關(guān)于亞交換群的對(duì)合交換圖

譚延慶，沈如林

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

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關(guān)于亞交換群的對(duì)合交換圖

譚延慶，沈如林

(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院，湖北 恩施 445000)

對(duì)合交換圖是以群中2階元共軛類為頂點(diǎn)，兩頂點(diǎn)有邊當(dāng)且僅當(dāng)它們交換的圖.討論了亞交換群的對(duì)合交換圖結(jié)構(gòu).

對(duì)合交換圖；群擴(kuò)張；亞交換群

1 引言及結(jié)果

設(shè)G是有限群，且X為G的一個(gè)二階共軛類，X在G中的對(duì)合交換圖ΓG(X)是指以X中元為頂點(diǎn)，互異點(diǎn)x,y∈X有一條邊當(dāng)且僅當(dāng)xy=yx.稱圖ΓG(X)為正則圖，如果ΓG(X)中每個(gè)頂點(diǎn)所連的邊數(shù)都相同.如果正則圖中每個(gè)頂點(diǎn)相連的邊數(shù)為k，則稱為k-正則圖.特別，0-正則圖稱孤立點(diǎn)圖.文獻(xiàn)[1-6]中分別研究了G為散在單群、有限Coxeter群、對(duì)稱群及特殊線性群時(shí)對(duì)合交換圖ΓG(X)的結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[7]討論了亞循環(huán)2-群對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu).本文討論了亞交換群對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu).所謂亞交換群即交換群被交換群的擴(kuò)張.設(shè)A,B都是交換群，映射φ：B→Aut(A)為群同態(tài)，函數(shù)f:B×B→A，滿足：

這里?α,β,γ∈B，規(guī)定G為集合(B,A)，并且在G中定義乘法：

(α,a)(β,b)=(α+β,f(α,β)+aφ(β)+b)，?(α,a),(β,b)∈G.

則G是交換群A被交換群B的擴(kuò)張[8]，記G=Ext(A,B;f,φ).本文中證明了：

定理1設(shè)A,B均是交換群，G=Ext(A,B;f,φ)，并設(shè)(α,a)為G中任意二階元，取A的子群H={-b+bφ(α)|b∈A}，則(α,a)的共軛類在G中的對(duì)合交換圖是(r-1)-正則的，r為所有陪集H+f(β,α)-f(α,β)+a-aφ(β)中二階元的個(gè)數(shù)之和，β取遍B中所有元.

2 定理1的證明

任意取(β,b)∈G，結(jié)合上面的(1)式，有：(α,a)(β,b)=(α,f(α,β)-f(β,α)+aφ(β)-bφ(α)+b)，則二階元(α,a)的共軛類可表示為(α,a)G={(α,f(α,β)-f(β,α)+aφ(β)-bφ(α)+b)|β∈B,b∈A}.

另外，若(β,b)∈CG(α,a)，則：(α,a)(β,b)=(α,f(α,β)-f(β,α)+aφ(β)-bφ(α)+b)=(α,a)，即(α,a)的中心化子CG(α,a)={(γ,c)|γ∈B,c∈A,且f(α,γ)-f(γ,α)+aφ(γ)-cφ(α)+c=a}.

考慮二階元(α,a)的中心化子與其共軛類的交.由上述計(jì)算得到：

(α,a)G∩CG(α,a)={(α,c)|b,c∈A,β∈B,c=f(α,β)-f(β,α)+aφ(β)-bφ(α)+b，且(a-c)φ(α)=a-c}.

令集合H={-b+bφ(α)|b∈A}，H是A的子群.(α,a)為G中取定二階元，交(α,a)G∩CG(α,a)中的元等價(jià)于陪集H+f(β,α)-f(α,β)+a-aφ(β)中的二階元，即(α,c)∈(α,a)G∩CG(α,a)?2(a-f(α,β)+f(β,α)-aφ(β)+bφ(α)-b)=0.這是因?yàn)橛汕懊娴氖?1)可得：

?α,β∈B.聯(lián)立式(4)～(6)可得：

(f(α,β)-f(β,α))φ(α)=f(β,α)-f(α,β)+f(α,α)φ(β)-f(α,α)

(7)

因?yàn)閏=f(α,β)-f(β,α)+aφ(β)-bφ(α)+b，陪集H+f(β,α)-f(α,β)+a-aφ(β)中二階元滿足2(a-f(α,β)+f(β,α)-aφ(β)+bφ(α)-b)=0，即2(a-c)=0，也即a-c=c-a?(a-c)φ(α)=(a-f(α,β)+f(β,α)-aφ(β)+bφ(α)-b)φ(α)=(f(β,α)-f(α,β))φ(α)+aφ(α)-aφ(α+β)-bφ(α)+b=(f(β,α)-f(α,β))φ(α)-f(α,α)-a+f(α,α)φ(β)+aφ(β)-bφ(α)+b((α,a)二階元)=f(α,β)-f(β,α)-a+aφ(β)-bφ(α)+b(代入式(7))=c-a=a-c.定理1得證.

