基于非周期性維修的二維延伸保證策略研究

徐德凱

(天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)

基于非周期性維修的二維延伸保證策略研究

徐德凱

(天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部，天津 300072)

采用基于可靠性的非周期性預(yù)防性維修策略，構(gòu)建二維延伸性產(chǎn)品保證成本模型，并進(jìn)行產(chǎn)品保證成本優(yōu)化。通過算例驗(yàn)證了模型的有效性，并利用敏感性分析對影響模型結(jié)果的參數(shù)進(jìn)行了評估。結(jié)論表明，在保證期邊界參數(shù)確定的條件下，該策略可以降低二維延伸性產(chǎn)品保證成本。

二維產(chǎn)品保證；非周期預(yù)防性維修；延伸性產(chǎn)品保證

對于汽車制造商而言，在滿足消費(fèi)者延伸性服務(wù)需求的前提下，設(shè)計(jì)一套科學(xué)合理的二維延伸性汽車產(chǎn)品保證服務(wù)策略來降低制造商的延伸性產(chǎn)品保證成本顯得至關(guān)重要。預(yù)防性維修經(jīng)常被看作是提高產(chǎn)品可靠性、增加產(chǎn)品壽命的一種有效手段?；仡檱鴥?nèi)外近20年的文獻(xiàn)，可以將包含保證和預(yù)防性維修的文獻(xiàn)做以下分類：根據(jù)產(chǎn)品保證的維度劃分為一維保證和二維保證；根據(jù)保證期的長短劃分為基礎(chǔ)保證和延伸性保證。國內(nèi)外學(xué)者早期的研究多集中在一維保證[1-7]。

然而對于汽車這樣的產(chǎn)品，僅考慮時(shí)間這一個(gè)維度是不夠的，因?yàn)槠囀请S著時(shí)間和使用程度而不斷老化的，這兩者都對產(chǎn)品的可靠性有影響。因此在實(shí)際中，采用考慮了時(shí)間和使用程度的二維產(chǎn)品保證更加合理。近幾年來已經(jīng)開始有學(xué)者對包含預(yù)防性維修的二維產(chǎn)品保證進(jìn)行研究。SHAHANAGHI等[8]從時(shí)間和使用程度兩個(gè)維度對具有延伸性保證的產(chǎn)品建立了失效模型、預(yù)防性維修效果模型及相應(yīng)的保證成本模型，進(jìn)而建立了相應(yīng)的優(yōu)化模型，得到了最優(yōu)的PM維修次數(shù)和每次的維修程度；還為供應(yīng)商提供了柔性的延伸性保證合同及相應(yīng)的最優(yōu)維修策略。HUSNIAH等[9]將服務(wù)策略延伸到二維產(chǎn)品保證，得到了相應(yīng)的保證成本模型，結(jié)果表明與不包含預(yù)防性維修的服務(wù)策略相比，這種服務(wù)策略更優(yōu)，保證成本更低。HUANG等[10]提出了基于可靠性的非周期性預(yù)防性維修策略，并建立了相應(yīng)的保證成本模型，得到了最優(yōu)的保證區(qū)域。HUANG等[11]從制造商的角度出發(fā)，采用二元失效分布法建立了基礎(chǔ)保證期內(nèi)考慮周期性預(yù)防性維修的二維產(chǎn)品保證成本模型，在預(yù)防性維修間隔和預(yù)防性維修程度確定的條件下得到了最優(yōu)的基礎(chǔ)保證政策。

從文獻(xiàn)回顧可以看出，大部分都集中在一維產(chǎn)品保證的研究，對包含預(yù)防性維修的二維延伸性保證的研究尚不充分。此外，對包含預(yù)防性維修的產(chǎn)品保證研究多采用周期性的預(yù)防性維修策略，非周期性預(yù)防性維修的研究尚不多見[12-13]，但是文獻(xiàn)[10]指出即使進(jìn)行周期性的預(yù)防性維修，產(chǎn)品發(fā)生故障的頻率也會越來越高，周期性的預(yù)防性維修并不是最優(yōu)的服務(wù)策略?；诖?，筆者采用基于可靠性的非周期性預(yù)防性維修策略對保證成本進(jìn)行優(yōu)化。

1 模型假設(shè)

(1)產(chǎn)品是廣義的可修產(chǎn)品，失效率在整個(gè)保證范圍內(nèi)隨著時(shí)間及使用程度遞增。

(2)產(chǎn)品使用率隨著消費(fèi)者的不同而改變，但是同一消費(fèi)者的使用習(xí)慣不變，即產(chǎn)品使用率在產(chǎn)品使用周期中是常數(shù)。

