基于代數(shù)類課程提高理工科研究生的數(shù)學(xué)思維能力

孟智娟，任紅萍

（太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，山西 太原030024）

1 引言

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)理工科研究生素質(zhì)的完善起著重要的作用，我國有重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的傳統(tǒng)，在高等教育之前的基礎(chǔ)教育階段，中國學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)水平并不比西方學(xué)生差，可是進(jìn)入研究生階段，學(xué)生的科學(xué)研究能力就有了很明顯的差距，這是值得我們深思的問題。因此，本科和研究生的數(shù)學(xué)課程的教學(xué)需要進(jìn)一步的改革，以便數(shù)學(xué)對(duì)科學(xué)研究的基礎(chǔ)作用得以更大地發(fā)揮。

2 培養(yǎng)研究生數(shù)學(xué)思維能力的重要性及對(duì)策

在大學(xué)階段，各專業(yè)的學(xué)生經(jīng)常聽到老師這樣的告誡：“你若想在物理學(xué)方面有所成就，你就必須先學(xué)好數(shù)學(xué)”；“如果想成為編程高手，你的數(shù)學(xué)功底必須好”；“沒有扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，你將無法涉足金融經(jīng)濟(jì)界?！边@說明數(shù)學(xué)學(xué)科的重要地位是人所共知的，但大學(xué)以及研究生階段數(shù)學(xué)怎么教和教什么這兩個(gè)問題是需要探討和改革的。

研究生數(shù)學(xué)教育首先面臨的問題是如何將隱藏在公式和定理后面的背景和環(huán)境闡述給學(xué)生。將數(shù)學(xué)知識(shí)讓學(xué)生弄明白這已經(jīng)是非常不容易的事情了，若還想激發(fā)起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的濃厚的興趣，并讓學(xué)生積蓄在后續(xù)做科學(xué)研究時(shí)所需要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，那就更是不簡單的事情了。

數(shù)學(xué)教育中的理論與技巧、邏輯與直覺、抽象與直觀的關(guān)系問題也是必須面對(duì)的。德國數(shù)學(xué)家克萊因（F.Klein，1849~1925）指出：“所謂數(shù)學(xué)，并不是純粹的技巧，這些技巧只不過是其微不足道的方面，它遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)?！睌?shù)學(xué)在形成人類先進(jìn)思想和現(xiàn)代生活中起著重要的作用，所以我們不應(yīng)當(dāng)僅將數(shù)學(xué)教育單純地認(rèn)為是傳播知識(shí)和技能，也即不能過分地強(qiáng)調(diào)邏輯訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教育中的作用，邏輯訓(xùn)練應(yīng)該是在解決具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)來進(jìn)行的，而不是在數(shù)學(xué)的理論體系中去體現(xiàn)它。再則學(xué)生們學(xué)習(xí)中遇到的數(shù)學(xué)題目都是有答案的，而當(dāng)他們進(jìn)入科學(xué)研究階段，所面對(duì)的問題大多是預(yù)先不知道答案甚至不知道是否會(huì)有答案。對(duì)理工科研究生來講，我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教育是教他們論證太多而探索太少。我們可以教學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行合理的猜想，教會(huì)學(xué)生在解決問題前，先對(duì)結(jié)果做出完全憑直覺而得到的猜想。

數(shù)學(xué)的發(fā)展有兩大流派，即公理化和機(jī)械化。公理化是基于演繹的、推理的；而機(jī)械化是基于計(jì)算的[1]。從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史中也可以給數(shù)學(xué)教育提供很多的借鑒和啟示。例如，阿基米德是發(fā)現(xiàn)歐幾里得公理體系有缺陷并予以彌補(bǔ)的人，他將歐幾里得嚴(yán)密的推理方法與柏拉圖式的豐富想象結(jié)合在一起，他所做的工作就不是基于演繹的。又如牛頓在十七世紀(jì)創(chuàng)立了微積分學(xué)，隨后就被發(fā)現(xiàn)有邏輯上的缺陷，但運(yùn)用其計(jì)算的結(jié)果卻總是正確的，并且在微積分學(xué)的完整理論體系建立之前已經(jīng)被運(yùn)用了差不多兩個(gè)世紀(jì)。再如，歐拉是十八世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家，他不但為數(shù)學(xué)作出了很大的貢獻(xiàn)，更是把整個(gè)數(shù)學(xué)推到物理領(lǐng)域。他的許多開創(chuàng)性的工作，邏輯并不是很嚴(yán)密的，而是使用了歸納法和類比法。

3 代數(shù)學(xué)的地位和意義

線性代數(shù)是理工科學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)系研究生的公共基礎(chǔ)課程，學(xué)生通過代數(shù)類課程的學(xué)習(xí)，可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ)，對(duì)于我們高屋建瓴地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，有著其它數(shù)學(xué)課程不可替代的作用。不僅如此，由于代數(shù)學(xué)中貫穿著公理化方法、邏輯推理方法、歸納綜合法等，通過這些方法的訓(xùn)練和熏陶，對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是大有益處的。