3 特殊的亞交換群

由定理1，要求交換群對(duì)交換群擴(kuò)張的對(duì)合交換圖，還需要解決交換群的自同構(gòu)群?jiǎn)栴}.文獻(xiàn)[9-10]給出了求有限交換p群的自同構(gòu)群的方法.具體內(nèi)容如下：

進(jìn)一步，文獻(xiàn)[10]也給出了一般有限p群的自同構(gòu)群.設(shè)有限交換p群A的型為：

其中m1>m2>…>mt≥1,Si>0.又設(shè)矩陣：

例1若取A=Z8×Z2，B=Z2×Z2，G=Ext(A,B;f,φ)，則G中對(duì)合交換圖為1-正則、2-正則和孤立點(diǎn)圖.

故A有11個(gè)二階子群,且其與群Z2×Z2同構(gòu)的子群有：

為便于討論，以下用表格來(lái)展示陪集H+f(β,α)-f(α,β)+a-aφ(β)中二階元的情況及對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu)，這里H={-b+bφ(α)|b∈A}.α固定，不妨設(shè)f(β,α)-f(α,β)=δ(x,y).由于f:B×B→A，因此可令δ(x,y)=(x,y)∈A.對(duì)于每個(gè)二階元(α,a)，φ(β)取遍所有φ(B)的值.

表1 φ(B)取時(shí)G中對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu)Tab.1 The structure of the commuting involution graph of

續(xù)表1：

φ(α)Ha-aφ(β)f(α,α)δ(x,y)G中對(duì)合交換圖結(jié)構(gòu)5001()(0,0)(4,0)同上(2a0,0)(6x,0)=(-6a0,0)+(6a0,0)φ(β)?(6x,0)=(0,0)或(4a0,0)(0,0),(0,1),(4,0),(4,1),或6x≡4a0(mod8).同上3001()(0,0)(2,0)(4,0)(6,0)同上(4a0,0)(4x,0)=(-4a0,0)+(4a0,0)φ(β)?(4x,0)=(0,0)(0,0),(0,1),(2,0),(2,1),(4,0),(4,1),(6,0),(6,1)同上7001()(0,0)(2,0)(4,0)(6,0)同上(0,0)(0,0)=(0,0)恒成立.(x,y),x=0,1,…,7,y=0,1.同上

表2 φ(B)取時(shí)G中對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu)Tab.2 The structure of the commuting involution graph of

表4 φ(B)取時(shí)G中對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu)Tab.4 The structure of the commuting involution graph of

表5 φ(B)取時(shí)G中對(duì)合交換圖的結(jié)構(gòu)Tab.5 The structure of the commuting involution graph of

同理，當(dāng)φ(B)取二階群時(shí)，陪集H+f(β,α)-f(α,β)+a-aφ(β)可以取到(0,1),(4,0),(4,1)三個(gè)中的一個(gè)、兩個(gè)、或三個(gè).

綜上所述，G中對(duì)合交換圖為1-正則、2-正則和孤立點(diǎn)圖.證畢.

問(wèn)題亞交換群對(duì)合交換圖中每個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)的邊數(shù)是否有上界？

[1]BATES，BUNDYC，PERKINSD,etal.CommutinginvolutiongraphsforfiniteCoxetergroups[J].JournalofGroupTheory,2014,6(4):461-476.

[2]GHOLAMINEZHADF.StructuresandTopologicalIndicesofCommuttingInvolutionGraphs[J].ElectronicNotesinDiscreteMathematics,2014,45(45):187-194.

[3]BATESC,BUNDYD,HARTS,etal.Commutinginvolutiongraphsforsporadicsimplegroups[J].JAlgebra,2007,316(2):849-868.

[4]BATESC,BUNDYD,PERKINSS,etal.CommutinginvolutiongraphsforfiniteCoxetergroups[J].JGroupTheory,2003,6(4):461-476.

[5]BATESC,BUNDYD,PERKINSS.etal.Commutinginvolutiongraphsforsymmetricgroups[J].JAlgebra,2003,266(1):133-153.

[6]BATESC,BUNDYD,PERKINSS.etal.Commutinginvolutiongraphsinspeciallineargroups[J].CommAlgebra,2004,32(11):4179-4196.

[7] 譚延慶,沈如林.關(guān)于亞循環(huán)2-群的對(duì)合交換圖[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,34(1):20-23.

[8] 徐明曜.有限群導(dǎo)引(上)[M].北京：科學(xué)出版社，1999.

[9] 俞曙霞.有限交換p群的自同構(gòu)群[J].廣西大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1983(2):90-95.

[10] 華羅庚. 典型群[M].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1963.

責(zé)任編輯：時(shí) 凌

On Commuting Involution Graphs of Metabelian Groups

TAN Yanqing，SHEN Rulin

(School of Science,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)

For a group G and a conjugacy classXof an involution ofG,the commuting graphΓG(X) of G onX,is the graph whose vertex set isXand distinct verticesxandyhaving an edge if and only ifxy=yx. In this paper, we discuss the structure of the commuting involution graph of metabelian groups.

commuting involution graph;group extension;metabelian group

2016-11-02.

國(guó)家自然科學(xué)基金地區(qū)項(xiàng)目(11201133).

沈如林(1977- )，男，博士，副教授，主要從事有限群及代數(shù)編碼的研究.

1008-8423(2016)04-0371-05

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.12.003

O152

A

作者簡(jiǎn)介：譚延慶(1990- )，男(土家族)，碩士生，主要從事群論的研究；*