(3)基礎(chǔ)保證期和延伸保證期內(nèi)出現(xiàn)的故障，均采用最小性維修，且維修時(shí)間忽略不計(jì)。

2 二維延伸性產(chǎn)品保證數(shù)學(xué)模型

2.1 二維延伸性產(chǎn)品保證故障模型

在二維產(chǎn)品保證期內(nèi)構(gòu)建產(chǎn)品故障模型主要有3種方法：二元失效分布法、復(fù)合標(biāo)度法[14]和邊際方法。邊際方法實(shí)際上是基于使用率的方法，其應(yīng)用最多[15]，筆者也采用該方法。該方法假設(shè)對于一個(gè)特定的消費(fèi)者來說，產(chǎn)品使用率在產(chǎn)品使用周期中是常數(shù)，但產(chǎn)品使用率Z隨著消費(fèi)者的不同而改變。因此Z是離散變量或概率密度函數(shù)為g(z)的連續(xù)變量。行駛里程u、時(shí)間t和產(chǎn)品使用率Z之間的關(guān)系為：

u(t)=Zt

(1)

對于一個(gè)特定的產(chǎn)品使用率Z=z，汽車首次失效的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)用h(t|z)表示，即失效率是使用時(shí)間和產(chǎn)品使用率的函數(shù)。ISKANDAR等[16]指出產(chǎn)品的失效是產(chǎn)品使用時(shí)間、使用程度、使用率等因素共同作用的結(jié)果，并提出了如下失效率函數(shù):

h(t|z)=θ0+θ1z+θ2t+θ3u(t)

(2)

參數(shù)θ0，θ1,θ2,θ3可以根據(jù)歷史維修數(shù)據(jù)、保證索賠數(shù)據(jù)通過多元線性回歸的方法估計(jì)求得。根據(jù)式(1)可以將式(2)簡化為：

h(t|z)=θ0+θ1z+(θ2+θ3z)t

(3)

2.2 二維延伸性產(chǎn)品保證策略描述

假設(shè)基礎(chǔ)保證期和延伸保證期內(nèi)產(chǎn)品出現(xiàn)故障均采用免費(fèi)的最小性維修，且維修時(shí)間忽略不計(jì)，因此每個(gè)預(yù)防性維修區(qū)間內(nèi)的失效可以定義為一個(gè)非均勻泊松過程，且強(qiáng)度函數(shù)λ(t|z)=h(t|z)。當(dāng)汽車的可靠性降低到某個(gè)預(yù)先設(shè)定的值R時(shí)，就對汽車進(jìn)行預(yù)防性維修，這意味著在每一個(gè)預(yù)防性維修區(qū)間的末端產(chǎn)品的可靠性都等于R。由產(chǎn)品可靠性和失效率的關(guān)系可得：

(4)

vi=vi-1+δ(m)(Ti-Ti-1)

(5)

式中：vi為第i次預(yù)防性維修后部件的虛擬壽命；Ti為第i次預(yù)防性維修的時(shí)間；m為預(yù)防性維修的程度(0≤m≤M)；m=0表示沒有進(jìn)行預(yù)防性維修，此時(shí)δ(0)=1；m=M表示完美預(yù)防性維修，此時(shí)δ(M)=0；δ(m)為虛擬壽命削減因子，是預(yù)防性維修程度m的函數(shù)。

δ(m)=(1+m)e-m

(6)

對于特定時(shí)間t，部件的虛擬壽命v(t)=vi-1+t-Ti-1，其中Ti-1≤t≤Ti。因?yàn)関0=0,T0=0，由式(5)可得：

v(t)=t-[1-δ(m)]Ti-1

(7)λi(t|z)=hi(v(t)|z)=θ0+θ1z+(θ2+θ3z)v(t)

(8)

由式(4)可得非周期預(yù)防性維修的時(shí)間安排為：

(9)

2.3 二維延伸性產(chǎn)品保證成本模型

2.3.1 Z=z條件下的二維延伸保證成本

當(dāng)部件發(fā)生故障時(shí)采用最小性維修，延伸保證期間修正性維修的成本可表示為:

(10)