代數(shù)可處理數(shù)以外的物集，例如向量、矩陣、變換等，它們的運(yùn)算有各自的演算規(guī)律，將其各自的演算共有的東西提煉出來，加以抽象達(dá)到更高的層次，就產(chǎn)生了抽象代數(shù)。所以說，抽象代數(shù)是研究各種抽象的公理化代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科。抽象代數(shù)越來越多的應(yīng)用于計(jì)算機(jī)、電子、信息等各個(gè)學(xué)科，因此它是一門實(shí)用性很強(qiáng)的課程。

4 代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)

4.1 具體與抽象

代數(shù)學(xué)運(yùn)用公理化的方法，從各種的數(shù)學(xué)對(duì)象集合構(gòu)成的類中，提取共同的量的關(guān)系作為公理，并基于此進(jìn)行演繹推理，得到新的性質(zhì)。例如 “線性空間”、“群”、“環(huán)”、“域”等概念，就均是撇開各種數(shù)學(xué)對(duì)象的具體形式，將對(duì)象之間的關(guān)系即運(yùn)算的共性抽象出來而得到的。

我們知道，一種概念、方法，其抽象程度越高，則適用范圍就越廣泛，也就越不容易被理解和掌握。

4.2 特殊與一般

人類認(rèn)識(shí)世界，是從認(rèn)識(shí)特殊的事物進(jìn)而到認(rèn)識(shí)一般的事物，例如二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)形，有明顯的幾何意義，將其推廣到n維空間情形就是線性代數(shù)中的二次型。又如，三維向量，它也有幾何意義，由此推廣可提出n維向量這一概念。再如，在抽象代數(shù)中，我們先學(xué)習(xí)了一種特殊的群 “變換群”，研究清楚它的結(jié)構(gòu)，再基于 “同構(gòu)”這一代數(shù)學(xué)中重要的概念，由凱萊定理可知，每一個(gè)群都同構(gòu)于一個(gè)變換群，這樣一般的群的結(jié)構(gòu)我們就都清楚了。

由于一般基于特殊，但又有拓廣，所以不同程度地弱化了其形象性，增加了抽象性。

4.3 局部與整體

認(rèn)識(shí)一件事物，通常有三種途徑，一是由局部到整體；二是由整體到局部，比如我們可以通過研究子群、子集、子空間等的結(jié)構(gòu)去認(rèn)識(shí)整個(gè)群、集合、線性空間，群的直積也是討論局部和整體之間的關(guān)系的；三是從一事物與同類事物的聯(lián)系與比較中去了解事物，例如抽象代數(shù)中非常重要的概念“映射”、“同構(gòu)”、“同態(tài)”等就是研究事物之間的聯(lián)系與比較的。

總之，具體與抽象、特殊與一般、局部與整體這三對(duì)矛盾，在代數(shù)學(xué)中更加突出[2]。

5 基于代數(shù)類課程如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是，教師引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)成果的過程中，提高數(shù)學(xué)思維能力的過程。但在初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，因?yàn)槠渲鲗?dǎo)是應(yīng)試教育，故數(shù)學(xué)教學(xué)是以傳授數(shù)學(xué)知識(shí)為主的，在這個(gè)階段我們對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)是受到局限的。我們要避免本科和研究生階段的數(shù)學(xué)教學(xué)陷入只見樹木不見森林的境地，需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)哲理、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)精神等各方面的熏陶和濡染?；诖鷶?shù)類課程的特點(diǎn)，我們可以從抽象思維、邏輯推理、非邏輯思維等幾個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

5.1 攻克 “抽象化”這一數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，培養(yǎng)抽象思維能力

凡概念均經(jīng)過抽象，只是程度不同罷了，我們首先是將其具體化。例如，“線性空間”這一概念，我們可以通過先復(fù)習(xí)n維向量空間，發(fā)現(xiàn)向量間的加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足八條運(yùn)算規(guī)律；然后再回顧全體一元實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式組成的集合，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式間的加法和數(shù)乘運(yùn)算同樣也滿足相同的八條運(yùn)算規(guī)律，類似的代數(shù)系統(tǒng)還可以舉出很多例子，我們可以撇開集合中元素的具體形式以及元素間的加法和數(shù)乘運(yùn)算的定義形式，抽象出它們本質(zhì)上有相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這種非空集合，其元素間定義了叫做加法和數(shù)乘的運(yùn)算，且滿足八條運(yùn)算規(guī)律的代數(shù)系統(tǒng)就是線性空間，這樣即可引入線性空間這一概念。

