一般奇異函數(shù)及其構(gòu)造形式

陳文略

(黃岡師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 黃州 438000)

一般奇異函數(shù)及其構(gòu)造形式

陳文略

(黃岡師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，湖北 黃州 438000)

本文在奇異函數(shù)的基礎(chǔ)上給出一般奇異函數(shù)的定義，并且給出它的一類函數(shù)的構(gòu)造形式和基本構(gòu)造方法.

Cantor函數(shù)；奇異函數(shù)；勒貝格積分

在實(shí)變函數(shù)中,對(duì)于奇異函數(shù)的定義[1],條件要求是苛刻的，即要求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上:一是必須單調(diào)遞增且連續(xù)(當(dāng)然這里還要求f(x)不是常值函數(shù))，二是導(dǎo)數(shù)幾乎處處存在且為零，從而得到勒貝格積分∫[a,b]f′(x)dx≠f(b)-f(a)的結(jié)論(說明了牛頓-萊布尼茲定理中的結(jié)論在此條件下是不成立的，這里∫[a,b]f′(x)=0). 作為說明定理的舉例，一般書籍中也僅局限于列舉Cantor函數(shù)來舉例說明即止[2]. 本文在此基礎(chǔ)上，認(rèn)為相應(yīng)的條件可以放寬(即本文所述的一般奇異函數(shù)中的條件要求)，從而得到函數(shù)的更一般形式和所呈現(xiàn)出的變化多姿的構(gòu)造方法和構(gòu)造函數(shù).

本文中的一般奇異函數(shù)有著奇異函數(shù)不可比擬的性質(zhì)：一方面它包含了奇異函數(shù)，另一方面它的構(gòu)造更具絢麗多彩的變化(本文具體介紹一類一般奇異函數(shù)的構(gòu)造)，同時(shí)它也具有更好的性質(zhì)特征和應(yīng)用前景.

1 相關(guān)概念

定義1 設(shè)點(diǎn)集E?R1，函數(shù)f(x)在E上有定義，x0∈E，若存在δ>0，使得對(duì)于?x1,x2∈E∩U(x0,δ)，當(dāng)x1≤x2時(shí)，有f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2))，則稱f(x)在x0處相對(duì)于點(diǎn)集E是局部單調(diào)上升(或局部單調(diào)下降).

f(x)在x0處相對(duì)于點(diǎn)集E是局部單調(diào)上升或局部單調(diào)下降的，統(tǒng)稱f(x)在x0處(相對(duì)于點(diǎn)集E)是局部單調(diào)；如果函數(shù)f(x)在E上每一點(diǎn)處都是局部單調(diào)的，則稱函數(shù)f(x)在E上局部單調(diào).

注意：函數(shù)f(x)在E上單調(diào)，則f(x)在E上必定局部單調(diào)；反之，函數(shù)f(x)在E上局部單調(diào)時(shí)，并不一定在E上單調(diào).

例1 設(shè)函數(shù)為

(1)

則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上是局部單調(diào)的，但函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上顯然不是單調(diào)的.

定義3 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)f′(x)在[a,b]上幾乎處處存在，且f(a)≠f(b)，若勒貝格積分

(2)

則稱f(x)為[a,b]上的一般奇異函數(shù).

這里，當(dāng)f(x)在[a,b]上單調(diào)，且其導(dǎo)數(shù)f′(x)在[a,b]上幾乎處處為零時(shí)，則f(x)即為[a,b]上的奇異函數(shù)[2]，從而奇異函數(shù)為一般奇異函數(shù)的特殊形式.

2 一類實(shí)例構(gòu)造方法及其構(gòu)造形式

對(duì)于奇異函數(shù)的實(shí)例，Cantor函數(shù)就是一個(gè)較好的例子，下面舉出既為一般奇異函數(shù),而又可以不是奇異函數(shù)的一類實(shí)例的構(gòu)造方法及其構(gòu)造形式.

(3)

那么顯然有∫Iif′(x)dx=0.

從而有∫Af′(x)dx=0，這里

(4)

或

f(x0)=inf{f(aki)|Iki

(5)

(6)

或

f(x0)=sup{f(aki)|Iki

(7)

(8)

這里ωki為f(x)在開區(qū)間Iki=(aki,bki)上的振幅；區(qū)間列{Iki}是區(qū)間列{Ik}的一個(gè)子列，那么函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).

4)取f(x)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的端點(diǎn)值滿足：f(a)≠f(b).

這時(shí)由上述構(gòu)造過程知，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且其導(dǎo)函數(shù)f′(x)在閉區(qū)間[a,b]上幾乎處處存在，且勒貝格積分

(9)

即

(10)

即f(x)為[a,b]上的一般奇異函數(shù).

注意：1)式(4)、(5)中，當(dāng)x0=ai(或x0=bi)為某個(gè)區(qū)間左(或右)端點(diǎn)時(shí)，這時(shí)只有式(4)(或式(5))成立；當(dāng)x0≠ai且x0≠bi即不為區(qū)間端點(diǎn)時(shí)，兩式任選一個(gè)即可. 對(duì)于式(6)、(7) 則是單調(diào)下降時(shí)的對(duì)應(yīng)形式.

(11)

或

(12)

對(duì)于式(6)、(7)同樣具有可替代的式子.

上述即為一般奇異函數(shù)的一類構(gòu)造形式及其構(gòu)造提供了一個(gè)具體的方法. 下面則是這一方法和構(gòu)造形式的一個(gè)具體的實(shí)例.

例3 在Cantor函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行一般奇異函數(shù)構(gòu)造的實(shí)例.設(shè)f(x)定義在閉區(qū)間[0,1]上，按Cantor集P的構(gòu)造方法，取開區(qū)間

(13)

相應(yīng)地

(14)

(15)

(16)

顯然這里對(duì)任意的開區(qū)間Ii，有∫Iif′(x)dx=0.

(17)

故f(x)在Cantor集P上的取值與文獻(xiàn)[1]中Cantor函數(shù)的取值是完全相同的，因此這里也就有f(1)=1,f(0)=0，f(x)在Cantor集P上是單調(diào)上升的. 那么f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且?guī)缀跆幪幙蓪?dǎo)，同時(shí)，導(dǎo)數(shù)f′(x)幾乎處處不為零(因而這是與Cantor函數(shù)的不同點(diǎn))，但有

(18)

對(duì)于一般奇異函數(shù)還可以在其它方面得到較好的應(yīng)用[3]，使相關(guān)結(jié)論更具一般性并能較好地運(yùn)用于實(shí)際.

[1] 劉寶碇，彭錦. 不確定理論教程[M]. 北京：清華大學(xué)出版社, 2005: 11-12.

[2] 程其襄，張奠宙，魏國強(qiáng)，等. 實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2013：141-147.

[3] Liu B. Uncertainty Theory: An Introduction to its Axiomatic Foundations[M]. Berlin: Springer-Verlag, 2004.

責(zé)任編輯 喻曉敏

The general singular function and its structural form

CHEN Wen-lue

(College of Mathematics and Physics, Huanggang Normal University, Huangzhou 438000, Hubei, China)

This article defines general singular function based on a singular function, and provides a structural form of its kind and basic structure methods.

Cantor function; singular function; Lebesgue integral

O174

A

1003-8078(2016)06-0016-03

2016-07-14 doi 10.3969/j.issn.1003-8078.2016.06.05

陳文略，男，湖北麻城人，教授，主要研究方向?yàn)楹瘮?shù)和拓?fù)鋵W(xué)教學(xué)．