式中：K為延伸保證期間所進(jìn)行的預(yù)防性維修的次數(shù)；τ1為基礎(chǔ)保證的實(shí)際結(jié)束時(shí)間；τ2為延伸保證的實(shí)際結(jié)束時(shí)間。K，τ1，τ2的表達(dá)式分別為：K=argmax {Ti≤τ2|i∈N+}-argmin {τ1≤Ti|i∈N+},τ1=min {WB,UB/z}，τ2=min {WE,UE/z}。其中argmax {Ti≤τ2|i∈N+}表示滿足Ti≤τ2的最大的i，argmin {τ1≤Ti|i∈N+}表示滿足τ1≤Ti的最小的i。

延伸保證期間預(yù)防性維修所花費(fèi)的成本為：

ECpm=cpmK

(11)

產(chǎn)品使用率Z=z的條件下，制造商在延伸保證期間所承擔(dān)的總的保證成本為：

EC(Ω|z)=ECr+ECpm

(12)

2.3.2 無使用率約束條件下的延伸保證成本

(13)

2.4 二維延伸保證成本優(yōu)化

假設(shè)R0為制造商根據(jù)市場競爭和對自身產(chǎn)品定位所設(shè)定的能夠接受的最低可靠性，則二維延伸保證成本優(yōu)化問題可看作為如下規(guī)劃問題:

min EC(Ω)

(14)

s.t. TK≤τ2

(15)

0≤R0≤R≤1

(16)

式(15)表示最后一次預(yù)防性維修不能超過延伸保證的實(shí)際結(jié)束時(shí)間；式(16)表示產(chǎn)品可靠性不得低于制造商所能接受的最低可靠性水平。

3 數(shù)值計(jì)算

不同可靠性水平下的延伸性保證成本如表1所示。從表1可以看出，二維延伸保證成本隨著可靠性的提高而不斷增加，即二維延伸保證成本是可靠性的增函數(shù)。制造商設(shè)定的可靠性水平越高，則承擔(dān)的二維延伸保證成本也越高。因此，制造商最優(yōu)的決策是將可靠性邊界參數(shù)設(shè)置為可以接受的最低可靠性水平，即R=R0。

表1 不同可靠性水平下的延伸性保證成本

二維延伸性汽車產(chǎn)品保證策略如表2所示，其中Cpm(R*,K)為基于可靠性的非周期性預(yù)防性維修下的二維延伸性產(chǎn)品保證成本；Cpm(K)為周期性預(yù)防性維修下的二維延伸性產(chǎn)品保證成本；Cm為只采用最小性維修下的二維延伸性產(chǎn)品保證成本。從表2可以看出，隨著產(chǎn)品使用率的增加，二維延伸性保證成本先逐漸增加又緩慢減少，在使用率等于平均使用率時(shí)達(dá)到最大值。這是因?yàn)殡S著產(chǎn)品使用率的增加，實(shí)際的產(chǎn)品保證期在逐漸縮短。此外，在制造商采用最優(yōu)策略的前提下，對于不同使用率的消費(fèi)者，采用筆者所提出的基于可靠性的非周期性預(yù)防性維修策略與采用周期性預(yù)防性維修策略和只采用最小性維修的維修策略相比，保證成本更低，從而驗(yàn)證了模型的有效性。

表2 二維延伸性汽車產(chǎn)品保證策略

Cr和Cpm的比值對保證成本優(yōu)化效果的影響如表3所示，可以看出隨著Cr和Cpm比值的增加，保證成本降低的百分比在不斷增加。這意味著當(dāng)預(yù)防性維修的成本相對于最小性維修的成本越小時(shí)，筆者所采用策略的優(yōu)化效果就越明顯。值得注意的是，當(dāng)Cr/Cpm≤1.69時(shí)，Δ2為負(fù)值，這意味著預(yù)防性維修相對于最小性維修來說并不總是最優(yōu)的維修策略。只有當(dāng)Cr和Cpm之間滿足一定的關(guān)系時(shí)，汽車制造商才可以通過采用預(yù)防性維修的策略來降低延伸性產(chǎn)品保證成本。

表3 Cr和Cpm的比值對保證成本優(yōu)化效果的影響

4 結(jié)論

通過總結(jié)近年來國內(nèi)外關(guān)于延伸性產(chǎn)品保證策略研究成果，進(jìn)行了基于可靠性的非周期性預(yù)防性維修的二維延伸性產(chǎn)品保證策略研究。結(jié)果表明，筆者采用的維修策略比采用周期性預(yù)防性維修策略下的二維延伸性產(chǎn)品保證成本更低；但與只采用最小性維修的策略相比，預(yù)防性維修的策略并不總是最優(yōu)的。筆者研究中還存在以下不足：①研究過程中把每次預(yù)防性維修的程度和成本設(shè)置成常數(shù)，以后的研究可以把每次預(yù)防性維修的程度看作一個(gè)變量，把每次預(yù)防性維修的成本看作是維修程度的函數(shù)，維修程度越大，相應(yīng)的成本也越大。②筆者以汽車制造商延伸性保證成本最小化為目標(biāo)，事實(shí)上成本最小化并不能保證制造商利潤最大化，保證政策和維修策略都會對產(chǎn)品的銷量產(chǎn)生影響。因此，以汽車制造商利潤最大化為目標(biāo)，考慮產(chǎn)品保證彈性的研究是未來需要進(jìn)一步研究的內(nèi)容。

