希爾伯特空間的序列弱完備性

代 兵，艷 艷 ，包玉娥

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043)

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希爾伯特空間的序列弱完備性

代 兵，艷 艷 ，包玉娥

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼 028043)

在內(nèi)積空間中引進(jìn)一種弱收斂性概念,并研究希爾伯特(Hilbert)空間的序列弱完備性問題.首先,在內(nèi)積空間中引進(jìn)了一種序列的弱收斂性——弱內(nèi)積收斂性概念,并討論了弱內(nèi)積收斂序列的有關(guān)性質(zhì),證明了序列弱內(nèi)積收斂點(diǎn)的唯一性、弱內(nèi)積收斂序列的有界性等;其次,在內(nèi)積空間中引進(jìn)了弱基本序列及序列弱完備性的概念,并證明了Hilbert空間是序列弱完備空間.

內(nèi)積空間；Hilbert空間；弱內(nèi)積收斂；弱基本序列；序列弱完備性

在線性空間(向量空間)中,為了討論向量的角度和長度引進(jìn)了一種結(jié)構(gòu)—內(nèi)積的概念.具有內(nèi)積結(jié)構(gòu)的線性空間叫作內(nèi)積空間,完備的內(nèi)積空間叫作希爾伯特空間或稱Hilbert空間.

Hilbert空間是歐幾里得空間的一種自然推廣,是泛函分析的重要研究對象. Hilbert空間在分析數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域中有著深厚的理論基礎(chǔ),也是描述量子物理的基本工具.它已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)和物理的各個分支,如積分方程、微分方程、函數(shù)論、調(diào)和分析、數(shù)學(xué)物理以及量子物理學(xué)等等.因此,有關(guān)Hilbert空間理論的研究不僅有著深刻的理論意義,而且有著廣泛的應(yīng)用價值.

在Hilbert空間的一些理論及應(yīng)用中,序列的收斂性概念起著非常關(guān)鍵的作用[1-6].本文在內(nèi)積空間中給出一種弱收斂性—弱內(nèi)積收斂性概念,并研究Hilbert空間的序列弱完備性問題.

1 預(yù)備知識

本節(jié)首先介紹內(nèi)積空間和Hilbert空間的基本概念及有關(guān)性質(zhì),內(nèi)容均來自于文獻(xiàn)[7-10].

定義1設(shè)X是數(shù)域K上的線性空間，若定義在X×X上的二元函數(shù)〈·,·〉,滿足條件：

(ii)〈αx,y〉=α〈x,y〉,?x,y∈X,α∈K；

(iii) 〈x+y,z〉=〈x,z〉+〈y,z〉,?x,y,z∈X；

(iv) 〈x,y〉≥0,?x∈X，且〈x,x〉=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0，

則稱〈x,y〉為x與y的內(nèi)積，(X,〈·,·〉)稱為內(nèi)積空間.

‖xn-xm‖<ε

設(shè)‖·‖為由內(nèi)積〈·,·〉導(dǎo)出的范數(shù),則對任何x,y∈X,有Schwarz不等式：

當(dāng)且僅當(dāng)向量x與y線性相關(guān)時等號成立.

定理1(Riesz表示定理) 設(shè)X是Hilbert空間,f是X上的連續(xù)線性泛函,則存在唯一的y∈X,使得：

f(x)=〈x,y〉,x∈X

定義3設(shè)(X,〈·,·〉)為內(nèi)積空間,E?X.且滿足條件：

(i) 〈x,y〉=0,?x,y∈E且x≠y；

則稱E為X中的標(biāo)準(zhǔn)正交集.

且cn=〈x,en〉,n=1,2,….

2 內(nèi)積空間的弱收斂性

本節(jié)在內(nèi)積空間中,引進(jìn)一種序列的弱收斂性——弱內(nèi)積收斂性概念,并討論其相關(guān)的性質(zhì).

定義4設(shè)xn(n=1,2,…)為內(nèi)積空間(X,〈·,·〉)中的序列,如果對任何x∈X,存在x0∈X,使得〈x,xn〉在數(shù)域K中收斂于〈x,x0〉,即：

證明設(shè):

則由定義4,對任何x∈X,有:

‖xn‖

從而存在N>0,當(dāng)n>N時,有:

所以當(dāng)取x=xn-x0時,有:

從而易推出:

‖xn‖-‖x0‖<1

即當(dāng)n>N時,有‖xn‖<‖x0‖+1.取:

則有:

證明設(shè):

則由定義4,對任何x∈X有:

于是由數(shù)列極限的迫斂性,對任何x∈X,有:

證明(i)設(shè):

則由定義4,對任何x∈X,有:

所以由定義1的條件(iii)和定義4,有:

從而由定義4,有：

所以由定義1的條件(i)和(iii)和定義4,對λ∈K,有：

從而由定義4,有：

證明對任何x∈X,由定義1的條件(iii)和Schwarz不等式,有：

‖x‖‖xn-x0‖

3 Hilbert空間的序列弱完備性

本節(jié)在內(nèi)積空間中,引進(jìn)弱基本序列及序列弱完備性概念,并討論Hilbert空間的序列弱完備性問題.

