聯(lián)想，讓解題更自然
——一道三角形中三角問題的解題教學(xué)探究

☉江蘇省南通市天星湖中學(xué) 葛建華

聯(lián)想，讓解題更自然
——一道三角形中三角問題的解題教學(xué)探究

☉江蘇省南通市天星湖中學(xué) 葛建華

三角問題是高考數(shù)學(xué)中的必考問題，在填空題和解答題中都有體現(xiàn)，常常被認(rèn)為只需掌握三角公式和幾個定理即可，但實(shí)際上在解題時，如果角度選得不對，往往繞半天也解不出結(jié)果.最近筆者在整理高三必考問題時，發(fā)現(xiàn)一道三角形中的三角問題，與學(xué)生一起多角度探討并進(jìn)行了有效拓展研究，再現(xiàn)當(dāng)時的過程，與同行探討.

一、問題呈現(xiàn)

題目：在△ABC中，角A，B，C滿足lgtanA+lgtanC= 2lgtanB，則角B的取值范圍是__________.

二、師生探討

（一）閱讀問題，嘗試解題

讓學(xué)生仔細(xì)閱讀題目，并認(rèn)真分析，稍給一點(diǎn)時間做一些思考，嘗試獨(dú)自解決.由于題干比較簡短，學(xué)生似乎馬上就讀懂了，也匆匆就下手解題了.

師：此題中條件有何特點(diǎn)？怎么處理？有什么注意的？問題的解決需要先解決何問題？

生1：條件是含對數(shù)的等式，首先要去掉對數(shù)，真數(shù)均為正，在三角形中，可知三個內(nèi)角都是銳角，再找與角B有關(guān)的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

對學(xué)生給予肯定后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生馬上就能得到tanA· tanC=tan2B，但接下來似乎很難往下繼續(xù)了.

（二）深入問題，把握本質(zhì)

師：三角形中角可以由什么來刻畫即角具有什么本質(zhì)？求角B的范圍，應(yīng)先求什么？注意什么？

生2：三角形中的角是三角形本身決定的，本質(zhì)上某個角可由其他的角來刻畫或由邊來刻畫.常常是先求角B的某個函數(shù)（如tanB或sinB或cosB）的范圍，注意三角形的形狀和角的大致范圍，再結(jié)合條件求出角B的準(zhǔn)確范圍.

（三）多角度研究，尋求解答

師：根據(jù)三角形中角的本質(zhì)，可以從什么角度研究？對式子tanA·tanC=tan2B又如何處理？

生3：可以從角或邊的角度來考慮了.由于是正切的式子，所以可以從函數(shù)名角度分析應(yīng)該有兩個角度：切化弦和直接用正切解決.

1.切化弦角度

生4：可以將正切化為正余弦，再運(yùn)用積化和差公式，利用內(nèi)角和A+B+C=π將三個角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求sinB或cosB的范圍，再求出角B的準(zhǔn)確范圍.

解法一：由題可知，tanA·tanC=tan2B，切化弦得，整理得cos（A+C）=cos（A-C）cos2B，從而有-cosB=cos（A-C）（2cos2B-1），即由題易得

小結(jié)：將對數(shù)運(yùn)算等價轉(zhuǎn)化后，由正切聯(lián)想商數(shù)關(guān)系，采用“切化弦”的策略，利用余弦函數(shù)的有界性求范圍，角本身的范圍也是一個不容忽視的方面.

2.角化邊角度

師：三角形中角的正余弦除了利用三角公式解決外，還能借助三角形中其他元素來解決嗎？求cosB的范圍還可以利用什么來解決？

生5：可利用正余弦定理，將角轉(zhuǎn)化為邊來處理，借助于邊的關(guān)系求出cosB的范圍.

解法二：由題可知，tanA·tanC=tan2B，切化弦得利用正余弦定理可得化簡得從而因此可得角B的取值范圍是

師：試比較解法一和解法二，各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？

生6：在三角形中，實(shí)現(xiàn)邊角互化是解決問題的常用方法，對于解法一需要三角公式準(zhǔn)確變形，簡潔；解法二利用角化邊處理，避免了三角公式，需要代數(shù)運(yùn)算變形，有時可能比較煩瑣.

3.方程角度

師：從正切角度如何解決？可否從正切有關(guān)的三角公式入手？

生7：有兩角和的正切公式，可以很容易得到tan（A+ C）=-tanB，再求出tanB的范圍，從而可求出角的范圍，但接下來似乎不容易轉(zhuǎn)化，不知從哪個角度解決.

