基于方案占優(yōu)和排序穩(wěn)健性的多屬性決策方法

丁 濤，梁 樑

(合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，安徽 合肥 230009)

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基于方案占優(yōu)和排序穩(wěn)健性的多屬性決策方法

丁 濤，梁 樑

(合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，安徽 合肥 230009)

在多屬性決策問題中，不同的屬性權(quán)重會產(chǎn)生不同的評價結(jié)果。由于實(shí)際問題的復(fù)雜性與不確定性，決策者對于屬性權(quán)重的確定也存在不確定性。這些不確定既來自現(xiàn)實(shí)問題的復(fù)雜性和可變性，也來自決策者選擇的模糊性與隨機(jī)性。目前已有的研究主要是將不確定的權(quán)重信息轉(zhuǎn)化為相對確定的信息(如轉(zhuǎn)化為區(qū)間數(shù)等)，硬性地消除了不確定，從而給決策結(jié)果帶來較大風(fēng)險。本文從方案排序的視角出發(fā)，研究在權(quán)重空間下，方案的占優(yōu)關(guān)系和排序的穩(wěn)健性。首先，定義了占優(yōu)矩陣用于刻畫不確定權(quán)重信息下方案兩兩比較的占優(yōu)關(guān)系；其次，分析了方案的排序區(qū)間，即在所有可能存在的權(quán)重組合下，方案的最好排序和最差排序。然后，定義了方案的全排序排序概率，并且給出了排序概率的計算方法。進(jìn)而，我們給出了方法的決策步驟和實(shí)施過程。最后，本文將該方法應(yīng)用到某遠(yuǎn)洋集團(tuán)的港口評估當(dāng)中。

多屬性決策；占優(yōu)關(guān)系；排序區(qū)間；方案排序概率

1 引言

多屬性決策問題是決策者根據(jù)多個屬性，對有限的方案集進(jìn)行綜合評價，從而進(jìn)行方案優(yōu)選或排序的過程。其在經(jīng)濟(jì)、管理和工程技術(shù)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[1-2]。

傳統(tǒng)的多屬性決策方法一般通過確定指標(biāo)對應(yīng)的屬性權(quán)重，然后集成方案的綜合屬性值，從而進(jìn)行方案的排序。近年來，研究者從不同的角度出發(fā)，提出了一系列的賦權(quán)方法，主要可以歸結(jié)為主觀賦權(quán)法[3]，客觀賦權(quán)法[4-6]和主客觀賦權(quán)法[7-10]。主觀賦權(quán)法根據(jù)決策者對于不同屬性的主觀偏好確定權(quán)重；客觀賦權(quán)法依據(jù)決策信息，利用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，從而求解屬性權(quán)重。而主客觀賦權(quán)法同時結(jié)合了決策者的主觀偏好和決策信息獲取屬性權(quán)重。

由于實(shí)際問題的復(fù)雜性和不確定性，決策者在很多情況下難以給出每個屬性對應(yīng)的權(quán)重值。所以，主觀賦權(quán)法并不適用。而不同的客觀賦權(quán)發(fā)分配權(quán)重的原則不同，因而產(chǎn)生的權(quán)重組合也不同。某備選方案在一組屬性權(quán)重下是最優(yōu)方案，其在另外一組屬性權(quán)重下可能會變成較劣方案[11-12]。因此，通過賦權(quán)方法將不確定權(quán)重信息確定化會給決策帶來偏差,甚至?xí)?dǎo)致決策失誤的出現(xiàn)。

