臺灣數(shù)學(xué)研究現(xiàn)況（下）

于昕濤++張濤

離散數(shù)學(xué)

在離散數(shù)學(xué)領(lǐng)域，圖論是目前最為興盛的一支，而著色問題則是圖論的核心研究領(lǐng)域。這不僅是為了挑戰(zhàn)四色定理難題，也可利用圖論所提供的方法，為許多資源分配的現(xiàn)實問題找到理論上的適當(dāng)解決方法。臺灣在上世紀(jì)90年代開始，由均勻著色問題的研究出發(fā)，通過不斷交流與相互啟發(fā)，逐漸成為世界上研究著色問題的重鎮(zhèn)。目前島內(nèi)主流研究方向集中在圖的圓著色上，它是傳統(tǒng)圖著色問題的精致化，其前沿的研究成果有很大部分出自臺灣，包括近期在Kneser圖上的圓著色成果，極大擴(kuò)充了Borsuk-Ulam定理的應(yīng)用范圍。而且通過探討圓著色問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，使得許多古典純數(shù)學(xué)工具，如拓樸方法、概率方法、幾何、動態(tài)系統(tǒng)分析等都得以發(fā)揮。另外，通過圓著色厘清了離散事件動態(tài)系統(tǒng)與scheduling之間隱晦的聯(lián)系。這些連通甬道的發(fā)現(xiàn)，讓組合數(shù)學(xué)工作者得以通過圖著色問題，經(jīng)chip-firing模式走向物理學(xué)的sandpiles非線性動力模式，也極自然地關(guān)聯(lián)上軟件工程、運(yùn)輸排程、并行計算機(jī)等領(lǐng)域內(nèi)的問題。

其次是圖分解問題，目前島內(nèi)研究主要集中在如何把圖的邊線集合劃分開來，成為各種所需的圖。臺灣學(xué)者在有關(guān)路徑分解、回路分解、星狀圖分解等方面都取得相當(dāng)大的成果。除了基礎(chǔ)研究外，部分人也開始探討實際應(yīng)用方面，例如與日本學(xué)者合作，將圖分解理論用來處理DNA數(shù)據(jù)庫規(guī)劃、同步光纖網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計等問題。

目前臺灣主流學(xué)者將圖論的研究技巧與有限群理論、表示論、交換代數(shù)、代數(shù)幾何、代數(shù)拓樸等結(jié)合，重點研究組合與圖論性結(jié)構(gòu)與物理化學(xué)性質(zhì)，如通過對分子拓?fù)淠Ｐ停捶肿訄D）的研究來探討其化合物的構(gòu)造，利用匹配數(shù)學(xué)中Pfaffian方法與Dodgson的行列式求值規(guī)則，厘清無圈分子圖的Wiener指標(biāo)與匹配間的關(guān)系。

部分學(xué)者將分析中的泰勒展開式的概念引入組合數(shù)學(xué)中的生成函數(shù)，開展組合序列各種分布性質(zhì)的研究，探討有關(guān)單峰性、對數(shù)凹性、對數(shù)凸性和PF性質(zhì)等，在組合、代數(shù)、分析、幾何、電腦科學(xué)、概率和統(tǒng)計等方面都得到一定應(yīng)用。

概率論的研究在島內(nèi)的發(fā)展起步較晚，直到上世紀(jì)80年代才有一批學(xué)者相繼投入這方面的研究。幾個主要研究領(lǐng)域包括馬爾可夫過程、擴(kuò)散過程、極限理論、自相似相關(guān)理論、相互作用粒子系統(tǒng)、統(tǒng)計物理、Martingale理論、白噪聲分析、排隊理論、財務(wù)數(shù)學(xué)理論、隨機(jī)矩陣、賽局論等，取得較好的研究成果。