[1] CHUN Y H.Optimal number of periodic preventive maintenance operations under warranty[J].Reliability Engineering & System Safety, 1992,37(3):223-225.

[2] JACK N,DAGPUNAR J.An optimal imperfect maintenance policy over a warranty period[J].Microelectronics Reliability, 1994,34(3):529-534.

[3] SAHIN I,POLATOGLU H.Maintenance strategies following the expiration of warranty[J].IEEE Transactions on Reliability, 1996,45(2):220-228.

[4] DJAMALUDIN I, MURTHY D N P,KIM C S.Warranty and preventive maintenance[J].International Journal of Reliability Quality & Safety Engineering, 2001，8(2):89-107.

[5] KIM C S, DJAMALUDIN I,MURTHY D N P.Warranty and discrete preventive maintenance[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2004,84(3):301-309.

[6] PASCUAL R,ORTEGA J H.Optimal replacement and overhaul decisions with imperfect maintenance and warranty contracts[J].Reliability Engineering & System Safety, 2006，91(2):241-248.

[7] CHANG W L,LIN J H.Optimal maintenance policy and length of extended warranty within the life cycle of products[J].Computers & Mathematics with Applications, 2012，63(1):144-150.

[8] SHAHANAGHI K, NOOROSSANA R, JALALI-NAINI S G, et al.Failure modeling and optimizing preventive maintenance strategy during two-dimensional extended warranty contracts[J].Engineering Failure Analysis, 2013(28):90-102.

[9] HUSNIAH H, PASARIBU U S,ISKANDAR B P. A servicing strategy involving imperfect repair for two-dimensional warranties[C]∥2013 3rd International Conference on Instrumentation Control and Automation (ICA).[S.l.]:IEEE,2013:280-285.

[10] HUANG Y S, CHEN E,HO J W. Two-dimensional warranty with reliability-based preventive maintenance[J]. IEEE Transactions on Reliability, 2013，62(4):898-907.

[11] HUANG Y S, GAU W Y,HO J W. Cost analysis of two-dimensional warranty for products with periodic preventive maintenance[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2015，134(2):51-58.

[12] CHANG W L, LIN J H. Optimal maintenance policy and length of extended warranty within the life cycle of products[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2012,63(1):144-150.

[13] WANG Z, HUANG H Z, DU X. Optimal design accounting for reliability, maintenance, and warranty[J]. Journal of Mechanical Design, 2010,132(1):11007-11014.

[14] BLISCHKE W R, KARIM M R,MURTHY D N P. Warranty data collection and analysis[M].[S.l.]: Springer Science & Business Media,2011:205-234.

[15] JACK N, ISKANDAR B P,MURTHY D N P. A repair-replace strategy based on usage rate for items sold with a two-dimensional warranty[J]. Reliability Engineering & System Safety, 2009，94(2):611-617.

[16] ISKANDAR B P, MURTHY D N P,JACK N. A new repair-replace strategy for items sold with a two-dimensional warranty[J]. Computers & Operations Research, 2005，32(3):669-682.

XU Dekai:Postgraduate;Department of Management and Economics, Tianjin University,Tianjin 300072, China.

Two-dimensional Extended Warranty Strategy Based on Non-periodic Preventive Maintenance

XUDekai

A non-periodic preventive maintenance based on reliability was established to optimize the extended warranty cost. It built two-dimensional extension of product cost model and product cost optimization. The effectiveness of the model is verified by an example and the parameters affecting the model results are evaluated by sensitivity analysis.The results showed that the strategy in this paper could effectively reduce the corresponding extended warranty cost under the condition that the boundary parameters of the guarantee period are determined.

two-dimensional warranty; non-periodic preventive maintenance; extended product warranty

2095-3852(2016)06-0708-04

A

2016-06-10.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(71171142).

F270

10.3963/j.issn.2095-3852.2016.06.014

收稿日期：徐德凱(1990-)，男，河南安陽人，天津大學(xué)管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部碩士研究生.