耦合非線性波動方程爆破時間的下確界

劉玉龍

(山西大學 數(shù)學科學學院,山西 太原 030006)

耦合非線性波動方程爆破時間的下確界

劉玉龍

(山西大學 數(shù)學科學學院,山西 太原 030006)

考慮帶有阻尼和源項的非線性耦合波動方程,為了獲得波動方程爆破時間的下確界，在有限時間爆破的結果下,選擇適當輔助函數(shù)G(t),利用Cauchy不等式和能量初值E(0)的估計得到有關G(t)和G′(t)的微分不等式,并最終通過對時間積分進而得到非線性耦合波動方程爆破時間的下確界．

耦合;非線性波動方程;爆破;下確界

0 引 言

近年來,對于波動方程解的爆破問題有很多研究,其中關于非線性耦合波動方程解的存在和爆破問題已有許多結果[1-11]．然而,對于波動方程爆破時間的研究還不是很多．爆破的準確時間一般很難確定,因此在實踐中計算出爆破時間的上、下確界具有重要意義．在關于波動方程爆破問題的文章中,一般從結果中都可以得到爆破時間的上確界,而下確界的確定卻還沒有被普遍關注．文獻[12]研究了耦合波動方程,在適當假設情況下證明了解的爆破,并且得到了爆破時間的上確界．文獻[13]研究了兩類非線性波動方程爆破時間的問題,在解爆破的前提下精確地計算出了爆破時間的下確界.文獻[14]利用輔助函數(shù)在爆破的前提下得到了爆破時間的下確界．

本文考慮如下的問題

(1)

其中Ω是R2中的有界區(qū)域,且具有光滑邊界?Ω,m,γ≥1,T>0;文章將在解爆破的前提下得到問題(1)爆破時間的下確界．

為了獲得問題(1)解的爆破結果,作如下假設.

(A2) 存在正常數(shù)c0,c1使得?(u,v)∈R2，F(xiàn)(u,v)滿足

c0(|u|p+1+|v|p+1)≤F(u,v)≤c1(|u|p+1+|v|p+1).

(2)

(A3) 給定函數(shù)ρ1,ρ2對所有s>0滿足

(3)

文章中記‖·‖p為Lp(Ω)的范數(shù),用E(t)表示系統(tǒng)(1)的能量．

1 相關定理及引理

首先給出解的局部存在性定理和解的爆破結果．

為了獲得系統(tǒng)(1)爆破時間的下確界,有以下引理．

引理1[14]假設Ω是Rn(n=2,3)中的有界區(qū)域,且具有光滑邊界?Ω．如果u(x)在Ω上滿足u(x)∈C1而且在?Ω上u(x)=0,則有不等式

2 主要結果及證明

定理3 假設u(t)是系統(tǒng)(1)的解,且u(t)在有限時間T爆破,則

其中

證明 首先,對系統(tǒng)(1)的前兩個等式兩邊分別同乘ut與vt，并且在Ω上積分，得

∫Ω(uttut+utut+|ut|m-1utut)dx=∫Ω(div(ρ1(|u|2)u)ut+f1(u,v)ut)dx,

(4)

∫Ω(vttvt+vtvt+|vt|γ-1vtvt)dx=∫Ω(div(ρ1(|v|2)v)vt+f2(u,v)vt)dx.

(5)

則式(4)等號右邊第一項可化簡為

∫Ω(div(ρ1(|u|2)u)utdx= ∫?Ωρ1(|u|2)u·ν·utdΓ-∫Ωρ1(|u|2)uutdx=

-∫Ωρ1(|u|2)uutdx.

∫Ωρ1(|u|2)uu|2)dx.

同理,

∫Ωρ2(|u|2)uu|2)dx.

所以,式(4)～(5)可化簡為

(6)

(7)

將式(6)與式(7)相加,整理可得

-∫Ωututdx-∫Ω|ut|m-1ututdx-∫Ωvtvtdx-∫Ω|vt|γ-1vtvtdx.

所以可以得到能量及其導數(shù)的表達式,即

(8)

(9)

由式(9)得

則

E(t)≤E(0).

(10)

所以由式(8)和式(10)可得

(11)

接下來設輔助函數(shù)為

G(t)=∫Ω(|u|p+1+|v|p+1)dx,

則關于t求導可得

G′(t)=(p+1)∫Ω(|u|put+|v|pvt)dx.