然而島內(nèi)從事概率論的研究大多以個人為主，大學(xué)數(shù)學(xué)系也一向以教授代數(shù)、幾何、數(shù)學(xué)分析為主，學(xué)生對概率論接觸的機(jī)會并不多，這也極大限制了相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展。目前僅在臺灣中研院數(shù)學(xué)所有一個研究團(tuán)隊，與大陸有兩年一次的雙邊學(xué)術(shù)交流活動。

計算科學(xué)

近20年來，臺灣參與計算科學(xué)研究的人數(shù)有明顯增加，其成果已成功應(yīng)用到許多高科技領(lǐng)域，如超級電腦、平行計算、氣象預(yù)報、空氣動力學(xué)、量子力學(xué)、半導(dǎo)體元件設(shè)計、光子晶體、冷原子現(xiàn)象、燃燒科學(xué)等，并且隨著新型計算機(jī)的不斷問世，計算科學(xué)也在逐步改變和提高其計算方法。

臺當(dāng)局1990年召開的“第四次全臺科技會議”將計算科學(xué)列為發(fā)展的重點。臺灣科技主管部門從1992年起每年編列1500萬元新臺幣作為島內(nèi)數(shù)學(xué)界發(fā)展計算科學(xué)的經(jīng)費(fèi)，鼓勵數(shù)學(xué)家們與工程、資訊等領(lǐng)域研究人員合作組成研究團(tuán)隊，共同提出整合型研究計劃（含三位以上主持人）。目前，島內(nèi)計算科學(xué)的研究領(lǐng)域大致可分為矩陣計算的理論及其應(yīng)用、偏微分方程數(shù)值理論及方法。

近年數(shù)學(xué)領(lǐng)域重要成果

最近幾年臺灣數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得的重要成果有：

關(guān)于陳-賽門-黑格（Maxwell-Chern-Simons）模型中的非線性分析及其相關(guān)橢圓偏微分系統(tǒng)方程的研究，得到規(guī)范場方程的孤立解，從而推出該解所描述的物理量，不僅能證明非特定拓?fù)湟约胺峭負(fù)涔铝⒔獾拇嬖?，更可進(jìn)一步對于特別綁定的的能量或電荷值，證明具備該能量或電荷的解的存在與唯一性。

成功突破了超李代數(shù)的表現(xiàn)理論，解決“不可約”特征問題，并找出最重要的基本不變量，清楚描述所有A、B、C、D四型超李代數(shù)的表現(xiàn)，確立李代數(shù)與超李代數(shù)表現(xiàn)之間的聯(lián)系，是超李代數(shù)近20年來最重要的研究進(jìn)展之一。研究團(tuán)隊發(fā)現(xiàn)在無窮維空間里，對稱與超對稱是可以互通的，其成功的關(guān)鍵在于所謂“超對偶”，并找出超李代數(shù)的不可約特征，也證實了李代數(shù)與超李代數(shù)之間的一種等價性，此一研究成果將進(jìn)一步影響未來超幾何與數(shù)學(xué)物理的研究。

函數(shù)資料的群集分析，利用函數(shù)隨機(jī)展開式與子空間投影法，由函數(shù)主成分分析得到的子空間，定義不同的群集，再依訂定的分群準(zhǔn)則做群集分析。這項研究的特點是可定義各種相似測度來達(dá)到分群的目標(biāo)，同時考慮群集子空間平均函數(shù)與共變異結(jié)構(gòu)的特性，利于了解各群集間系統(tǒng)與隨機(jī)結(jié)構(gòu)的差異性，可廣泛應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)科學(xué)、化學(xué)計量學(xué)、氣象學(xué)、心理學(xué)、行為科學(xué)、市場行銷，財務(wù)計量、人口預(yù)測、腦圖像科學(xué)、語言學(xué)等函數(shù)型資料的群集分析，例如成長曲線分析、cDNA微列陣表現(xiàn)數(shù)據(jù)。

