基于松弛交替投影的MIMO雷達相位編碼波形設(shè)計

馮 翔,陳志坤,李風從,趙宜楠

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,黑龍江哈爾濱150001)

基于松弛交替投影的MIMO雷達相位編碼波形設(shè)計

馮 翔,陳志坤,李風從,趙宜楠

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院,黑龍江哈爾濱150001)

任務(wù)場景日趨復(fù)雜給MIMO(Mutiple-Input Mutiple-Output)雷達帶來諸多挑戰(zhàn).為應(yīng)對強散射體遮蔽干擾、陣元間波形互擾及特定頻帶干擾等復(fù)雜電磁環(huán)境,該文提出一種松弛迭代譜擬合交替投影算法來設(shè)計相位編碼波形.該算法基于功率譜擬合及交替投影框架,并引入擴展的加速因子；首先,憑借功率譜與非周期相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換關(guān)系,將相關(guān)特性擬合問題轉(zhuǎn)化為功率譜近似問題；然后,構(gòu)建理想波形頻譜并利用松弛機制擴展優(yōu)化投影區(qū)；最后,利用快速傅里葉變換及加速交替投影機制迭代優(yōu)化.計算機仿真表明,該算法運算效率高、可有效避免局部停滯,與當前流行算法相比更適合在線波形設(shè)計.

MIMO雷達；波形設(shè)計；功率譜逼近；相位編碼；交替投影

1 引言

為應(yīng)對復(fù)雜任務(wù)場景,雷達自適應(yīng)性顯得尤為重要.波形分集可視為自適應(yīng)性的一種體現(xiàn)且成為目前研究的熱點[1～3].對于MIMO雷達而言,波形分集既能提高目標識別能力又能提高分辨力,成為提升雷達自適應(yīng)性的重要切入點[4～6].避免強散射體遮蔽干擾需發(fā)射波形具備較低的自相關(guān)旁瓣；降低MIMO雷達陣元間相互影響要求發(fā)射波形具有低自、互相關(guān)旁瓣特性；抑制特定頻帶電磁干擾要求發(fā)射波形頻譜具備稀疏特性；另外,為充分利用發(fā)射機功率,恒模特性亦成為客觀要求[7].

文獻[8]針對恒模波形設(shè)計提出循環(huán)類算法,其利用相關(guān)函數(shù)與功率譜之間的傅里葉變換關(guān)系來迭代優(yōu)化所定義的目標函數(shù),該類算法耗時長、相關(guān)旁瓣較高而難以滿足實際需要；但其給后續(xù)研究帶來了眾多啟示.文獻[9]利用循環(huán)算法求解最小化加權(quán)積分旁瓣電平和功率譜密度問題以獲得滿足峰均比約束的波形；文獻[10～12]引入交替投影框架來獲取滿足需求的恒模波形,但算法初始化導(dǎo)致求解穩(wěn)定性較差而影響收斂.文獻[13]利用序列二次規(guī)劃與加權(quán)迭代方法求解波形設(shè)計問題,但在多陣元情形計算復(fù)雜度較高且易出現(xiàn)梯度矩陣奇異而難以收斂.文獻[14]利用改進遺傳算法設(shè)計MIMO雷達波形；文獻[15]針對遺傳算法、粒子群算法等提出改進策略；但該類算法往往因群體多樣性較差而收斂停滯.因此,恒模約束下耗時少、穩(wěn)定性高且具有較佳性能的算法成為當前波形設(shè)計的迫切要求.

該文基于功率譜擬合與交替投影框架,引入松弛迭代譜擬合交替投影算法(RISAAP,Relaxed Iterative Spectrum Approximation Alternating Projection method),著力解決MIMO雷達復(fù)雜場景問題.此算法利用功率譜與非周期相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換關(guān)系,將相關(guān)函數(shù)擬合問題轉(zhuǎn)化為功率譜近似問題,依靠松弛機制擴展集合優(yōu)化投影區(qū),憑借快速傅里葉變換在時域、頻域交替迭代優(yōu)化.該算法運算效率高、可有效避免局部停滯且有較高魯棒性,與當前流行算法相比更適合在線波形設(shè)計.

