斜齒圓柱齒輪有限元分析

何昕，曹雪梅，葛玉萍

（1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽471003；2.黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南開封475004）

斜齒圓柱齒輪有限元分析

何昕1，曹雪梅1，葛玉萍2

（1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽471003；2.黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南開封475004）

齒輪的承載能力主要受接觸強(qiáng)度和彎曲強(qiáng)度的限制，其中以彎曲應(yīng)力尤為突出。以齒條形刀具加工的齒輪為例，探討了斜齒輪齒面方程的建立。采用FORTRAN語言編制程序建立斜齒圓柱齒輪三維有限元模型，應(yīng)用ANSYS軟件對(duì)齒輪進(jìn)行參數(shù)化建模，并分析齒輪所受應(yīng)力狀況。其結(jié)果與理論計(jì)算公式得到的結(jié)果基本一致。

斜齒圓柱齒輪；映射網(wǎng)格；有限元分析；參數(shù)化建模；應(yīng)力分析

0 引言

齒輪傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)中應(yīng)用最廣泛的一種形式。根據(jù)兩軸的相對(duì)位置和輪齒方向，齒輪傳動(dòng)可分為直齒圓柱齒輪傳動(dòng)、斜齒圓柱齒輪傳動(dòng)、人字齒輪傳動(dòng)、錐齒輪傳動(dòng)、交錯(cuò)軸斜齒輪傳動(dòng)。其中，斜齒圓柱齒輪由于具有更高的承載能力和良好性能，在工業(yè)領(lǐng)域中的應(yīng)用愈加廣泛。

齒輪的承載能力受接觸強(qiáng)度和彎曲強(qiáng)度的約束。斜齒輪有限元網(wǎng)格模型的生成與分析齒輪力學(xué)特性的精確性有直接關(guān)系。而建模的關(guān)鍵在于確定斜齒輪端面齒廓各段的曲線方程。斜齒圓柱齒輪齒廓曲面是漸開線螺旋面，相當(dāng)于無數(shù)條漸開線沿著一條螺旋線排列形成的曲面。輪齒漸開線部分的齒廓由齒條的直線部分切出，齒根部分則由齒條的齒頂圓角部分切出。若利用精確的參數(shù)化建模，只要修改幾個(gè)基本參數(shù)，就可生成不同的齒輪模型，從而提高建模的效率和精度。

筆者通過FORTRAN軟件編程建立斜齒圓柱齒輪的高精度三維有限元網(wǎng)格，利用ANSYS有限元分析軟件分析輪齒的受力情況，并對(duì)齒輪進(jìn)行參數(shù)化建模，分析齒輪的應(yīng)力分布狀況，模擬確定齒輪的承載能力，以期為齒輪的加工及使用提供更加準(zhǔn)確的依據(jù)。

1 斜齒輪齒面方程建立

本文以齒條形刀具加工的齒輪為例，探討斜齒輪齒面方程。齒條形刀具加工齒輪就是通過刀具加工節(jié)線和齒輪加工節(jié)圓相切做純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)來加工齒輪。對(duì)于此類齒輪，通過漸開線和齒根過渡曲線方程的建立，就可以得到斜齒輪的齒面［1］。

1.1 漸開線齒線方程的確立

如圖1所示，漸開線齒廓上任一點(diǎn)（X，Y）到其中心的距離RS的計(jì)算式如式（1）所示。

根據(jù)齒廓上一點(diǎn)的徑距，再設(shè)定偏轉(zhuǎn)角度φ，可確定同一徑距下任意點(diǎn)的坐標(biāo)（Xi，Yi），如式（2）所示。

圖1 斜齒輪漸開線節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)圖Fig.1 Coordinate System s App lied For Involute Node

1.2 齒根過渡曲線方程的確立

齒輪的工作壽命受到齒根最大彎曲應(yīng)力的影響。減小齒根彎曲應(yīng)力，可以延長齒輪工作壽命。在齒輪的齒根過渡曲線處，齒輪的形體會(huì)產(chǎn)生突變，易發(fā)生應(yīng)力集中，使齒輪壽命減少。刀頂曲線的形狀也會(huì)影響齒根的彎曲應(yīng)力。因此，本文采用齒條形刀具加工齒輪，如圖2所示。

圖2 齒條形刀具示意圖Fig.2 Sketch of Tooth Bar Cutter

齒根過渡曲線通過齒條刀具的刀頂部分加工出來，刀具圓角部切出的齒輪過渡曲線如圖3所示。在圖3中，Ⅰ、Ⅱ兩段為延伸漸開線的等距曲線，Ⅲ段為齒輪的根圓圓弧。

圖3 齒輪輪廓示意圖Fig.3 Sketch of Gear Contour

根據(jù)圖2和圖3建立齒根過渡曲線坐標(biāo)系，確定出齒根過渡曲線坐標(biāo)系，如圖4所示。在圖4中，p是節(jié)點(diǎn)，nn→是刀具圓角和過渡曲線接觸點(diǎn)之間的公法線，α是nn→與刀具加工節(jié)線之間的夾角。