利用Cauchy不等式得

由式(11)可得

再利用引理1可得

(12)

由式(3)可知,存在一個常數(shù)c2使得

成立，即

c2Pi(s)≥s,

所以有

c2P1(|u|2)≥|u|2,c2P2(|v|2)≥|v|2.

(13)

將式(13)代入式(12)可得

再由式(11)可得

根據(jù)式(2)可以得到

(14)

證畢．

3 結束語

計算波動方程解爆破時間的下確界的關鍵是G(t)的選取以及得到最終的微分不等式.而且G(t)一定要是非線性的,否則會與前面的爆破結果相矛盾,而利用引理中的方法就可保證G(t)非線性．本文盡可能使得爆破時間的下確界更精確,但由于技術和方法的局限,求解爆破時間的更為精確的方法還有待進一步研究．

[1] GLASSEY R T.Blow-up theorems for nonlinear wave equations[J].Math Zeit,1973,132(3):183-203.

[2] PITTS D R,RAMMAHA M A. Global existence and non-existence theorems for nonlinear wave equations[J].Indiana Univ Math J,2002,51(6):1479-1509.

[3] LEVINE H A,TODOROVA G.Blow up of solutions of the Cauchy problem for a wave equation with nonlinear damping and source terms and positive initial energy[J].Proc Amer Math Soc,2001,129(3):793-805.

[4] TODOROVA G,VITILLARO E.Blow-up for nonlinear dissipative wave equations in Rn[J].J Math Anal Appl,2005,303(1):242-257.

[5] SONG H T,XUE D H.Blow up in a nonlinear viscoelastic wave equation with strong damping[J].Nonlinear Anal,2014,109:245-251.

[6] ZHOU J.Global existence and blow-up of solutions for a Kirchhoff type plate equation with damping[J].Appl Math Computation,2015,265(c):807-818.

[7] MESSAOUDI S A.Blow up and global existence in a nonlinear viscoelastic wave equation[J].Math Nachr,2003,260(1):58-66.

[8] MESSAOUDI S A.Blow up of positive-initial-energy solutions of a nonlinear viscoelastic hyperbolic equation[J].J Math Anal Appl,2006,320(2):902-915.

[9] MESSAOUDI S A.Blow up in a nonlinearly damped wave equation[J].Math Nachr,2001,231(1):1-7.

[10] LIU W J.General decay and blow-up of solution for a quasilinear viscoelastic problem with nonlinear source[J].Nonlinear Anal,2010,73:1890-1904.

[11] BALL J.Remarks on blow up and nonexistence theorems for nonlinear evolutions equations[J].Quart J Math Oxford,1977,28(4):473-486.

[12] WU J,LI S.Blow-up for coupled nonlinear wave equations with damping and source[J].Appl Math Lett,2011,24(7):1093-1098.

[13] ZHOU J.Lower bounds for blow-up time of two nonlinear wave equation[J].Appl Math Lett,2015,45:64-68.

[14] PHILIPPIN G A.Lower bounds for blow-up time in a class of nonlinear wave equation[J].Z Angew Math Phys,2015,66(1):129-134.

[15] GEORGIEV V,TODOROVA G.Existence of the wave equation with nonlinear damping and source term[J].J Differential Equations,1994,109(2):295-308.

[16] CAVALCANTI M M,DOMINTI V N,FERRERIA J.Existence and uniform decay for nonlinear viscoelastic equation with strong damping[J].Math Methods Appl Sci,2001,24:1043-1053.

編輯、校對：師 瑯

Lower bounds for blow-up time of the coupled nonlinear wave equations

LIUYulong

(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

Considering the coupled nonlinear wave equation, to obtain the lower bounds for wave equations,in case of blow-up result,selecting suitable auxiliary functionG(t) and get the differential inequality onG(t) andG′(t) by Cauchy inequality and the estimation of the initial energyE(0).Finally,by integrating over the time, the lower bounds of blow-up time for coupled nonlinear wave equation is obtained.

coupled;nonlinear wave equation;blow-up;lower bounds

1006-8341(2016)04-0450-05

10.13338/j.issn.1006-8341.2016.04.006

2016-04-27

國家自然科學基金資助項目(11171195)

劉玉龍(1990—),男，山西省臨汾市人，山西大學博士研究生,研究方向為分布參數(shù)系統(tǒng)控制理論.

E-mail:liuylmath@139.com

劉玉龍.耦合非線性波動方程爆破時間的下確界[J].紡織高?；A科學學報,2016,29(4)：450-454.

LIU Yulong.Lower bounds for blow-up time of the coupled nonlinear wave equations[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):450-454.

O 175.29

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