中職數(shù)學實施數(shù)形結(jié)合教學的四個路徑

王定

摘 要：數(shù)形結(jié)合是中職數(shù)學最為基本的思想方法，在中職數(shù)學教學中滲透這種思想，有利于學生深入理解數(shù)學概念，提升數(shù)學素養(yǎng)，強化思維能力訓練，同時有利于學生把握數(shù)學本質(zhì)，進行技能提升和智能發(fā)展，還有利于創(chuàng)新型人才的發(fā)展與培養(yǎng)。就中職數(shù)學實施數(shù)形結(jié)合教學的途徑而言，教師應聯(lián)系數(shù)學學科發(fā)展，強化數(shù)形結(jié)合思想認識;借助直觀的數(shù)學圖形感知數(shù)學概念，體會數(shù)形結(jié)合思想的應用價值;根據(jù)圖像分析感知函數(shù)形式，初步培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想;在三角函數(shù)和解析幾何中強化數(shù)形結(jié)合思想。

關鍵詞：中職數(shù)學;數(shù)形結(jié)合;有效性

中圖分類號：G71 ? ? 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1673-9132（2017）05-0087-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.05.053

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學最為重要的思想理念，能夠?qū)崿F(xiàn)抽象與具體的融合，真正做到把抽象數(shù)學知識具體化，將具體現(xiàn)象和問題理論化。從數(shù)學的起源和應用來看，數(shù)學知識是從具體現(xiàn)象和圖形中概括出一般的定理和規(guī)律，數(shù)學應用則是用抽象的數(shù)學知識理論解決各種形式的形象化、具體化的生產(chǎn)、生活問題。中職數(shù)學教學中滲透數(shù)形結(jié)合思想，是培養(yǎng)學生思維和素養(yǎng)的根本要求，也是提高學生學習能力的重要方式，能為學生找到更為方便快捷的解題方式，訓練學生的思維能力，提高學習效率。因此，教師要重視數(shù)形結(jié)合思想在教學中的滲透，采取有效策略，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想，降低數(shù)學學習的難度系數(shù)，實現(xiàn)抽象的數(shù)學知識形象化以及數(shù)學教學的直觀化、生動化，最終提高教學效率。

一、聯(lián)系數(shù)學學科發(fā)展，強化數(shù)形結(jié)合思想認識

讓學生記住一些概念，掌握一些公式、定理，做一些常規(guī)習題較為容易，但是，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維、數(shù)學思想是一項綜合性教育實踐活動，既需要思想方面的引導，又需要意識領域的強化，還要做到理論與實踐相結(jié)合、認識與現(xiàn)實相統(tǒng)一。培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想，首先應該認識數(shù)學的本質(zhì)，從數(shù)學的起源感知數(shù)學的發(fā)展規(guī)律，讓學生能夠真正感知數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學學科發(fā)展和應用研究方面的重要性。在漫長的數(shù)學發(fā)展歷史長河里，“數(shù)”產(chǎn)生的原因是現(xiàn)實生活中有太多的“形”需要進行計算，在處理各種生產(chǎn)生活中的問題時，必須通過一些數(shù)的對接和轉(zhuǎn)化才能實現(xiàn)形的變化和銜接，通過建立數(shù)量關系能夠非常方便、快捷地分析和處理各種問題。

比如，分數(shù)產(chǎn)生就是一個非常典型的例子，遠古人類是打結(jié)計數(shù)，生活或生產(chǎn)中遇到了不能用整段繩子進行表示的問題，產(chǎn)生半數(shù)現(xiàn)象。

