三角代數(shù)上的可導映射對

魏 燕,張建華

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,陜西 西安 710119)

三角代數(shù)上的可導映射對

魏 燕,張建華

(陜西師范大學 數(shù)學與信息科學學院,陜西 西安 710119)

設(shè)U=Tri(A,M,B)是三角代數(shù),E是U的標準雙邊模, 且δ,τ:A→E是兩個映射(無可加或線性假設(shè)).利用代數(shù)分解方法,證明了三角代數(shù)上的可導映射對是可加的. 即如果?a,b∈U, 有δ(ab)=δ(a)b+aτ(b), 則δ是由U到E的可加廣義導子, τ是由U到E的可加導子. 作為應(yīng)用, 給出了上三角矩陣塊代數(shù)和套代數(shù)上可導映射對的具體表達形式.

三角代數(shù); 可導映射對; 可加性

0 引 言

近年來, 環(huán)或代數(shù)上可導映射,Jordan可導映射以及Lie可導映射的研究受到了國內(nèi)外學者廣泛關(guān)注[1-5].Daif[1]證明了一類含非平凡冪等元且滿足一定條件的環(huán)上的可導映射是可加的.Ji[2]得到了一類Jordan代數(shù)上的Jordan可導映射是可加的.Lu[3]證明了含非平凡冪等元的素環(huán)上的Jordan可導映射是可加的,并在文獻[4]中給出了素環(huán)上Lie可導映射的結(jié)構(gòu)表達形式. 最近,Liu[5]證明了套代數(shù)上的k-Jordan可導映射是可加的.其他相關(guān)工作可參見文獻[6-17].

設(shè)δ,τ:A→E是兩個映射(無可加或線性假設(shè)).如果?a,b∈A, 有δ(ab)=δ(a)b+aτ(b),則稱(δ,τ)是A上的可導映射對. 類似地,如果?a,b∈A, 分別有δ(a○b)=δ(a)○b+a○τ(b)和δ([a,b])=[δ(a),b]+[a,τ(b)], 則分別稱(δ, τ)是A上的Jordan可導映射對和Lie可導映射對.其中a○b=ab+ba為a與b的Jordan積，[a,b]=ab-ba為a與b的Lie積.顯然, 當δ=τ時, 可導映射對,Jordan可導映射對和Lie可導映射對(δ, τ)分別是可導映射,Jordan可導映射和Lie可導映射.本文將研究三角代數(shù)上的可導映射對的可加性問題.

設(shè) A和 B是可交換環(huán)R上含單位元的代數(shù), M是 (A,B)-忠實雙邊模. 在通常的矩陣運算下, 稱

為R上的三角代數(shù)[12]. 設(shè)U=Tri(A,M,B)是一個三角代數(shù), E是U的雙邊模,1A和 1B分別為 A和B的單位元.記

以及

Uij=piUpj, Eij=piEpj(1≤i≤j≤2).

顯然, U=U11⊕U12⊕U22, E=E11⊕E12⊕E21⊕E22. 對a∈E11, b∈E22,如果aU12=0 蘊含a=0 且 U12b=0蘊含b=0, 則稱E是U的標準雙邊模. 易驗證,三角代數(shù)U本身就是U的一個標準雙邊模.

1 主要結(jié)果與證明

定理1 設(shè)U=Tri(A,M,B)是三角代數(shù),E是U的標準雙邊模，則由U到E的任一可導映射對(δ,τ)是可加的. 進而,τ是由U到E的可加導子,δ是由U到E的關(guān)于τ的可加廣義導子.

以下假設(shè)(δ, τ)為由三角代數(shù)U到其標準雙邊模E的可導映射對. 即?a,b∈U, 有

δ(ab)=δ(a)b+aτ(b).

(1)

下面通過幾個引理來完成定理1的證明.

引理1 δ(0)=0.

證明 δ(0)=δ(00)=δ(0)0+0τ(0)=0.證畢.

引理2 pjδ(pi)pj=0,τ(pi)=piδ(pi)pj-pjδ(pj)pi(1≤i≤j≤2).

證明 在式(1)中取a=b=pi, 則

δ(pi)=δ(pi)pi+piτ(pi).

(2)

對式(2)分別左右同乘pj, 右乘pi, 左乘pi右乘pj得

pjδ(pi)pj=piτ(pi)pi=0, piτ(pi)pj=piδ(pi)pj.

在式(1)中取a=pj, b=pi, 則由引理1得

0=δ(pjpi)=δ(pj)pi+pjτ(pi).

(3)

對式(3)分別右乘pj, 左乘pj右乘pi得

pjτ(pi)pj=0, pjτ(pi)pi=-pjδ(pj)pi.

所以

τ(pi)= piτ(pi)pi+piτ(pi)pj+pjτ(pi)pi+pjτ(pi)pj=

piδ(pi)pj-pjδ(pj)pi.

證畢.

記r1=p1δ(p1)p1+p2δ(p1)p1+p1δ(p2)p2,r2=p1δ(p1)p2+p2δ(p2)p1+p2δ(p2)p2.定義映射Φ,ψ:U→E分別為

Φ(a)=δ(a)-r1a-ar2, ψ(a)=τ(a)+r2a-ar2.

(4)

引理3 ?a, b∈U,有Φ(ab)=Φ(a)b+aψ(b), 且Φ(pi)=ψ(pi)=0(i=1,2).

證明 ?a, b∈U, 由式(1)和(4)式可知

即(Φ,ψ)是U的可導映射對. 再由式(4)和引理2可知

類似可得Φ(p2)=0及ψ(pi)=0 (i=1,2). 證畢.