考慮到傳統(tǒng)多屬性決策方法在處理不確定權(quán)重信息下決策問題的不足，研究者提出了一系列新的多屬性決策方法。Lahdelma和Salminen[13]提出了隨機(jī)多指標(biāo)可接受分析方法，該方法研究在權(quán)重信息完全未知時，通過確定權(quán)重分布的類型，定義了可接受度用于刻畫方案排序的不確定性。Xu Zeshui等[14-17]關(guān)注于模糊多屬性決策，利用模糊數(shù)、直覺模糊數(shù)和猶豫模糊數(shù)等來刻畫不確定信息，在一定程度上可以用于決策分析。Wu Jie和Liang Liang[18]提出了基于DEA博弈交叉效率的多屬性決策方法，該方法是將每個備選方案當(dāng)做局中人，每個局中人都最大化自身的綜合屬性值。通過納什討價還價的博弈過程，進(jìn)而獲得最優(yōu)的方案評價結(jié)果。Fu Chao和Chin[19]提出了基于魯棒證據(jù)推理的方案比較方法，該方法通過定義在不確定權(quán)重下方案排序的魯棒性，從而進(jìn)行方案優(yōu)選。 Scholten等[20]研究了不確定偏好信息下基于多屬性效用理論的的復(fù)雜決策方法。該方法通過在線調(diào)查和面對面訪談分析了不確定偏好信息的來源，從而提出了基于情境分析的排序方法并對排序結(jié)果進(jìn)行靈敏度分析。劉健等[21]將決策者在決策指標(biāo)上存在心理閾值的現(xiàn)狀應(yīng)用到多屬性決策問題當(dāng)中,提出了先對決策目標(biāo)調(diào)整再進(jìn)行決策的方法。

上述提及的方法從不同的方面研究了不確定權(quán)重信息下的多屬性決策問題，在特定的情況下具有適用性。更為一般化，本文從方案占優(yōu)的視角，分析了在所有可能的權(quán)重組合(權(quán)重空間)下，方案的占優(yōu)關(guān)系和排序穩(wěn)健性，從而提出了一種新的方案排序方法。具體而言，我們將研究以下三個問題。在權(quán)重空間下(1).對于任意兩個方案，兩者的相互占優(yōu)關(guān)系；(2).每個備選方案所能達(dá)到的最好排序與最差排序，即排序區(qū)間；(3).對于所有可能存在的方案排序，如何選擇一種作為最終的排序結(jié)果。進(jìn)而，我們提出了一種基于方案占優(yōu)和排序穩(wěn)健性的多屬性決策實(shí)施過程。最后，我們將本文的方法應(yīng)用于某遠(yuǎn)洋集團(tuán)的港口評估當(dāng)中，驗(yàn)證了其有效性與合理性。

2 問題描述

一般而言，在多屬性決策問題中既存在效益型屬性(越大越好)，也存在成本型屬性(越小越好)。為了消除不同物理量綱對決策結(jié)果的影響，我們利用下面的公式[2]對決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理：

(1)

方案Xi的綜合屬性值為：

(2)

因此，屬性權(quán)重的確定是傳統(tǒng)多屬性決策的關(guān)鍵問題。然而，在很多實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，屬性權(quán)重是不確定的。如決策者偏好的不確定性、決策環(huán)境的可變性和不同專家難以達(dá)成一致等原因都會給確定權(quán)重帶來困難。很多情況下，決策者只能給出部分權(quán)重偏好信息，甚至權(quán)重信息完全未知。此時，不同的權(quán)重確定方法會產(chǎn)生不同的權(quán)重組合，從而導(dǎo)致決策結(jié)果的不確定性。鑒于此，我們接下來將研究在不確定屬性權(quán)重下，方案的占優(yōu)關(guān)系和排序穩(wěn)健性分析。

3 決策方法

3.1 方案成對比較

為了清晰的描述不確定權(quán)重信息，我們首先引入權(quán)重空間的概念。

定義1：設(shè)w=(w1,w2,…,wn)為一組屬性權(quán)重，記Ω(w)=Ω(w1,w2,…,wn)為屬性的權(quán)重空間。其中，Ω(w)為所有可能的權(quán)重組合。特別地，當(dāng)權(quán)重信息完全未知時，

(3)

通常情況下，決策者可以根據(jù)其偏好，對權(quán)重進(jìn)行約束。例如，對于三個屬性Y1, Y2,和Y3，決策者指定：Y1的重要性至少是Y2的兩倍，且Y3的重要性大于Y1，此時屬性權(quán)重空間為：

(4)

對于給定的兩個方案，我們定義占優(yōu)概率的概念。

定義3：對于方案f和g，其屬性權(quán)重空間為Ω(w)，p(f?g)為在屬性權(quán)重空間Ω(w)下方案f優(yōu)于方案g的概率，稱f對g的占優(yōu)概率。同樣地，p(g?f)為g對f的占優(yōu)概率。其中：

p(f?