讓學(xué)生把能得到的寫出來觀察，再將得到的結(jié)論進(jìn)行變式，于是得到tanA·tanC=tan2B，①tanA+tanC=-tanB·（1-tan2B）.②

師：觀察①②式，將tanA，tanC的和與積都表示成了含tanB的式子，我們會聯(lián)想到什么？

生8：韋達(dá)定理，所以可以把tanA，tanC看成某個二次方程的兩個根，再利用二次方程根的分布解決.

解法三：由題可知，tanA·tanC=tan2B，由tan（A+C）=可知tanA+tanC=tan（A+C）（1-tanAtanC），所以tanA+tanC=-tanB（1-tan2B），從而tanA，tanC可看成方程x2+tanB（1-tan2B）x-tan2B=0的兩個根，且由題可知均大于0，故

小結(jié)：借助兩角和的正切公式的變式建立了tanA· tanC與tanA+tanC和tanB的關(guān)系，聯(lián)想到二次方程中韋達(dá)定理，從而轉(zhuǎn)化為含tanB的方程的根，再利用二次方程有兩正根的等價條件解題.

4.數(shù)列角度

師：觀察tanA·tanC=tan2B左右兩邊的結(jié)構(gòu)形式，還能聯(lián)想到什么？

生9：tanA，tanB，tanC成等比數(shù)列，可以借助等比數(shù)列的知識來解決.

解法四：由題可知，tanA·tanC=tan2B，故tanA，tanB， tanC成等比數(shù)列，設(shè)公比為q（q＞0），則qtanB.

小結(jié)：從式子的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)想到等比數(shù)列，再巧妙地利用數(shù)列知識將角A、C轉(zhuǎn)化為公比q和角B的正切，從而得出tanB的范圍得出結(jié)果.

5.基本不等式角度

師：重新審視tanA·tanC=tan2B和tanA+tanC=-tanB·（1-tan2B），從和與積之間的關(guān)系，我們還會聯(lián)想到什么知識來求出tanB的范圍？

生10：可以利用基本不等式，直接建立關(guān)于tanB的不等式.

解法五：由題可知，tanA·tanC=tan2B，而tanA+tanC= tan（A+C）（1-tanAtanC）=-tanB（1-tan2B），由題易得tanA＞ 0，tanC＞0，tanB＞0，所以2|tanB|=2tanB，從而有-tanB（1-tan2B）≥2tanB，不難得出從而得到角B的取值范圍是

小結(jié)：由三個正數(shù)tanA、tanB、tanC與等式的形式（和積式）聯(lián)想到可用基本不等式建立tanB的不等式.

6.減元思想角度

師：剛才我們從三角形中三角知識角度，三角公式及其變式角度進(jìn)行了思考，進(jìn)行多角度研究，那么對于多元的等式關(guān)系求某個變量的范圍問題，能否從數(shù)學(xué)思想角度考慮呢？

張明楷教授認(rèn)為：民眾的輿論與社會的穩(wěn)定密切相關(guān)，當(dāng)民眾普遍認(rèn)為一個罪犯應(yīng)當(dāng)判處死刑，由于沒有判處死刑而引起公憤時，決策機(jī)構(gòu)總會擔(dān)心民眾在輿論上的公憤轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)社會秩序的不穩(wěn)定，因而要求對罪犯判處死刑，從而平民憤，保穩(wěn)定[5]543-556。這說明，在適用死刑的過程中，大眾的普遍心理預(yù)期直接影響到了刑罰的確定。

生11：我們要求角B的范圍，可以消去角A或角C，但利用內(nèi)角和關(guān)系只可以消去一個角，故可以消去角C，從而得到一個關(guān)于角A和角B的方程，再利用方程的根的問題來解決.

解法六：由題可知，tanA·tanC=tan2B，即tanA·［-tan（A+B）］=tan2B，所以整理可得tan2A+（tanB-tan3B）tanA+tan2B=0，從而關(guān)于tanA的方程在 （0，+∞） 上至少一根，故可得從而不難得到角B的取值范圍是

小結(jié)：多元問題從數(shù)學(xué)思想角度不難聯(lián)想到減元思想，在三角形中利用內(nèi)角和進(jìn)行消元使得三元變兩元，再將兩變量分別看成未知量和參數(shù)構(gòu)造方程來解決.

7.特殊化角度

師：作為填空題，可否“猜”結(jié)果呢？

生12：從tanA·tanC=tan2B中發(fā)現(xiàn)角A和C地位相同，可以令A(yù)=C來探求角B的最值.