針對這個問題，先人創(chuàng)造性地發(fā)明了半數(shù)繩子的表現(xiàn)形式——分數(shù)，也就有了最初的分數(shù)與整數(shù)之間的換算，接著便有了分數(shù)之間的運算。這些數(shù)的確立和界定又需要通過具體的形表呈現(xiàn)和記錄，還有很多的數(shù)量關系以及各種計算整合的技巧和方法都需要通過一些具體的形的方式進行標注，這樣數(shù)量關系從產(chǎn)生到應用就有著非常緊密的關系。讓學生感知數(shù)學的發(fā)展演變，感知數(shù)與形的特殊關系，強化學生的數(shù)形結(jié)合思想，讓學生在學習數(shù)學的時候，看到各種數(shù)學問題，觀察一些數(shù)據(jù)、算式的時候，要想到對應的圖形;看到一些生活中的現(xiàn)象，一些生產(chǎn)應用的實際問題，要想到運用數(shù)來量化分析。

例如，函數(shù)是中職數(shù)學中最為重要的知識，應用非常廣泛。學習掌握函數(shù)的相關知識時，要學會借助繪制圖像的方式將各種函數(shù)關系具體直觀地呈現(xiàn)出來，然后再借助函數(shù)圖像感知函數(shù)的性質(zhì)、特點，把握二者之間的關系。這樣，教師引導學生學習函數(shù)時，不僅能夠降低學習的難度，還能夠教會學生如何分析數(shù)學問題，培養(yǎng)他們的數(shù)形結(jié)合思想，讓學生更加形象、直觀地感知、理解和應用函數(shù)知識。在分析現(xiàn)實生活中的一些特殊商品的價格波動時，可以引導學生運用圖像和具體數(shù)據(jù)的融合，分析一些現(xiàn)象背后的問題。比如，從2015年10月開始，豬肉價格上漲，一直持續(xù)到現(xiàn)在，而與之相對應的活羊及羊肉的價格卻一直呈現(xiàn)明顯的下降趨勢。讓學生根據(jù)這一材料繪制出隨時間變化的豬肉和羊肉價格走勢曲線圖，再進一步向前搜集更多的豬肉和羊肉價格的相關數(shù)據(jù)，繪制出最近幾年豬羊肉價格的發(fā)展趨勢。這樣，能夠?qū)⑵綍r較為凌亂的價格數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成體現(xiàn)一定趨勢和發(fā)展變化規(guī)律的圖形，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，以此分析價格走勢的一般規(guī)律，找到影響價格走勢的基本要素，這樣有利于對以后的發(fā)展變化做出科學合理的預判，從而更好地指導存欄和出欄生產(chǎn)。這樣能夠讓學生從數(shù)學學科的起源、發(fā)展和現(xiàn)實應用等方面感知數(shù)形結(jié)合思想。

二、借助直觀的圖形感知數(shù)學概念，體會數(shù)形結(jié)合思想的應用價值

概念教學是數(shù)學教學的重點和難點，學生感到很多數(shù)學概念較為抽象，不容易理解，不少學生不能快速分析判斷和高效做題，一個重要的原因是未能真正理解概念的內(nèi)涵。概念是思維邏輯的基本要素，也是學生學好數(shù)學的前提，學生記住了概念，不代表能夠真正理解概念，也不能保證他們能夠正確應用好數(shù)學概念。借助直觀形象的圖形引導學生感知理解數(shù)學概念，降低理解難度，提高教學效率，減少認知強度，增加學習樂趣;深入全面掌握數(shù)學概念，細致精準地把握數(shù)學內(nèi)涵。

例如，學習集合的相關教學內(nèi)容時，對于很多高一學生來說，一開始就接觸這樣抽象的數(shù)學概念，感到非常難以理解，涉及元素、子集、集合等關系也是非常迷茫。此時，運用圖像展示的方式幫助學生感知具體概念，既是實現(xiàn)初中與高中教學方式的銜接過渡，也是一開始就滲透數(shù)形結(jié)合思想的具體表現(xiàn)。先用韋恩圖來向?qū)W生展示集合的另一種體現(xiàn)方式。通過平面里面一條封閉曲線的內(nèi)部體現(xiàn)一個集合，接著組織引導學生開展合作討論，兩條封閉曲線可以有幾種位置關系，并鼓勵學生通過實踐來演示，學生非常積極，很快畫出了4種位置關系，如圖：