不可定向流形上的模空間的上同調(diào)群的研究。這項研究的目的在于了解不可定向流形上的這種模空間的拓樸。首先在不可定向流形上的connection空間上定義一個有意義的能量函數(shù)，利用這個能量函數(shù)將整個空間層化后，再對每一層分別討論。針對4個重要古典李群，對各層有了清楚的刻畫，不僅說明其幾何拓樸不變量可以詳細(xì)地被計算，其算出的拓樸不變量也顯示不可定向流形上的?？臻g與古典可定向流形上的模空間有根本性的不同。

歐拉管道流及交通流穩(wěn)態(tài)解存在性及穩(wěn)定性的研究。成功地利用幾何奇異擾動理論，得到不同管道結(jié)構(gòu)下穩(wěn)態(tài)解的存在性及多重性，并通過能量估計法得到某類穩(wěn)態(tài)解的線性穩(wěn)定性。這項研究還利用此研究技巧，成功探討管道截面積不連續(xù)的情況下穩(wěn)態(tài)解的存在性問題、具粘滯及放松項影響下交通流模型穩(wěn)態(tài)解的存在性與穩(wěn)定性問題，及費(fèi)茲霍夫-拉古姆（FitzHugh-Nagumo）類型的方程組行波解的存在性及復(fù)雜度，為多尺度問題的研究提供了一個極為有效的工具。

捕食者及被捕食者生物模型行波解的存在性研究。這項研究利用高維度的像空間分析、瓦如斯基理論和拉謝爾不變原理，在三維球上構(gòu)建瓦如斯基集及李阿普諾夫（Lyapunov）函數(shù)，并證明此類模型存在著侵略波。其研究成果可推廣到更為一般的掠食者模型，甚至涵蓋了其他種類的傳染病模型，對于非單調(diào)系統(tǒng)提供了一個很好的分析工具。

24維全純型框架頂點算子代數(shù)的分類研究。理論物理學(xué)中全純共形場論的分類可看成相對頂點算子代數(shù)的分類。該項研究利用框架頂點算子代數(shù)的表現(xiàn)論，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟ㄔ斐?7個新的24維全純頂點算子代數(shù)，當(dāng)中包括蒙塔古（P.S.Montague）沒有得到的第10號例子；同時，也確定了這些頂點算子代數(shù)重量1子空間的李代數(shù)結(jié)構(gòu)，并確定其中幾個例子的唯一性。所建造的頂點算子代數(shù)是Schellekens后唯一嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男吕?，對如何?gòu)造其他的例子及解決整個分類問題有非常重要的影響。

失去異結(jié)合型分析系統(tǒng)。這項研究開發(fā)了一套能有效探測失去異結(jié)合型基因片段的方法與分析系統(tǒng)，用來分析全基因或訂制化單一核酸多型性生物芯片數(shù)據(jù)，可同時用于估計同結(jié)合型的比率，找出染色體結(jié)構(gòu)和基因型分布異常的樣本，將具有相似的失去異結(jié)合型結(jié)構(gòu)的樣本歸群，并定位出疾病相關(guān)的失去異結(jié)合型基因片段；此外，也可用于研究不同族群間連續(xù)長片段同結(jié)合型（LCSH）分布的異同，協(xié)助挑出基因中攜帶復(fù)雜長片段同結(jié)合型的樣本，對具有不同遺傳和演化背景的樣本分群，并且定位出重要的長片段同結(jié)合型基因片段。由臺灣中研院統(tǒng)計科學(xué)研究所組成的研究團(tuán)隊，將該分析系統(tǒng)實際應(yīng)用于癌癥研究上，成功地找到急性白血球疾病的致病基因，如ETV6和CDKN1B。

此外，臺灣中研院統(tǒng)計所研究人員還發(fā)展出一套處理單套體病例的對照研究統(tǒng)計分析新方法，提出經(jīng)驗貝氏的方法與懲罰估計的方法，得出新的疾病單套體回歸分析的縮減估計式，能顯著地改進(jìn)傳統(tǒng)前瞻性及回溯性估計式。