(5)

特別地，若p(f?g)>0.5，則稱方案f對g弱占優(yōu)，反之亦然。

定義4：對方案集X={X1,X2,…,Xm}中的方案占優(yōu)關(guān)系進(jìn)行成對比較，構(gòu)成方案占優(yōu)矩陣P=(pij)m×m。其中，pij表示方案i對j的占優(yōu)概率。

性質(zhì)1：方案占優(yōu)矩陣P中的元素滿足：

1)pii=1，?1≤i≤m；

2)pij+pji=1，?1≤i,j≤m，i≠j

定義4表明，決策者可以得到兩兩比較的方案占優(yōu)關(guān)系。顯然，占優(yōu)概率越大，占優(yōu)關(guān)系越強(qiáng)。

由于權(quán)重空間的不確定性，方案占優(yōu)概率無法通過模型求解，因此我們利用蒙特卡洛仿真的方法計算占優(yōu)概率。在這里，我們給出一個簡單的算例進(jìn)行計算模擬。兩個方案的屬性值分別為A=(4,6,5,5) 和B=(5,4,3,6)，權(quán)重空間為Ω(w)={0≤wj≤1,j=1,2,3}。圖1演示了A對B的占優(yōu)頻率(縱坐標(biāo))和仿真次數(shù)(橫坐標(biāo))的對應(yīng)關(guān)系。結(jié)果顯示，仿真次數(shù)超過3500時，占優(yōu)頻率穩(wěn)定在0.75，即p(A?B)=0.75。

圖1 A對B的占優(yōu)頻率模擬結(jié)果

3.2 方案排序分析

在權(quán)重空間下，對于一個給定的方案，其對應(yīng)的排序位置是不確定的。即該方案在兩組不同的權(quán)重組合下的排序位置可能并不相同。接下來我們給出方案排序區(qū)間的概念。

模型1：

wj∈Ω(w),

di∈{0,1}, i≠k，

其中，M為一個大于1的正常數(shù)。

模型2：

wj∈Ω(w),

di∈{0,1}, i≠k,

其中，M為一個大于1的正常數(shù)。

對于決策者而言，選擇任何一種排序結(jié)果都會有忽略其它排序所帶來的風(fēng)險。因此，我們定義了方案排序的決策風(fēng)險。

定義6：令選擇方案排序Υk所帶來的決策風(fēng)險記為Ψ(γk) (k=1,2,…,m!)。其滿足：

(1)若 p(γk)=1, 則有 Ψ(γk)=0;

(2)若 p(γk)=0, 則有 Ψ(γk)=1；

(3)對于兩種方案排序 γs和 γt(s≠t),若排序概率滿足：p(γs)>p(γt)，則有 Ψ(γt)>Ψ(γs)。

定義6表明排序的決策風(fēng)險大小與排序概率呈負(fù)相關(guān)。鑒于此，我們認(rèn)為決策者選擇排序概率較大的排序結(jié)果的風(fēng)險較小。