再組織學生觀察圖中四種位置關系的不同之處，運用剛剛學習的集合概念表述他們的關系，學生很容易就找到了恰當?shù)谋硎稣Z言：（1）中A和B沒有重合的共同部分，也就可以判定他們沒有共同的元素;（2）中兩者有明顯的重合部分，這就說明他們有著一部分共同的元素，還有一些彼此獨有的元素;（3）中B完全將A包括進去了，而圖（4）中的兩個集合A和B是完全重合的。所以，可以再將子集劃分為兩大類：第一，真子集也就是集合A是集合B的子集，而且是集合B中至少有一個元素不屬于集合A，而集合A中的所有的元素都屬于集合B，如圖（3）的關系;第二，集合相同，也就是說，集合A和集合B完全重合，集合A中的所有元素都屬于集合B，且集合B中所有的元素都屬于集合A，如圖（4）的關系。通過韋恩圖能夠讓學生非常直觀地感知集合、元素、真子集、集合相等所有的較為抽象的概念和相互關系，讓學生真正領悟集合的思想，更能夠讓學生以此類比，用集合的思維去分析現(xiàn)實生活中的各種關系。

然后，引導學生去感知集合的運算，讓學生從字面上體會認知“交”“補”“并”的集合間的相互關系和內(nèi)在含義，再指導學生用韋恩圖圖形來表述他們的內(nèi)在含義，從最為直觀的層面來感知分析他們的具體含義，真正理解集合語言，將數(shù)形結(jié)合思想滲透到集合教學的全過程，真正培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思維。

三、根據(jù)圖像分析感知函數(shù)形式，初步培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想

函數(shù)是數(shù)學教學的重點，也是最能體現(xiàn)數(shù)學思想的知識體系。傳統(tǒng)的函數(shù)定義是從運動變化的角度來表述，而近代函數(shù)則是從映射與集合的觀點分析闡釋。雖然學生在初中階段已經(jīng)接觸了簡單的一次函數(shù)和二次函數(shù)，也能感知函數(shù)圖像和函數(shù)的簡單關系。但是，那時的學習內(nèi)容非常簡單，很多學生只是掌握一些基本的概念，會做一些最為簡單的習題，尤其是初中讓學生運用集合語言表述函數(shù)的定義、性質(zhì)，運用代數(shù)的手段判斷函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，這樣抽象的關系很多學生感到很不容易。為此，教師需要先做基本的引導，讓學生逐步了解。

比如，學習了函數(shù)的基本概念以后，教師可以根據(jù)學生的理解和感悟程度，向?qū)W生設置這樣一道習題：下列圖像之中哪個不能夠作為函數(shù)的圖像。

教師可先引導學生從形的角度來強化函數(shù)的定義和性質(zhì)。再比如，研究一次函數(shù)與二次函數(shù)圖像和性質(zhì)時，在初中階段已經(jīng)掌握了基本的描點法做函數(shù)圖像，由此，依照建構(gòu)主義思想，讓學生能夠通過列表、描點、連線幾個基本的步驟，畫出函數(shù)的圖像，再讓學生從數(shù)的角度去感知函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，讓學生借助圖像能夠非常直觀地理解函數(shù)的奇偶和單調(diào)，再進一步鼓勵學生根據(jù)圖形來感知函數(shù)的對稱性，讓學生全面理解函數(shù)的定義和性質(zhì)，既有文字的表述，又有數(shù)據(jù)的反映，更有圖像的呈現(xiàn)，學生也就能夠真正領悟到“數(shù)沒有了形就不能直觀，形離開了數(shù)就難以入微”。

在解函數(shù)問題時，進一步引導學生運用函數(shù)圖像，達到簡潔、直觀、快捷的效果。讓學生學會借助函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)，并真正體會函數(shù)圖像的幾何特征與數(shù)量特征的緊密對應關系，掌握數(shù)形結(jié)合的特征和方法。

例如，已知函數(shù)