解法七：由tanA·tanC=tan2B，令A(yù)=C得tanAtanA= tan2B，可知tanA=tanB，即從式子本身來看，角B是中間角，此處最值應(yīng)該為最小值，由于三角都為銳角，故可猜得角B的取值范圍是

（四） 方法總結(jié)，比較反思

讓學(xué)生回顧此題的解決角度和途徑，并比較各種解法的優(yōu)劣，總結(jié)解決此類問題的常規(guī)有效的方法.

小結(jié)：對于給出條件關(guān)系求角的范圍問題，要善于觀察并靈活運(yùn)用三角公式，往往先求函數(shù)值范圍再求角的范圍.解法一、解法二思路較容易想到，雖變形比較復(fù)雜，但不失為一種常見思路；解法三、解法六雖然都是借助方程來解決，但切入口不同；解法三、解法四、解法五都來源于對中間結(jié)論中式子形式的觀察，選擇了合適的角度并運(yùn)用相應(yīng)知識解決，構(gòu)思巧妙，解答簡單完美；解法七雖是一種猜的辦法，但也是有一定依據(jù)去猜的，所以對填空題來說也不失為一種討巧的方法.

三、拓展研究

師：我們可否變換此題條件，再進(jìn)行研究呢？

生13：（變式1）在△ABC中，角A，B，C滿足tanA· tanC=tan2B，則角B的取值范圍是__________.

解析：由于在三角形中，tan2B＞0，可知tanA，tanC同號且均大于零，類似解法四可知，tanA+tanC=tan（A+C）若tanB＜0，則-tanB（1-tan2B）≥-2tanB，所以tan2B≤-1不成立，故tanB＞0，不難得到角B的取值范圍是

點(diǎn)評：去掉了對數(shù)的外衣，似乎少了一些限制，但利用三角公式進(jìn)行推理，發(fā)現(xiàn)條件并未減弱，這其實(shí)都緣于三角形內(nèi)在的制約，所以挖掘隱含條件也成為解三角問題的一大關(guān)鍵.

師：觀察條件特征，剛才同學(xué)將條件變成等比數(shù)列形式，是否還有可以有其他變形，再探究呢？

生14：（變式2）在△ABC中，角A，B，C滿足tanA+ tanC=2tanB，則角B的取值范圍是__________.利用例題中解法不難得到角B的取值范圍是

師：類比等比數(shù)列來研究等差數(shù)列似乎很自然，通過研究，發(fā)現(xiàn)雖然條件發(fā)生變化，但結(jié)論并沒有改變，這也是三角的魅力所在.前面幾種變式都是等式，能否變成其他條件呢？或者結(jié)論也能不變呢？

生15：（變式3）在△ABC中，角A，B，C滿足lgtanA+ lgtanC≥2lgtanB對任意的角A，C都成立，則角B的取值范圍是__________.

略解：利用兩角和的正切公式和不等式可得tanAtanC≥3，由tanA·tanC≥tan2B對任意的角A，C都成立，可得3≥tan2B，即從而可得角B的取值范圍是

生16：（變式4）在銳角△ABC中，角A，B，C滿足tanA+ tanC≥2tanB對任意的角A、C都成立，則角B的取值范圍是__________.類似地得到角B的取值范圍是

點(diǎn)評：由等式條件變?yōu)椴坏仁綏l件，探求范圍變得更復(fù)雜，于是增加為恒成立條件得以解決，這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的辯證統(tǒng)一.

四、反思提升

讓學(xué)生回顧解決此題和變式探究的研究過程，總結(jié)解題研究的思維模式.

生17：思維過程：

師：很好！這正是我們解題研究的一般模式，以后我們將可以進(jìn)行有效的自我解決和研究問題.

經(jīng)過剛才的研究，學(xué)生拓展研究的熱情并未消減，思緒飛得很遠(yuǎn)，將條件中正切函數(shù)變?yōu)檎液陀嘞液瘮?shù)并做了探索研究和猜想，然后分組研究得出下面一些條件不同而結(jié)論相同的探索問題，由于篇幅關(guān)系僅給出正弦的命題，證明過程從略.

探索問題：在△ABC中，角A、B、C滿足條件①sinA· sinC=sin2B，條件②sinA+sinC=2sinB，條件③sinA·sinC≥sin2B，條件④sinA+sinC≥2sinB中的任何一個條件時都可以得到角B的取值范圍是

點(diǎn)評：由于三角形中利用正余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，因此解決問題很多時候可以用邊來解決，但遺憾的是缺少了正切和差角公式中一致性（都是正切），所以如果運(yùn)用正弦和差角公式則增加了運(yùn)算轉(zhuǎn)化的難度.

