù)測期T的縮短而提高．對(duì)比3個(gè)模型預(yù)測精度,小波分解ARMA-GARCH模型的APE、MAPE值都普遍低于小波去噪AR模型與ARMA-GARCH模型的對(duì)應(yīng)值,這說明前者預(yù)測精度顯著優(yōu)于后兩者．

由圖2可直觀看出,小波分解ARMA-GARCH模型的預(yù)測值與實(shí)際值兩條曲線大致重合,APE始終低于2.5%,模型的單日預(yù)測精度較高．在實(shí)際值曲線的峰頂和谷底處,APE曲線快速攀至峰值,預(yù)測曲線與實(shí)際曲線的重合程度較低,預(yù)測效果變差．2015年5月前APE較小,之后的APE仍存在取值較小的區(qū)域但普遍取值高于之前的水平,結(jié)合實(shí)際值曲線在預(yù)測期的前期走勢平緩,從2015年5月之后波動(dòng)幅度明顯變大的情況,可以推知模型的單日預(yù)測精度在平緩期顯著優(yōu)于震蕩期．

小波去噪AR模型同小波分解ARMA-GARCH模型都是將小波分析理論引入到自回歸模型中,不同之處有4點(diǎn).首先在計(jì)量模型的選取方面,前者采用了AR模型,后者則考慮到基金預(yù)測模型中存在的ARCH效應(yīng)而使用GARCH模型進(jìn)行修正;其次,兩個(gè)模型使用的小波分析理論的方法不同,前者使用了小波分析理論的去噪方法對(duì)原序列進(jìn)行去噪,使新序列具有更好的穩(wěn)定性,后者使用了小波分析理論的分解方法,將原序列分解到不同尺度上,從而得到趨勢序列與各尺度的細(xì)節(jié)序列,對(duì)各序列分別建立ARMA-GARCH模型;再次,從研究期而言,前者的研究期不到五個(gè)月,而后者研究期跨度顯著大于前者,因而后者更加真實(shí)、準(zhǔn)確地反映了基金凈值的曲線趨勢;最后,二者的預(yù)測效果不同,實(shí)證結(jié)果表明小波分解ARMA-GARCH模型預(yù)測精度更高．

4 結(jié)束語

本文建立了小波分解ARMA-GARCH模型, 利用天宏周期策略股票型基金的累計(jì)凈值數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證分析與預(yù)測,并將預(yù)測結(jié)果與小波去噪AR模型預(yù)測結(jié)果、ARMA-GARCH模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了比較．實(shí)證分析結(jié)果表明,本文模型的單日預(yù)測精度較高且預(yù)測效果在平穩(wěn)期顯著優(yōu)于震蕩期,在基金凈值實(shí)際值曲線的峰頂和谷底處的預(yù)測效果略差,連續(xù)預(yù)測的精度則隨著預(yù)測期的增加而降低．最后與小波去噪AR模型的預(yù)測效果和ARMA-GARCH模型的預(yù)測效果相比,本文模型的預(yù)測精度更高,因此本文模型對(duì)于基金凈值預(yù)測方面具有實(shí)用價(jià)值．

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編輯:武 暉；校對(duì)：師 瑯

An ARMA-GARCH model and its application for ACCNAV prediction

JINGYang,DOUJingbo

(School of Economics,Xi′an University of Finance and Economics,Xi′an 710100,China)

A wavelet ARMA-GARCH model is established to predict the net value of the fund.By selecting Tianhong Cycle Fund, the predictive effect of the new model is empirical analyzed. The result showed the predictive value of the wavelet ARMA-GARCH model is more accuracy than the traditional ARMA-GARCH predictive model and it is related to the vibrate of the ACCNAV and the length of the predictive period.

wavelet decomposition;ARCH-GARCH model; ACCNAV

1006-8341(2016)04-0484-07

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.012

2016-06-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11571268)；陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014JM1021)

竇井波(1976—),男，陜西省周至縣人，西安財(cái)經(jīng)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)榻鹑诠こ?

E-mail:jbdou@xaufe.edu.cn

景陽,竇井波.小波分解ARMA-GARCH模型及其在基金凈值預(yù)測中的應(yīng)用[J].紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2016,29(4)：484-490.

JING Yang,DOU Jingbo.An ARMA-GARCH model and its application for ACCNAV prediction[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):484-490.

O 212.4

A