3.3 基于占優(yōu)關(guān)系和排序分析的決策方法

接下來，我們給出了基于方案占優(yōu)和全排序概率分析的決策方法，步驟如下：

1)形成多屬性決策問題

決策者給出一個由n個屬性評價m個方案的多屬性決策問題，并利用公式(1)將決策矩陣標(biāo)準(zhǔn)化。

2)獲得屬性權(quán)重空間

決策者首先對所有屬性進(jìn)行綜合分析，給出所有可能存在的權(quán)重組合，即權(quán)重空間，記為Ω(w)。

3)獲取方案占優(yōu)矩陣

通過計算方案成對比較的占優(yōu)概率，從而得到方案占優(yōu)矩陣P，從而得到兩兩比較的占優(yōu)關(guān)系。

4)計算每個方案的排序區(qū)間

利用模型1和2，求解每個方案的排序區(qū)間，從而得到單個方案的排序穩(wěn)健性。

5)求解方案全排序概率

首先根據(jù)步驟3)和步驟4)的結(jié)果，剔除排序概率為0(無效)的方案排序。然后，利用蒙特卡洛算法，在權(quán)重空間下計算剩下的方案排序概率。

6)最終方案排序

決策者通過設(shè)定閾值的方法，選出k(k>0)個概率較大(相對穩(wěn)定)的方案排序。進(jìn)而，決策者可以利用專家打分確定位置權(quán)重，利用加權(quán)平均的方法集成這些方案排序，進(jìn)而得到最終的排序結(jié)果或最優(yōu)方案。

接下來，我們用Wu Jie和Liang Liang[18]中的算例演示該方法的過程。對于一個由四個屬性評價六個方案的多屬性決策問題，原始決策矩陣為：

表1 原始決策矩陣

下面利用本文的方法對方案進(jìn)行排序。首先利用公式(1)，對決策矩陣進(jìn)行規(guī)范化處理，得到標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣：

利用蒙特卡洛仿真，計算兩兩方案間的占優(yōu)概率，得到的方案占優(yōu)矩陣為：

P=

由于方案C至少弱占優(yōu)于其它所有方案，方案占優(yōu)的角度它是最優(yōu)方案。而方案D至少被所有方案弱占優(yōu)，所以它是最劣方案。

然后，根據(jù)模型1和模型2，得到所有方案的排序區(qū)間為：

RI(A)=[1,6],RI(B)=[2,4],RI(C)=[1,3],RI(D)=[3,6],RI(E)=[3,6]，RI(F)=[1,6]

從單個方案的排序區(qū)間結(jié)果可知，方案B和C的排序穩(wěn)健性高于其它方案，因此相對于其它方案更優(yōu)。然而，方案A,E和F的優(yōu)劣難以比較。

接著，在權(quán)重空間下，對方案A,E和F進(jìn)行全排序仿真，得到的全排序概率如表3所示。決策者篩選出三種較為穩(wěn)健的方案排序：A>F>E，F(xiàn)>A>E和F>E>A。根據(jù)Lahdelma和Salminen[13],決策者給排序一到三位的位置權(quán)重分別為：1,1/2和1/3。然后，利用加權(quán)平均得到的排序?yàn)椋篎>A>E。

綜合以上分析，最終的方案排序?yàn)椋篊>B>F>A>E>D。根據(jù)Wu Jie和Liang Liang[18]可知，利用自評模型得到的方案排序?yàn)椋篈=C=F>B>E>D;利用博弈交叉評價模型得到的方案排序?yàn)椋篊>A>F>B>E>D?？梢钥闯?，自評模型難以得到完整的方案排序，即方案A，C和F的優(yōu)劣難以比較。而博弈交叉評價得到的最優(yōu)方案和最劣方案和本文一致，但其它方案的排序結(jié)果并不完全相同。這是因?yàn)楸疚氖菑姆桨刚純?yōu)和全排序概率的視角對方案進(jìn)行評價，其結(jié)果的穩(wěn)健性更高。

4 案例分析

某遠(yuǎn)洋集團(tuán)需要對4個港口A1,A2,A3，A4和A5進(jìn)行綜合評估。決策采用了多屬性決策分析方法，分別從內(nèi)部環(huán)境和外部環(huán)境兩個方面構(gòu)建指標(biāo)體系。其中，內(nèi)部環(huán)境指標(biāo)主要包含了三個一級指標(biāo)：硬件設(shè)施、內(nèi)部工作效率和運(yùn)營發(fā)展；外部環(huán)境指標(biāo)也包含了三個一級指標(biāo)刻畫：政策環(huán)境、經(jīng)濟(jì)環(huán)境和地理環(huán)境。每個一級指標(biāo)均由一些二級指標(biāo)刻畫。如圖2所示。

