分類討論思想在高中數(shù)學專題復習中的應用

◇ 江蘇 孫 華

分類討論思想在高中數(shù)學專題復習中的應用

◇ 江蘇 孫 華

分類討論思想是高中數(shù)學重要的數(shù)學思想之一,解題中運用分類討論思想的前提是“分類”,科學分類具有不重、不漏的原則.下面就解題中需要分類的常見類型,進行歸納總結.

1 按變量以及參數(shù)范圍進行分類

通常情況下,含有參數(shù)與變量的數(shù)學問題,大部分需要運用分類討論思想方能解答.學生在解決此類問題時,應考慮參數(shù)以及變量的變化對問題產生的影響,按照題目要求對變量以及參數(shù)范圍進行分類之后再逐類解決問題.

例1角α的頂點為原點O,始邊為x軸的正半軸.若角α的終邊上存在一點P(2t,－4t),且t不等于0,求tanα以及sinα的值.

解析

角α終邊上點的坐標為參數(shù)形式,因此需按照問題要求對參數(shù)進行分類.

2 按題目設定條件進行分類

部分題目中給定條件的分類信息較為明顯,學生解決此類問題應按照題目設定條件給出的類別進行分類與解答,避免出現(xiàn)答案不全面的問題.

例2設將某圓柱的側面展開,可得寬為2cm、長為4cm的矩形,求該圓柱體積.

解析

本題中含有隱藏條件,即用該矩形可圍成2種體積不等的圓柱.一種是將長作為圓柱高,另一種是將寬作為圓柱高.

3 根據概念進行分類

部分題目沒有明顯的分類信息,而是將分類信息隱藏于題目當中,考查考生對概念的掌握程度.如學生在遇到帶有絕對值的問題時,即使題目沒有要求進行分類,仍需對題目進行分類.

例3求函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|－2值域.

解析

函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|－2與x軸的交點分別為x＝－1以及x＝2.因此x＝－1、x＝2即為分類討論的界點.將定義域R分為3類:x＜1,－1≤x≤2,x＞2.

當x＜1時,得函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|－2＝－2x－1.

當－1≤x≤2時,得函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|－2＝1.

當x＞2時,得函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|－2＝2x－3.

在同一坐標系中,繪制各段函數(shù)圖象,便能夠求出函數(shù)值域為[1,＋∞).

4 按照數(shù)學定理、公式以及性質進行分類

高中數(shù)學中部分問題與所學定理、公式以及性質有密切聯(lián)系.若題目條件發(fā)生變化,則所得結果也會相應產生變化.因此在解決該類問題時,便應將定理、公式以及性質作為分類依據.

再如對數(shù)函數(shù)問題的解決往往也需要分類討論.通常情況下,對數(shù)函數(shù)y＝logax都是按照單調性進行分類討論.

其單調性變化有2種情況:0＜a＜1和a＞1.

例4解不等式log＞－1.x

解析

若0＜x＜1,有＜;若x＞1,有＞.解得0＜x＜1或x＞3.

分類討論思想是學生在解答問題中較為常用的思想,能夠提高學生分析問題、解決問題的能力.教師在進行專題復習時,應加強鍛煉學生分類討論能力.

(作者單位:江蘇省如皋市第二中學)