2 問題描述與分析

假定具有M個發(fā)射陣元的MIMO雷達系統(tǒng),其基帶恒模相位編碼波形矩陣可表示為:

X=[x1x2…xM]∈N×M

(1)

其中,第m個陣元的發(fā)射波形序列可表示為xm=[ejψ1ejψ2… ejψN]T,ψn∈[0,2π)為編碼相位,N為序列碼長.考慮到接收端濾波器輸出可視為波形相關(guān)函數(shù)與雷達場景的卷積,那么可令α(x)=[α0(x) …αN-1(x) 0α-N+1(x) …α-1(x)]T表示某陣元波形的自相關(guān)函數(shù)序列；假定感興趣的待測目標位于第q個距離單元,那么第l個單元中的強散射體可能會對第q個單元目標造成干擾,進而影響目標檢測,而這種影響是通過波形自相關(guān)旁瓣來實現(xiàn)的[12].為最小化強散射體旁瓣影響,應(yīng)使發(fā)射波形的自相關(guān)函數(shù)序列滿足如下條件:

(2)

另外,MIMO雷達陣元間波形互擾嚴重影響雷達獲取目標信息的性能,為抑制各陣元波形間互擾,即需設(shè)計波形具有低自、互相關(guān)旁瓣特性[10].以第n個采樣延時的發(fā)射波形相關(guān)矩陣Rn(X)為例(Rn(X)=(XHU(n)X)T,U(n)表示偏移矩陣,(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置),其非主對角線元素應(yīng)盡可能逼近零,而主對角元素應(yīng)逼近理想波形自相關(guān)表示:

(3)

(4)

(5)

3 波形設(shè)計

3.1 目標函數(shù)構(gòu)造

首先,對于抑制強散射體旁瓣遮蔽問題,以待設(shè)計波形x∈N×1為例,需滿足目標函數(shù):

(6)

(7)

(8)

由文獻[1]中“等價性”知,上式優(yōu)化問題可簡化為:

(9)

從而使得抑制強散射體旁瓣遮蔽的波形設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為待設(shè)計波形頻譜與理想波形頻譜的逼近問題.

其次,為解決MIMO雷達陣元間波形互擾問題構(gòu)造目標函數(shù),考慮到旁瓣干擾存在于各個延遲時刻,因此由式(3)可得目標函數(shù)為:

(10)

式中‖·‖F(xiàn)表示矩陣Frobenius范數(shù)；利用Parseval定理可知上述目標函數(shù)等價為:

(11)

(12)

第三,為抑制特定頻帶電磁干擾,即考慮稀疏頻譜波形設(shè)計問題,由式(5)得目標函數(shù)形式:

(13)

由上可知,抑制特定頻帶電磁干擾的波形設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為發(fā)射波形頻譜應(yīng)在該頻帶區(qū)間內(nèi)具備較低的頻譜幅度,從而使得目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為逼近優(yōu)化問題.

最后,為充分利用發(fā)射機功率即要求發(fā)射波形滿足恒模約束,從而有:

(14)

以上目標函數(shù)和約束可視為波形設(shè)計中的各個任務(wù),對于MIMO雷達某任務(wù)場景而言,復(fù)雜任務(wù)可視為包括上述目標函數(shù)或約束中的一個或多個.

3.2 波形求解方法

恒模約束往往導(dǎo)致波形設(shè)計問題非凸,循環(huán)算法或迭代算法因隨機初始化而收斂緩慢且難以獲得全局解[8,16,17],這使得針對不同任務(wù)需求的恒模波形設(shè)計問題求解較為困難.由文獻[18]知松弛交替投影機制能夠加快收斂且具有較好收斂性能.

假定集合A代表恒模約束集合,集合B代表各目標函數(shù)集合,構(gòu)造變量y到集合A的投影ProjA(y)及變量x到集合B的投影ProjB(x),如下:

(15)

(16)

其中,d(i,j)=‖i-j‖表示變量i和j間的距離；那么,交替投影機制簡述為:首先選定集合A中某元素x1,求取其到集合B中投影,即選取集合B中元素y1使得y1=ProjB(x1),即d(x1,y1)最?。蝗缓?再以y1為起點,求取其到集合A中投影,即選取集合A中元素x2=ProjA(y1)；這樣周而復(fù)始實現(xiàn)迭代映射,存在d(xk+1,yk+1)≤d(xk,yk+1)≤d(xk,yk),當d(xk+1,yk+1)足夠小時,xk+1或yk+1將可能同時滿足集合A、B的特性.但恒模非凸條件下,迭代映射后期收斂緩慢,故引入松弛交替投影框架Tδ(·),λ:A→B→A,如下:

Tδ(·),λx=ProjA(x+λ·δ(x)·(ProjA(ProjB(x))-x))

(17)

式中λ∈(0,1]表示松弛算子；δ(·)表示加速因子,有如下不同形式:

(18)

(19)

通過加速因子和松弛算子,松弛交替投影機制能夠利用各次迭代映射投影元之間的關(guān)系(如projA(projB(x))-projB(x)和ProjA(ProjB(x))-x分別表示迭代映射投影元間的差值)來對原交替投影問題的解進行松弛和優(yōu)化,進而對非凸問題求解過程中的局部停滯起到了跳出局部區(qū)域的作用.