例題中將對數(shù)相加轉(zhuǎn)化為真數(shù)相乘，從而去掉對數(shù)符號，如果改為對數(shù)相乘，那又如何處理呢？將正切函數(shù)改為正、余弦函數(shù)是否也有類似的結(jié)論？學(xué)生于是又大膽的進(jìn)行了改變條件和猜想，于是又有了下面變式題留到課后繼續(xù)研究：

變式5：在△ABC中，角A、B、C滿足lgtanA·lgtanC= lg2tanB，則角B的取值范圍是__________.

變式6：在△ABC中，角A，B，C滿足lgtanA·lgtanC≥lg2tanB對任意的角A、C都成立，則角B的取值范圍是__________.

五、教法感悟

1.解題需要先探尋問題的本質(zhì)，進(jìn)行本原思索，方能本原解題

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中明確指出，數(shù)學(xué)課程應(yīng)強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識與理解.解題時必須從問題的本質(zhì)角度出發(fā)尋找思路，進(jìn)行本原解題，所以首先要充分熟悉題目，探尋問題的本質(zhì)，搞清概念的本質(zhì)和問題的已知與未知的本質(zhì)聯(lián)系.聯(lián)想就是要讓思維接近自己的“最近發(fā)展區(qū)”，所以學(xué)生對原有知識的學(xué)習(xí)與掌握是前提，只有對一些公理、定理、定律、公式等的徹底理解，并能靈活運(yùn)用才能產(chǎn)自然的聯(lián)想.

2.多角度研究已知條件，適時追問促進(jìn)聯(lián)想尋求解題思路

單墫先生說：“解題到底靠什么？我靠的也就是平常的、普通人的常識.”［1］就是說要自己動手解題，尋求問題中的知識與自己掌握的知識的聯(lián)系點(diǎn)，從而產(chǎn)生聯(lián)想，并能運(yùn)用所掌握的知識、技巧解題，這樣才能進(jìn)行多角度研究.在解題教學(xué)中，教師也要適時進(jìn)行必要的追問，激活學(xué)生的思維，進(jìn)行多角度研究.如例題中我們通過多角度觀察聯(lián)想涉及了三角、數(shù)列、不等式、函數(shù)與方程等多種知識，解決了恒成立、角的范圍問題，滲透了類比、減元、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想和特殊化處理問題的方法，體現(xiàn)研題的一般思路，拓寬解決問題的角度.

3.加強(qiáng)解題后的回顧與反思提升，做到知其然且知其所以然

解出問題只是對某個問題的解決的結(jié)束，但數(shù)學(xué)題有太多，甚至可以說是“題?！保覀儾豢赡軐⑺袉栴}都做一遍，所以就有必要對自己做的問題進(jìn)行及時回顧與反思.要想讓學(xué)生形成這種習(xí)慣，教師就必須要求學(xué)生解題后進(jìn)行反思，弄清自己解決的是什么問題？有哪些角度？哪幾個是關(guān)鍵步驟？為什么這樣做？審視剛才的解法中的缺陷和優(yōu)點(diǎn)，這樣才能弄清一類問題，讓學(xué)生體會到：“沒有任何一個題目是徹底完成了的.總還會有些事情可以做；在經(jīng)過充分的研究和洞察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)；而且無論如何，我們總可以深化我們隊(duì)答案的理解.”［2］

4.激發(fā)學(xué)生的探索熱情，進(jìn)行有效拓展研究

學(xué)生的潛力是無限的，學(xué)習(xí)和探索的熱情是很高漲的，這些都需要教師積極的挖掘和適時有效的評價.數(shù)學(xué)問題的解決離不開思考，數(shù)學(xué)的魅力離不開發(fā)現(xiàn)，若能從解題過程中多角度研究，不斷深入探索，將問題進(jìn)行變式研究或推廣，我們將有更多的創(chuàng)新和收獲.當(dāng)然要能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考和自主探究還需要教師自身的提高，研究題目應(yīng)成為我們數(shù)學(xué)教師的解題習(xí)慣，多角度發(fā)散考慮，深度思考，探究問題，有利于提高我們自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，才更有利于提高課堂教學(xué)的有效性，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

1.單墫.我怎樣解題［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2013.

2.波利亞.怎樣解題［M］.涂弘，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2015.

3.劉智娟.注重高中數(shù)學(xué)解題中的“四大法寶”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（12）.

4.葛建華.讓“研題”成為數(shù)學(xué)教師的解題習(xí)慣［J］.中小學(xué)教學(xué)研究，2013（7）.