整體思想在高中數(shù)學解題中的應用

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 胡 靜

整體思想在高中數(shù)學解題中的應用

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 胡 靜

整體思想作為一種重要的數(shù)學思想，可以簡化繁雜、抽象的數(shù)學問題，提高學生解決高中數(shù)學問題的能力，同時也可以使學生觸類旁通、舉一反三，使學生形成正確的解題思路.特別是隨著新課標對高中數(shù)學教學提出了更高要求，提升學生解題能力刻不容緩.本文以整體思想為研究對象，著重探討了其在高中數(shù)學解題中的具體運用，以期全面提升高中學生的數(shù)學解題能力.

一、樹立整體意識，培養(yǎng)發(fā)散思維

在傳統(tǒng)的高中數(shù)學解題訓練的過程中，大多數(shù)數(shù)學教師都會為學生講解多種形式的解題方法，尤其是教師會重點引導學生從局部到整體、從簡單到復雜來簡化數(shù)學解題過程，深化學生對于有關數(shù)學教學知識點的理解和認識，同時也有助于借助數(shù)學解題訓練的過程中來鞏固學生所掌握的解題技巧和能力.但是隨著新時期教學改革進程的推進，傳統(tǒng)的教學模式和解題思想已經無法滿足現(xiàn)代化高中數(shù)學教學的需求，所以改變傳統(tǒng)教學模式，引導學生逐步樹立整體意識等整體思想解題觀念，以為高中數(shù)學教學有效性的提升奠定扎實基礎.但是為了確保學生可以靈活地運用整體思想來解決有關的高中數(shù)學問題，教師必須要先引導學生樹立整體意識觀念，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維.比如，在講解高中函數(shù)圖像這部分數(shù)學知識的時候，教師需要先為學生講解函數(shù)概念，接著再引導學生對函數(shù)圖像的特征進行探索，以便使學生了解和掌握函數(shù)圖像的對稱性、周期性、奇偶性和單調性等基本函數(shù)特性.另外，在開展教學的過程中，教師也要加強整體思想等解題思想的培養(yǎng)，加快樹立整體意識，以便幫助學生更好地解決有關的數(shù)學問題.

例1 已知某長方體六個表面面積總和為24，十二條棱的總長為24，求該長方體對角線的長度.

分析：如果在求出該長方體的三條棱長之后再求對角線的長度，那么實際的效率比較低，并且學生很容易在繁雜的計算過程中出現(xiàn)計算誤差，不僅費時費力，實際的解題準確度也不理想.而此時如果學生可以在解題的過程中合理引入整體思想，那么就可以顯著簡化該問題的求解過程，下面就整體思想在該道例題中的具體應用進行分析.

解：假設該長方體的長、寬、高分別為a、b和c，那么由已知條件可得：2（ab+bc+ac）=24，4（a+b+c）=24，由此可求得：a+b+c=6，進而可得d2=a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+

圖1

例2 如圖1所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的邊長為a，M是邊長AD的中點，N是正方體邊長BD′上某點，且已知邊長BD和MC相交于P點，NB∶D′N= 2∶1.

（Ⅰ）證明：直線NP⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求平面CC′DD′和平面PNC二者的夾角？

解析：針對該道例題的第一問，為了證明直線NP⊥平面ABCD，教師可以嘗試引導學生證明直線NP⊥平面ABCD中的任意一條直線，可以為BD、CD和AB等，然后需要結合已知條件來逐步證明該結論，但是更為關鍵的是要引導學生可以從整體角度來入手，從繁雜的圖形中去探尋問題解決的關鍵，提升學生的解題質量和效率.如此一來，就可以借助整體思想的合理應用來簡化學生的解題步驟，提升學生的解題效果.

由此可知，通過在解題過程中合理運用整體思想，可以極大地提升學生的解題質量和效率，培養(yǎng)學生的整體思想和意識，使他們可以靈活地將整體思想合理應用于數(shù)學解題中來，從而充分發(fā)揮整體思想在提升學生解題能力和效率方面的積極作用.

二、豐富應用方式，提升解題效率

整體思想在數(shù)學解題中的應用，關鍵在于暫時忽略將復雜的局部，從整體角度來解決有關的數(shù)學問題，其可以極大地簡化解題流程，降低解題的難度，提高學生解題的準確率.但是整體思想的應用方式眾多，不單單局限于某一種單一的應用方式，所以在學生充分了解和掌握整體思想來解題的方法之后，為了進一步提升學生的解題效率，就必須要豐富整體思想的實際應用方式，具體包括代入、配對、變形和換元等方式，但是無論采用何種應用方式，必須要從整體角度來對待求解的數(shù)學題目進行仔細觀察和分析，同時需要確保計算過程中問題轉化的等價性，避免因不等價的轉化而影響實際的解題效果，下面結合具體的例題來詳細地探討整體思想的具體應用效果.