表2 三個方案的全排序概率

圖2 港口評估的評價指標(biāo)體系

為了節(jié)省空間，我們只列出了經(jīng)過規(guī)范化處理之后的決策矩陣，如表3所示。

表3 標(biāo)準(zhǔn)化決策矩陣

因?yàn)锳5至少弱占優(yōu)于其它方案，所以從方案占優(yōu)的角度，它是最優(yōu)方案。而A4至少被其它方案弱占優(yōu)，它是最劣方案。

然后，根據(jù)模型1和2，我們計算得到每個方案的排序區(qū)間：

RI(A1)=[1,4],RI(A2)=[1,4],RI(A3)=[1,5],RI(A4)=[4,5],RI(A5)=[1,4]

從單個方案的排序區(qū)間結(jié)果可以看出A4是一個較劣方案。因?yàn)樵谡麄€權(quán)重空間下，其排序都只會在最后兩位。然而，方案A1，A2和A5的優(yōu)劣卻難以比較。

最后，對方案A1，A2和A5進(jìn)行全排序仿真，得到的全排序概率如下：

表4 三個方案的全排序概率

從表3可以看出，最大概率的方案排序?yàn)椋簆(A1>A2>A3)=0.810。由于該排序的概率較大，因而帶來的排序風(fēng)險較小，從而可以作為排序結(jié)果。

綜合上述分析過程，最終的穩(wěn)健性方案排序結(jié)果為：A5>A1>A2>A3>A4。

5 結(jié)語

在傳統(tǒng)多屬性決策中，屬性權(quán)重的確定是研究者關(guān)注的一個焦點(diǎn)。然而，由于實(shí)際決策問題的復(fù)雜性與不確定性，指標(biāo)權(quán)重的具體數(shù)值往往難以確定?，F(xiàn)有的通過確定權(quán)重從而集成方案綜合屬性值的方法在一定程度上可以處理這種不確定性，但卻無法保證排序結(jié)果的穩(wěn)定性與合理性。鑒于確定權(quán)重的方法處理不確定性多屬性決策問題的缺陷，本文提出了一種基于方案占優(yōu)和排序穩(wěn)健性的決策方法。文中給出了屬性權(quán)重空間的概念，用于描述不確定權(quán)重信息。同時本文給出了屬性權(quán)重空間下的方案占優(yōu)概率用來比較方案的優(yōu)劣。占優(yōu)概率不僅能反映兩個方案的優(yōu)劣程度，還能刻畫確定權(quán)重的方法對決策結(jié)果帶來的風(fēng)險系數(shù)。一方案對另一方案的占優(yōu)概率越大，則認(rèn)為該方案優(yōu)于另一方案的參考意義更大?；诜桨刚純?yōu)和全排序概率的思想，我們計算了(1)方案占優(yōu)矩陣，用于刻畫兩兩比較的方案占優(yōu)關(guān)系；(2)單個方案的排序區(qū)間，用于描述單個方案的最好排序和最差排序和(3)方案全排序概率，用于反映方案排序的穩(wěn)健性。綜合分析結(jié)果，本文提出了一種新的基于方案占優(yōu)和排序穩(wěn)健性的多屬性決策方法。

本文提出基于方案排序穩(wěn)健性的全排序決策方法，避免了通過確定屬性權(quán)重從而集成方案的綜合屬性值的思路，有效的處理了屬性權(quán)重不確定的決策問題。該方法考慮到不確定權(quán)重信息給決策結(jié)果帶來的風(fēng)險，對于決策有指導(dǎo)作用。由于本文考慮的是單人決策問題，然而現(xiàn)實(shí)中還有一類由多個決策者共同參與的群決策問題。在未來的研究中，我們將考慮屬性權(quán)重和決策者權(quán)重都未知的多屬性群決策問題。

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A New Multiple Attribute Decision Making Method Based on Dominance Relation and Ranking Stability

DING Tao, LIANG Liang

(School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

multiple attribute decision making; dominance relation; ranking interval; rank-order possibility

2015-08-06；

2016-02-01

國家科技支撐計劃項(xiàng)目(2014BAH27F00)；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71471053)

簡介：丁濤(1992-)，男(漢族)，安徽安慶人，合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院博士研究生，研究方向：決策分析，E-mail: hfutdingtao@126.com.

C934

A

1003-207(2016)08-0132-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.08.016