抽象代數(shù)的主要內(nèi)容就是研究所謂的代數(shù)系統(tǒng)，即帶有運(yùn)算的集合。例如若一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)中定義了一種叫做乘法的運(yùn)算，乘法滿足結(jié)合律、具有單位元，且每個(gè)元素有逆元，則我們稱這種代數(shù)系統(tǒng)為 “群”。類似地，諸如 “環(huán)”、“域”等各種代數(shù)系統(tǒng)的概念都是撇開其元素和運(yùn)算的具體形式，只考慮運(yùn)算具有的性質(zhì)通過高度抽象而得到的。

在引入概念時(shí)，我們應(yīng)該從具體到抽象，對(duì)抽象的東西再給出較具體的形式。再則，要掌握好一個(gè)概念，還要理解它的反面，只搞清楚其一面是不夠的。例如向量組的線性相關(guān)性與線性無關(guān)性，在給學(xué)生講解清楚線性相關(guān)的定義后，要通過非線性相關(guān)即線性無關(guān)這一邏輯關(guān)系，讓學(xué)生思考，給出線性無關(guān)的定義，學(xué)生才能從本質(zhì)上掌握這兩個(gè)概念。最后，如何檢驗(yàn)學(xué)生是否掌握了一個(gè)概念，就是看是否會(huì)靈活地運(yùn)用它，讓學(xué)生用抽象過的概念解決具體的問題，讓學(xué)生在思考和解決具體問題的過程中不斷提高抽象思維能力。

5.2 抓住 “一般性”這一數(shù)學(xué)的精髓，培養(yǎng)邏輯推理能力

數(shù)學(xué)中，從特殊到一般的推廣，是人類對(duì)數(shù)與形的認(rèn)識(shí)的發(fā)展與深化。一般性，也即共性。例如n維向量，就是在研究有n個(gè)自由度的物理量時(shí)引入的。又如基礎(chǔ)解系，是全部解的核心，抓住了它，就抓住了全部解。再如當(dāng)兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)時(shí)，它們的性質(zhì)就有很多共性的東西了。

由特殊到一般，是一種推廣或拓廣，要從實(shí)質(zhì)上把握。如矩陣的加法和實(shí)數(shù)的加法一樣，具有交換律、結(jié)合律等，這是由于矩陣的加法雖是多個(gè)實(shí)數(shù)的加法，但只是數(shù)量的增加，沒有產(chǎn)生質(zhì)的變化。但是矩陣的乘法沒有交換律，這是由于矩陣的乘法是一種基于線性變換的乘法的一種全新的運(yùn)算，它與實(shí)數(shù)的乘法有了本質(zhì)的區(qū)別。

數(shù)學(xué)概念中，還有一類叫做公理化體系。我們要讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析，不能只學(xué)會(huì)方法，要經(jīng)過嚴(yán)格的磨練，使學(xué)生在掌握概念和公理的基礎(chǔ)上，具備演繹推理的能力。

5.3 強(qiáng)化歸納類比訓(xùn)練，培養(yǎng)非邏輯思維能力

許多數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是基于直覺思維、歸納類比等非邏輯思維先做出猜想，再通過邏輯思維對(duì)其做出深入和嚴(yán)密的分析論證。所以，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造思維，包括了邏輯思維和非邏輯思維[3]。例如，歐幾里得空間是代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，它是在向量空間中引入度量性質(zhì)而成，向量的度量性質(zhì)在很多幾何問題中有著特別重要的地位。在三維向量空間中，三維向量本身就具有長度、夾角等度量性質(zhì)，但n維向量不像三維向量那樣有直觀的幾何意義，所以不能將三維向量的長度、夾角等概念直接推廣到n維情形，那么在n維向量空間中，如何引入向量的度量性質(zhì)呢？我們將三維空間中的數(shù)量積這一概念經(jīng)過歸納類比，在n維空間中，引入與之類似的概念 “內(nèi)積”，然后利用內(nèi)積這一工具來定義n維向量的長度和夾角。

總之，我們不能忽視非邏輯思維訓(xùn)練在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性，要把隱藏在數(shù)學(xué)概念、定理等載體后面的數(shù)學(xué)思維方法提練出來，將以演繹推理為主的教材編排體系還原為生動(dòng)具體的數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動(dòng)，包括對(duì)學(xué)生進(jìn)行直覺思維、合理猜想等的訓(xùn)練。只有這樣，學(xué)生才能在主動(dòng)的學(xué)習(xí)過程中，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)，進(jìn)而能靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)解決科研和現(xiàn)實(shí)中遇到的各種問題。

6 結(jié)束語

當(dāng)然，研究生各門課程的教學(xué)改革是一個(gè)長期的過程，需要我們不懈的努力，不斷地對(duì)課程內(nèi)容、特點(diǎn)、應(yīng)用進(jìn)行研究[4]，并分析學(xué)生的特點(diǎn)，以促進(jìn)研究生的數(shù)學(xué)能力的增強(qiáng)以及我們的教學(xué)水平的提高。