若，求a的取值范圍。

分析，如果單一的讓學生根據(jù)函數(shù)定義和條件，學生感到較為抽象，也難以理解，而運用數(shù)形結(jié)合思想，則顯得直觀而又快捷。

由

得

=

由

又，所以，

在同一個坐標系中，分別作出函數(shù)和函數(shù)的圖像，如圖所示，能夠非常直觀地斷定兩個圖像相切，此時

可見，運用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題，能夠根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖像，又可以非常直觀地利用函數(shù)圖像分析解題。解決函數(shù)問題不是教學的根本目的，培養(yǎng)學生的思維方式才是教學的重點，引導學生能夠在具體問題分析時實現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合，建立準確的對應關系，培養(yǎng)他們的數(shù)學素養(yǎng)。

四、在三角函數(shù)和解析幾何中強化數(shù)形結(jié)合思想

三角函數(shù)和解析幾何是中職數(shù)學教學的重要內(nèi)容，占有相當大的比重。三角函數(shù)和解析幾何都是數(shù)形結(jié)合的典范，是滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要載體，是理解和解決數(shù)學問題的重要方式。一直以來，三角函數(shù)是學生理解的難點，也是解決比較數(shù)值大小及最值問題的設題重點。一般都是將函數(shù)化成基本三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的圖像或者單位圓快速解決問題，是數(shù)形結(jié)合思想的典型應用。

例如，設函數(shù)則（ ? ? ）

A 在區(qū)間是增函數(shù)

B 在區(qū)間是減函數(shù)

C 在區(qū)間是增函數(shù)

D 在區(qū)間是減函數(shù)

分析：要想更好地解決這個問題，運用數(shù)形結(jié)合思想是最好的處理方式，畫出函數(shù)的圖像，根據(jù)具體的區(qū)間能夠做出非常直觀的判斷。首先做出函數(shù)的圖像，如下圖，根據(jù)圖像對應的自變量區(qū)間，準確判斷該題的正確選項為A。

中職數(shù)學中，解析幾何是學習的重點，也是考試命題的重點，更是培養(yǎng)學生數(shù)學應用能力的關鍵點。研究解析結(jié)合不僅讓學生學會做一些習題，更為重要的是培養(yǎng)學生的應用能力，使其能夠運用數(shù)學知識分析一些現(xiàn)實問題，同時培養(yǎng)學生的空間想象能力。解決解析幾何問題的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解析幾何教學中滲透數(shù)形結(jié)合思想，提高學生的解題能力，又是強化學生數(shù)形結(jié)合思維方式的重要載體。研究幾何圖形的性質(zhì)和定義，離不開對應的圖像，解決相關的問題，需要畫出相關的圖形，無論是圓雙曲線還是拋物線、雙曲線以及一些空間圖形的性質(zhì)及定理。每年的高考都會設置立體幾何和解析幾何的試題，需要重點強化學生的數(shù)形結(jié)合思想，提升學生考試成績，培養(yǎng)學生數(shù)學素養(yǎng)。

例如，如果直線與曲線無公共點，則 k，b需要滿足的條件是 ? ? ? ? ? ?，在分析講解這道試題的時候，需要強化學生的數(shù)形結(jié)合思想。首先做出函數(shù)的圖像，如圖所示，由此可以看出，

總之，中職數(shù)學最為基本的思想方法是數(shù)形結(jié)合，中職數(shù)學重在培養(yǎng)學生的思維能力，強化他們的數(shù)學思想，以此更好地豐富他們的數(shù)學素養(yǎng)。在教學中重視數(shù)形結(jié)合思想，注重滲透這種思想，能夠化抽象為具體，將枯燥的數(shù)學知識理論學習變得較為生動直觀，激發(fā)他們的數(shù)學學習興趣，展現(xiàn)數(shù)學的魅力。讓學生既能夠深入理解數(shù)學概念，高效解決數(shù)學問題，又能夠強化數(shù)學素養(yǎng)，提升技能，促進自身智能發(fā)展。