如果(X,〈·,·〉)中的弱基本序列都弱內(nèi)積收斂于X中的點(diǎn),則稱X為序列弱完備空間.

引理1設(shè)X為Hilbert空間,E?X.如果對任何y∈X,都存在只與y有關(guān)的常數(shù)a(y),使得對任何x∈E,都有：

則E為有界集.

證明假設(shè)E無界,則取x1∈E,使得‖x1‖>1,令：

取x2∈E,使得：

‖x2‖>22(a(un)2)>22‖x1‖>4

令：

這樣做下去(進(jìn)行n-1次)就可以得到X中的標(biāo)準(zhǔn)正交集：

則由：

有：

從而‖xn‖>n2.

于是由u1,u2,…,un-1的標(biāo)準(zhǔn)正交性,有:

所以:

從而當(dāng)n≥2時,有:

(1)

(2)

所以有:

(3)

于是由式(2)和(3)及已知條件,有:

又因為:

從而:

所以:

(4)

令n→+則由式(4),有a(z)=+.這與已知條件a(z)為常數(shù)相矛盾,即E有界.

定理5設(shè)X為Hilbert空間,則X為序列弱完備空間.

則對任何x,y∈X及α,β∈K,由定義1的條件(2)和(3),有:

即f為X上的線性泛函.

又由Schwarz不等式,有:

‖x‖‖xn‖≤β‖x‖

(5)

令n→,則由式(5),有‖x‖,x∈X.從而f成為X上的連續(xù)線性泛函.

于是由定理1,存在唯一的x0∈X,使得f(x0)=〈x,x0〉.

所以對任何x∈X,有:

4 結(jié)論

序列的收斂性概念,在Hilbert空間的一些理論及應(yīng)用中起著非常關(guān)鍵的作用.本文主要研究了 Hilbert 空間的序列弱完備性問題.首先在內(nèi)積空間中給出了一種弱收斂—弱內(nèi)積收斂性概念及其相關(guān)性質(zhì),并證明了內(nèi)積空間中的收斂序列一定弱內(nèi)積收斂.其次,討論了 Hilbert 空間的序列弱完備性問題,并證明了Hilbert 空間是序列弱完備空間.這些結(jié)果對在 Hilbert空間中，建立壓縮映像族的弱收斂定理和向量均衡問題的弱收斂定理等相關(guān)弱收斂性理論打下了良好的理論基礎(chǔ).

[1] 陳汝棟,張輝文,王潔,等.希爾伯特空間中分裂等式不動點(diǎn)問題的強(qiáng)收斂性[J].西南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,37(12):80-84.

[2] 肖建中,嚴(yán)潔,朱杏華.Hilbert空間中非擴(kuò)張余弦族的顯式、隱式和黏性迭代[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,2014,34(6):1518-1531.

[3] 張基益.Hilbert空間中漸近非擴(kuò)張型半群殆軌道的強(qiáng)遍歷收斂定理[J].西南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,35(12):83-87.

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[6] 王波,胡長松.Hilbert空間中變分不等式與最小范數(shù)不動點(diǎn)問題的Noor三步算法收斂性研究[J].湖北師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2014,34(4):68-73.

[7] 粟塔山.講授 Riesz表示定理的兩點(diǎn)注記[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2012,28(4):133-135.

[8] 穆蕊萍.里斯表示定理的形成過程[D].西安：西北大學(xué),2014:17-21.

[9] 劉培德.泛函分析基礎(chǔ)[M].北京:科技出版社,2006:32-136.

[10] 黎永錦.泛函分析講義[M].北京:科技出版社,2011:162-170.

責(zé)任編輯：高 山

Weakly Sequential Completeness of Hilbert Spaces

DAI Bing,YAN Yan,BAO Yu′e

(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028043，China)

In this paper,we introduce a concept of the weak convergence in the inner product space, and research the problem about the weak sequential completeness of Hilbert space.Firstly,we introduce a concept of weak convergence of a sequence in the inner product space,which is called the weak convergence in inner product space.And we discuss the property of weak convergent sequence in inner product space.The properties like the uniqueness of the weakly sequental convergent point in inner product space and the boudedness of weak convergent inner product sequence are proved. Secondly,we introduce the concepts of basic weak sequence and weakly sequential completeness,and prove that the Hilbert space is a space whose sequence is weakly complete.

inner product space; Hilbert space;weak inner product convergence;weak basic sequence;weak sequential completeness

2016-06-12.

內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金項目(2010MS0119).

代兵(1991- )，女，碩士，主要從事泛函分析與模糊分析的研究；*

包玉娥(1962- )，女(蒙古族)，博士，教授，主要從事泛函分析與模糊分析的研究.

1008-8423(2016)04-0380-06

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.12.005

O177.91

A