針對抑制特定旁瓣區(qū)間強散射體遮蔽干擾的恒模波形設(shè)計問題,構(gòu)造優(yōu)化問題如下:

(20)

則相應(yīng)松弛迭代譜擬合交替投影算法框架見算法1.

算法1 針對抑制特定旁瓣區(qū)間強散射體遮蔽干擾的RISAAP算法

步驟1 隨機初始化:x(k)∈N×1；

步驟2 基于當前迭代解x(k)利用以下公式獲得后續(xù)迭代解x(k+1):

步驟4 重復(fù)步驟2和步驟3,直到循環(huán)迭代達到總數(shù)K或滿足算法迭代誤差閾值ε；

針對抑制MIMO雷達陣元間波形互擾的恒模波形設(shè)計問題,構(gòu)造此任務(wù)場景下的優(yōu)化問題如下:

(21)

則相應(yīng)松弛迭代譜擬合交替投影算法框架見算法2.

算法2 針對抑制陣元間波形互擾的MDRISAAP(Multi-Dimensional RISAAP)算法

步驟1 隨機初始化:

X(1)=[x1x2…xM]∈N×M；

步驟2 基于當前迭代解X(k)利用以下公式獲得后續(xù)迭代解X(k+1):

其中矩陣D∈2N×M中各元素；

步驟5 重復(fù)步驟2、3和4,直到循環(huán)迭代達到總數(shù)K或滿足算法迭代誤差閾值ε；

針對聯(lián)合抑制特定頻帶電磁干擾和距離旁瓣干擾的恒模波形設(shè)計問題,在此引入權(quán)值聯(lián)合多目標優(yōu)化RISAAP算法,權(quán)值通常取γ∈(0,1),如下所示:

(22)

則相應(yīng)松弛迭代譜擬合交替投影算法框架見算法3.

算法3 針對聯(lián)合抑制特定頻帶電磁干擾及相關(guān)旁瓣干擾的MDRISAAP算法

步驟1 隨機初始化:X(1)=[x1x2…xM]∈N×M；

步驟2 基于當前迭代解X(k)利用以下公式獲得后續(xù)迭代解X(k+1):

其中矩陣D∈2N×M中各元素；

步驟5 重復(fù)步驟2、3和4,直到循環(huán)迭代達到總數(shù)K或滿足算法迭代誤差閾值ε；

4 實驗仿真

本節(jié)就上述三個波形設(shè)計任務(wù)場景,將所提算法與當前流行算法比較,仿真平臺為i7-4770 CPU 3.40GHz,Matlab R2014a,64位.

4.1 抑制特定旁瓣區(qū)間強散射體遮蔽干擾的波形設(shè)計

假定單旁瓣干擾區(qū)間Qr1=[1:30]及多旁瓣干擾區(qū)間Qr2=[20:30]∪[40:60],波形序列碼長為150；將算法1中RISAAP與文獻[8]中WeCAN、文獻[12]中ISAA及梯度算法PONLP(ISAA)比較,算法迭代終止條件為K=1000或ε=10-13.另定義自相關(guān)幅值電平(ACL,Autocorrelation Level),如下:

(23)

本節(jié)采用100次獨立重復(fù)試驗來統(tǒng)計分析算法性能:定義平均耗時及抑制區(qū)間內(nèi)平均自相關(guān)幅值電平為:Aver-time(s)和 Aver-ACL(dB).不同算法抑制特定旁瓣區(qū)間干擾性能比較如表1、圖1所示:

表1 不同算法抑制特定旁瓣區(qū)間干擾性能比較

從表1知:對于單、多旁瓣區(qū)間干擾抑制,RISAAP在耗時和Aver-ACL方面都獲得了比ISAA、PONLP(ISAA)和WeCAN較佳的性能優(yōu)勢.從表1中單旁瓣區(qū)間抑制可知,RISAAP耗時僅為WeCAN的約2.3 %,Aver-ACL相較WeCAN提升約261dB；RISAAP相較ISAA耗時優(yōu)勢不明顯,但Aver-ACL提升約84dB；PONLP(ISAA)首先利用ISAA獲得初始解,然后利用梯度算法迭代優(yōu)化,其耗時為ISAA的約2倍且獲得約9dB提升.同樣由多旁瓣區(qū)間抑制可得:RISAAP耗時僅為WeCAN的約4%,Aver-ACL相較WeCAN提升約185dB；RISAAP與ISAA相比耗時不明顯,但RISAAP所得Aver-ACL提升約100dB；PONLP(ISAA)耗時為ISAA的約1.8倍且Aver-ACL改善約56dB.對于恒模約束下的非凸問題,ISAA、WeCAN在迭代優(yōu)化后期收斂緩慢而陷入局部最優(yōu)；PONLP(ISAA)依靠ISAA和梯度算法迭代優(yōu)化,仍然難以避免局部停滯；而RISAAP算法憑借松弛算子和加速因子能夠擺脫局部收斂束縛,逼近全局最優(yōu).本節(jié)采用100次獨立重復(fù)試驗并取統(tǒng)計平均結(jié)果分析,而非僅取最優(yōu)結(jié)果表示,從圖1可看出所提算法的穩(wěn)定性.

4.2 降低陣元間波形互擾的波形設(shè)計

假定MIMO雷達具有3個發(fā)射陣元,且各陣元波形序列碼長均為64,將算法2中MDRISAAP與文獻[8]中Multi-CAN、文獻[10]中MDISAA比較,算法迭代終止條件為K=10000或ε=10-4.以第1個陣元為例作不同算法優(yōu)化波形自相關(guān)、互相關(guān)幅度(第1、3陣元波形互相關(guān))性能比較,見圖2.

另外,分別以各陣元波形序列碼長40、64、128、256、512、1024為例,采用100次獨立重復(fù)試驗來比較Multi-CAN、MDISAA 、MDRISAAP耗時性能,得到針對不同序列長度各算法進行100次試驗總耗時比較如表2所示:

表2 不同序列長度各算法耗時比較

由圖2知:MDRISAAP和MDISAA相較Multi-CAN獲得了更低的自相關(guān)旁瓣幅度,而對于互相關(guān)幅度三種算法差異并不明顯；由表2知:對于同一長度序列(以碼長40為例)MDRISAAP耗時2.05s明顯少于Multi-CAN和MDISAA,體現(xiàn)了低耗時性能；隨波形序列碼長增大,MDRISAAP與MDISAA、Multi-CAN差異愈見突出(當碼長為1024時,MDRISAAP耗時僅為MDISAA的約16.5%、Multi-CAN的約10%).這是由于松弛交替投影機制在大長度序列迭代優(yōu)化過程中將多維問題進行松弛轉(zhuǎn)換,從而使得計算復(fù)雜度呈現(xiàn)較低的一種趨勢,這也說明所提RISAAP框架更適合波形在線設(shè)計.

4.3 聯(lián)合抑制特定頻帶電磁干擾及相關(guān)旁瓣干擾的波形設(shè)計

假定MIMO雷達有3個發(fā)射陣元,各陣元波形時寬為704μs,采樣頻率為710KHz,則各陣元波形序列碼長為500.假設(shè)電磁干擾分散存在于頻帶[160,180]∪[200,260]∪[280,350]∪[370,400]∪[420,450]kHz中,則其通帶處于[0,710]kHz中剩余部分.將算法3中MDRISAAP與文獻[11]中MDISAA及文獻[16]中CIA比較,各算法均采用相同隨機初始化方式,且設(shè)定算法終止條件為K=1000或ε=10-4,聯(lián)合優(yōu)化權(quán)值γ=0.45；另定義自相關(guān)旁瓣峰值(ASP,Autocorrelation Sidelobe Peak)、阻帶功率峰值(PSP,Peak Stopband Power)及互相關(guān)旁瓣峰值(CSP,Crosscorrelation Sidelobe Peak)如下:

(24)

(25)

上式中PSDstop表示特定頻帶區(qū)間中功率譜密度值.

n=1,2,…,N-1;m1≠m2

(26)

cn(xm1,xm2)表示在第n個采樣延時兩陣元發(fā)射波形間的互相關(guān).利用算法所得各陣元波形的ASP、PSP、CSP性能指標取均值,得到CIA、MDISAA及MDRISAAP性能比較如表3所示；選取第一個陣元為例作自相關(guān)、互相關(guān)幅度(第1、2陣元波形互相關(guān))及特定頻帶干擾抑制性能比較如圖3所示.