（1）整體思想在補全式子中的應用，其主要是將整體思想合理應用于數(shù)學問題的解題中，通過補充題干中尚未完整的式子來達到簡化待求解問題的目的.

例3 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.

分析：該道三角函數(shù)的題目看似只是簡單的函數(shù)值求解問題，如果單純地用配方或者萬能法來進行逐個分解、組合來求解，那么需要涉及大量計算，并且會增加計算的出錯率，此時如果可以借助整體思想的合理運用，那么就可以通過將該公式補充成三角函數(shù)計算的標準形式，從而達到簡化解題的目的，具體解題過程如下：

解：假設A=sin220°+cos250°+sin20°cos50°，

B=cos220°+sin250°+cos20°sin50°，那么可知：

（2）整體思想在參數(shù)代換中的應用，其主要是將整體思想合理應用于數(shù)學問題的解題中，通過替換題干中相應公式的某些參數(shù)來達到簡化待求解問題的目的.

分析：該道題目是一道典型的三角函數(shù)代換問題，其中涉及到x和y兩個參數(shù)，單純地采用配湊法那么會影響解題的效率，增加出錯的概率，此時如果可以合理運用替換法，那么就可以極大地提升該道例題的解題質量和效率.

解：假設μ=cosx+cosy，分別平方已知式和待求式，那么可得：然后將兩式進行相加可得

另外，針對上述問題，如果單純地依靠自身條件無法求解，可以嘗試采用整體代換的方法來進行問題的求解.

（3）整體思想在換元中的應用，其主要是將整體思想合理應用于數(shù)學問題的解題中，通過采用換元的方法來達到簡化待求解問題的目的.

例5 已知x，y∈R+，x2+y2=1，求x+y+xy的最大值.

分析：該道例題是一類求解函數(shù)值的問題，其中由于涉及到“平方”和“1”這些敏感的題干信息，所以此時教師可以引導學生來合理運用三角換元等方法來達到簡化解題的目的.

（4）整體思想在配方中的應用，其主要是將整體思想合理應用于數(shù)學問題的解題中，通過采用拼湊等配方方法來達到簡化待求解問題的目的.

分析：針對該種類型的數(shù)學問題，需要先轉換解題思想，找到解題突破口，然后需要采取整體的配方，采用放縮法來對有關的問題進行合理解決.

（5）整體思想在求導中的應用，其主要是將整體思想合理應用于數(shù)學問題的解題中，通過采用求導等方法來達到簡化待求解問題的目的.

分析：該道題目是一道典型的函數(shù)問題，并且涉及到恒成立的問題，此時如果單純地進行函數(shù)簡化運算，或者數(shù)形結合等方法來求解，計算量均比較大，但是此時如果教師可以引導學生運用整體思想，則可以幫助學生深入挖掘解題的重要信息，使學生快速找到突破口，以便達到解決問題的目的.

由此可知，該類問題涉及到參數(shù)和不等式恒成立問題，此時教師要告誡學生一定要做好相應的分類討論工作，并在此基礎上來羅列相應的解題不等式，在其中貫徹整體思想觀念來達到提高解題有效性的目的，增強學生學習知識的興趣，提升他們的學習效果和創(chuàng)新能力.

（6）整體思想在轉化中的應用，其主要是將整體思想合理應用于數(shù)學問題的解題中，通過采用轉化方法來達到簡化待求解問題的目的.

例8 求tan20°+tan25°+tan20°tan25°的值.

分析：該道題目也是一道典型的三角函數(shù)題，其中涉及到的角度都是不常見的角度，所以無法進行單個進行計算，必須要從整體上考慮這些角度之間的關系.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，其中20°和25°之和為45°，所以需要就如何將它們聯(lián)系起來來進行思考.而通過整體思想的貫徹，可知需要先轉化有關的讀數(shù)來求出相應的函數(shù)值.

解：已知tan45°=tan（20°+25°）=1，并且tan（20°+25°）由此可知：

tan20°+tan25°+tan20°tan25°=1.

針對上述類型的高中數(shù)學類型題，教師在平時要注重整體思想的貫徹，同時要做好相應的針對性訓練，以便可以更好地提升學生應用整體思想來解決有關數(shù)學問題的熟練度，提升學生的解題能力.

總之，高中數(shù)學知識涵蓋的內容多、范圍廣，并且其中有大批高難度的抽象型數(shù)學問題，此時如果學生缺乏科學的解題思路以及高超的解題技能，那么勢必會影響學生的解題效果.而整體思想在高中數(shù)學解題中的合理滲透，可以逐步幫助學生樹立科學的解題思路，優(yōu)化學生解題流程.但是為了充分發(fā)揮整體思想在提升學生解題能力的積極作用，教師必須要結合教學內容和學生學習情況下綜合確定，從而全面提升學生解題能力.