以下討論可導映射對(Φ,ψ)的可加性.

引理4 設(shè)ail∈Uil且bik∈Uik(1≤i,l,k≤2). 則

(a) ψ(ail+bik)=Φ(ail+bik),

(b) ψ(ail)=Φ(ail)∈Eil.

證明 (a) 設(shè)1≤j≤2且j≠i.則由引理1和引理3,得

0=Φ(pj(ail+bik))=Φ(pj)(ail+bik)+pjψ(ail+bik)=pjψ(ail+bik),

且

Φ(ail+bik)=Φ(pi(ail+bik))=Φ(pi)(ail+bik)+piψ(ail+bik)=piψ(ail+bik).

從而

ψ(ail+bik)=pjψ(ail+bik)+piψ(ail+bik)=Φ(ail+bik).

(5)

(b) 在式(5)中, 取bik=0, 則由引理3,得

證畢.

引理5 設(shè)aij∈Uij(1≤i≤j≤2)，則

(a) ψ(a12+a22)=ψ(a12)+ψ(a22),

(b) ψ(a11+a22)=ψ(a11)+ψ(a22),

(c) ψ(a11+a12)=ψ(a11)+ψ(a12).

證明 (a) 由引理4(b)和引理3, 則

以及

從而

ψ(a22+a12)=p1ψ(a12+a22)+p2ψ(a12+a22)=ψ(a12)+ψ(a22).

類似可得(b)和(c)也成立.證畢.

引理6 設(shè)a12,b12∈U12,則ψ(a12+b12)=ψ(a12)+ψ(b12).

證明 由于a12+b12=(a12+p1)(p2+b12),從而由引理4和引理5,得

證畢.

引理7 設(shè)aii,bii∈Uii(i=1,2),則

(a) ψ(a11+b11)=ψ(a11)+ψ(b11),

(b) ψ(a22+b22)=ψ(a22)+ψ(b22).

證明 (a) ?c12∈U12,根據(jù)引理4和引理6, 則一方面,

另一方面,

比較式(6)與(7),?c12∈U12, 有

(ψ(a11+b11)-ψ(a11)-ψ(b11))c12=0.

由于E是U的標準雙邊模, 從而

ψ(a11+b11)=ψ(a11)+ψ(b11).

類似可得(b)也成立. 證畢.

引理8 設(shè)aij∈Uij(1≤i≤j≤2),則ψ(a11+a12+a22)=ψ(a11)+ψ(a12)+ψ(a22).

證明 由引理3和引理4, 則

以及

從而由式(8)與(9)及引理5(c),可得

證畢.

引理9 ?a,b∈U,有ψ(a+b)=ψ(a)+ψ(b),即 ψ是可加的.

證明 設(shè)a,b∈U, 則a=a11+a12+a22,b=b11+b12+b22, 其中 aij,bij∈Uij(1≤i≤j≤2). 從而由引理6～8可知

證畢.

定理1的證明 由式(4)和引理9可知,τ是可加的.在式(1)中取a=1, 則?b∈U, 有

δ(b)=τ(b)+δ(1)b.

(10)

從而δ是可加的.在式(10)中用ab替代b, 則

于是τ是可加導子. 再由式(1),從而δ是關(guān)于τ的可加廣義導子. 證畢.

上三角矩陣塊代數(shù)和套代數(shù)都是特殊的三角代數(shù), 而每一個有限維空間上的非平凡套代數(shù)都同構(gòu)于一個上三角矩陣塊代數(shù). 所以由定理1和文獻[13]可得以下推論.

推論1 設(shè)T(R)是含單位的可交換環(huán)R上的上三角矩陣塊代數(shù),(δ,τ)是從T到自身的可導映射對. 則存在S,T∈T(R)以及可加導子α: R→ R,使得?A∈T(R), 有δ(A)=AS-TA+Aα,τ(A)=AS-SA+Aα, 其中Aα=(α(aij)).

對于無限維的情況, 由定理1和文獻[14]可得以下推論.

推論2 設(shè)X是數(shù)域F上的無限維Banach空間,N是X上含非平凡可補元的套,AlgN是相應(yīng)的套代數(shù), (δ,τ)是從AlgN到B(X)的可導映射對. 則存在T,S∈AlgN使得?A∈AlgN,有δ(A)=AT-SA, τ(A)=AT-TA.

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編輯、校對：師 瑯

Pairs of derivable maps on triangular algebras

WEIYan,ZHANGJianhua

(School of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi′an 710119,China)

Let U=Tri(A,M,B) be a triangular algebras with identity, E be a standard bi-model of U, and δ,τ:A→E are two maps (without additivity and linear). By using method of algebras decomposition, it is proved that pairs of derivation maps on triangular algebras are additive. That is, if the mapsδ,τsatisfiesδ(ab)=δ(a)b+aτ(b), for alla,b∈U, thenδis additive general derivation, andτis additive derivation fromUtoE.As an application,the concrete structure of pairs of derivable maps on nest algebras is given.

triangular algebras; pairs of derivable maps; additivity

1006-8341(2016)04-0455-05

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.007

2016-03-21

國家自然科學基金資助項目(11471199);教育部高等學校博士學科點專項科研基金項目(20110202110002)

張建華(1965—),男,陜西省西安市人，陜西師范大學教授,博士生導師,研究方向為算子代數(shù).

E-mail: jhzhang@snnu.edu.cn

魏燕,張建華.三角代數(shù)上的可導映射對[J].紡織高?；A(chǔ)科學學報,2016,29(4)：455-459.

WEI Yan,ZHANG Jianhua.Pairs of derivable maps on triangular algebras[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):455-459.

O 177.1

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