由表3知:對于聯(lián)合抑制特定頻帶電磁干擾和相關(guān)旁瓣干擾的多目標聯(lián)合優(yōu)化波形設(shè)計問題,CIA耗時較長(4.110s),分別是MDISAA和MDRISAAP的約5倍和約17倍,且在PSP指標下差于MDISAA和MDRISAAP,而其ASP、CSP指標與MDISAA和MDRISAAP相差不大；當陣元數(shù)目較多或波形序列長度較大時將可能增加CIA計算復(fù)雜度,且易陷入局部停滯而導(dǎo)致收斂緩慢、耗時較長.MDRISAAP在PSP、ASP、CSP性能評價方面均略優(yōu)于MDISAA,這是由于MDRISAAP憑借其加速因子和松弛算子能夠優(yōu)化局部弱收斂區(qū),耗時僅為MDISAA的約28.3%.從圖3(a)和3(b)可知三種算法對于抑制旁瓣干擾性能差異不明顯,但從圖3(c)可看出,MDRISAAP和MDISAA相比CIA獲得了更低的抑制幅度,這與表3數(shù)據(jù)一致.

表3 不同算法針對聯(lián)合抑制特定頻帶干擾及相關(guān)旁瓣干擾性能比較

性能評價指標PSP(dB)ASP(dB)CSP(dB)耗時(s)CIA?10．635?17．609?18．2974．110MDISAA?18．227-18．022-18．6240．838MDRISAAP-21．900-19．191-20．1980．237

5 結(jié)論

實驗仿真表明,針對恒模、強散射體遮蔽干擾、陣元間波形互擾及特定頻帶電磁干擾等復(fù)雜任務(wù)場景,所提算法運算效率高、可有效避免局部停滯且具有較高魯棒性,與當前流行算法相比更適合在線波形設(shè)計；這與松弛迭代譜擬合交替投影的機制密切相關(guān).但如何妥善聯(lián)系各個任務(wù)以滿足盡可能多的設(shè)計要求,這將成為下一個研究重點；對于復(fù)雜任務(wù)場景而言,增多子任務(wù)意味著問題求解復(fù)雜度可能成倍增加,這都極其考驗算法穩(wěn)定性和實時性.

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馮 翔 男,1988年1月出生,山東濰坊人.現(xiàn)為哈爾濱工業(yè)大學(xué)電子與信息工程學(xué)院博士研究生.主要研究方向為認知雷達、雷達自適應(yīng)信號處理、機器學(xué)習(xí)等.

E-mail:fengxiang230316@163.com

陳志坤 男,1982年7月出生,福建漳州人,現(xiàn)為哈爾濱工業(yè)大學(xué)博士研究生,主要研究方向為雷達信號處理、電子偵察技術(shù).

E-mail:chih-quinn-chen@yeah.net

李風從 男,1985年12月出生,湖北黃石人.博士,現(xiàn)為湖北工業(yè)大學(xué)講師.主要研究方向為自適應(yīng)信號處理.

E-mail:xialulee@sina.com

趙宜楠(通信作者) 男,1977年2月出生,黑龍江哈爾濱人.現(xiàn)為哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)信息工程研究所教授、博士生導(dǎo)師.主要研究方向為新體制雷達、自適應(yīng)信號處理.

E-mail:hrbzyn@163.com

Phase-Coded Waveform Design via Relaxed Alternating Projection for MIMO Radar

FENG Xiang,CHEN Zhi-kun,LI Feng-cong,ZHAO Yi-nan

(SchoolofElectronicsandInformationEngineering,HarbinInstituteofTechnology,Harbin,Heilongjiang150001,China)

The sophisticated scenarios always challenge MIMO(Mutiple-Input Mlitiple-Output) radar.A relaxed iterative spectrum approximation alternating projection method (RISAAP) is proposed to design phase-coded waveforms,for suppressing high range sidelobes of strong scatters,electromagnetic interference in specified frequencies and cross-interference from different signals.This method is based on power spectral density (PSD) approximation and alternating projection with extended accelerating factor.Firstly,the correlation fitting is transformed into PSD approximation via FFT between the aperiodic correlation function and PSD.Secondly,the desired spectrum constraint is formulated and the projection space is expanded by its relaxed mechanism.Finally,the iterative optimization is conducted via FFT and accelerated alternating projection.Simulations demonstrate that this method could obtain efficient performance and avoid local stagnation which seems more convenient for waveform design on-the-fly than some prevalent algorithms.

MIMO radar; waveform design; power spectral density approximation; phase-coded; alternating projection

2015-03-30；

2016-2-25;責任編輯：梅志強

國家自然科學(xué)基金(No. 61371181 )

TN957.51

A

0372-2112 (2016)12-2981-08

??學(xué)報URL:http://www.ejournal.org.cn

10.3969/j.issn.0372-2112.2016.12.024