圖4 齒輪齒根過渡曲線坐標(biāo)系Fig.4 Dedendum Transition Curve Coordinate System

2 齒輪模型建立

2.1 單個(gè)齒的網(wǎng)格劃分

利用FORTRAN語言對(duì)單個(gè)齒進(jìn)行網(wǎng)格劃分。由漸開線方程計(jì)算漸開線齒廓部分沿齒厚方向的節(jié)點(diǎn)。由齒根過渡部分的方程生成齒根部分節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。根據(jù)輪齒旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，沿圓周方向上生成整個(gè)圓周端面輪齒節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。與漸開線節(jié)點(diǎn)生成相似，生成與一個(gè)齒相對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，再沿圓周方向生成所有齒基節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)［3］。

春捂秋凍是指秋季衣服不要穿太多，被子不要蓋太厚，讓寶寶對(duì)涼爽環(huán)境去逐漸適應(yīng)。由于氣溫變化較大，外出時(shí)備一件薄外套和一頂小帽，減少寶寶受涼?；丶液螅瑒e急著脫外套，很快給寶寶脫去外套容易受涼感冒。

2.2 單元的生成

實(shí)體模型是無法直接用來進(jìn)行有限元計(jì)算的。要進(jìn)行有限元分析，需要對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格化分，生成有限元模型。對(duì)實(shí)體模型進(jìn)行網(wǎng)格化分就是用一個(gè)個(gè)單元將實(shí)體模型劃分成為眾多的子區(qū)域即單元。單元和節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，通過節(jié)點(diǎn)來生成單元。為了能精確反映齒廓形狀，兼顧計(jì)算時(shí)間和精度，采用六面體八節(jié)點(diǎn)單元格，如圖5所示。

圖5 實(shí)體單元SOLID45Fig.5 Sold 45

按圖5所示的每個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào)順序?qū)X面及輪齒內(nèi)劃分的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，并建立單元。圖6和圖7分別為三齒和整個(gè)斜齒輪的三維有限元模型［4～7］。

圖6 斜齒輪三個(gè)齒有限元模型Fig.6 Finite E lement M odel of Three Teeth

圖7 斜齒輪有限元模型Fig.7 Finite Element M odel of Gears

3 應(yīng)力分析

3.1 約束條件

由于真正參與嚙合的輪齒很少，可以將沒用的省略掉，采用邊界條件代替，來限制約束［1］。為了提高計(jì)算速度，節(jié)省計(jì)算時(shí)間，本文決定選擇3個(gè)齒進(jìn)行受力分析。

將圖6所示的齒基兩側(cè)面和其對(duì)稱面、齒輪底面上的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都限制6個(gè)自由度。齒輪材料的特性為：彈性模量為0.21GP，泊松比為0.3。選用solid45實(shí)體單元。

3.2 載荷施加

在輪齒受載時(shí)，齒輪的齒根受到的彎矩最大。通過對(duì)齒輪受到的彎矩分析可知，齒輪齒根受到的最大彎矩產(chǎn)生在一對(duì)嚙合的齒輪的結(jié)合點(diǎn)，位于單對(duì)齒嚙合區(qū)最高點(diǎn)時(shí)?；诖?，齒輪齒根的彎曲應(yīng)力按照載荷作用于單對(duì)齒嚙合區(qū)最高點(diǎn)來計(jì)算。但是，這種算法相對(duì)比較復(fù)雜，一般應(yīng)用于高精度的齒輪傳動(dòng)。為了便于計(jì)算和施加載荷，將全部載荷施加在齒頂，作用方向沿著齒頂圓壓力角的方向［8］。這時(shí)，法向力Fn和周向力Ft的幾何關(guān)系如式（3）所示。

式中：αa為齒頂法向壓力角。加載簡圖如圖8所示。

圖8 加載簡圖Fig.8 Loading diagram

3.3 結(jié)果分析

輸入周向力Ft＝1 340 N，對(duì)加載模型按照第四強(qiáng)度理論在ANSYS中求解，得到載荷等效應(yīng)力如圖9所示。

由圖9可以看出：齒輪有彎曲變形，加載荷的齒頂以及齒根處的彎曲應(yīng)力較大，最大值為27.466 MPa。，與按照齒寬中點(diǎn)當(dāng)量直齒圓柱齒輪計(jì)算公式得到的結(jié)果基本一致。

4 結(jié)語

圖9 載荷等效應(yīng)力圖Fig.9 Von M ises Picture of the Load

（1）精確的輪齒有限元模型不僅需要高精度節(jié)點(diǎn)，還需要?jiǎng)澐指哔|(zhì)量網(wǎng)格單元。本文提出的三維有限元映射網(wǎng)格自動(dòng)生成方法可以精確計(jì)算齒面點(diǎn)坐標(biāo)；在旋轉(zhuǎn)投影平面劃分網(wǎng)格，映射到齒面上構(gòu)建六面體八節(jié)點(diǎn)單元。

（2）齒輪有限元網(wǎng)格模型的生成與齒輪的力學(xué)特性有直接關(guān)系，建立的網(wǎng)格模型能更真實(shí)地反映齒輪的幾何形態(tài)特征。因此，可以通過對(duì)網(wǎng)格模型的研究來模擬分析齒輪受載時(shí)的應(yīng)力狀況。

［1］楊汾愛，張志強(qiáng)，龍小樂，等.基于精確模型的斜齒輪接觸應(yīng)力有限元分析［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2003，22（2）：206－208.

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[責(zé)任編輯 胡修池]

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10.13681/j.cnki.cn41-1282/tv.2016.04.013

2016-04-20

何昕（1989－），男，河南開封人，碩士研究生，主要從事機(jī)械設(shè)計(jì)方面的學(xué)習(xí)與研究工作。