Yablo悖論的循環(huán)性與不一致性問題

趙 藝 熊 明

Yablo悖論的循環(huán)性與不一致性問題

趙 藝 熊 明

Yablo悖論是除說謊者悖論外最具爭議的語義悖論。目前，Yablo悖論的研究歸結為兩個問題：Yablo悖論是類似于說謊者悖論那樣具有循環(huán)性的悖論嗎？Yablo悖論是嚴格意義上的悖論嗎？我們通過厘清第一個問題的相關爭論，指出需要考慮悖論產生矛盾的循環(huán)性條件，進而指出Yablo悖論與說謊者悖論雖有不同的自指性，卻具有相同的循環(huán)性。對第二個問題，我們從純語義的角度對Yablo悖論的兩種形式化進行分析，闡明Yablo悖論的ω-不一致性所在，進而指出在討論Yablo悖論產生矛盾的循環(huán)性條件時，應予區(qū)分是在算術的標準模型下還是在非標準模型下。

Yablo悖論 循環(huán)性 自指性 不一致性

一、引言

是什么導致一些語句產生悖論？羅素認為是自指性。然而，哥德爾和塔斯基并不認為自指性是悖論產生的充分條件。這一點可以用如誠實者語句“我所說的這句話是真的”這樣的簡單日常語句來證明。但是，很多學者都同意悖論產生的必要條件是語句的自指性。這使得人們理所當然地認為要構造一個無矛盾的語言就是拋棄一切自指性的語句。然而，是否存在一個悖論它是非自指的呢？如果答案是肯定的，那么，上述想法就是徒然的了。Yablo悖論就是在這樣的思考中被提出來，并試圖讓那些簡單認為悖論一定是自指的人大吃一驚。當然，任何一個挑戰(zhàn)傳統(tǒng)觀點的新思想都必然面臨最嚴謹?shù)臋z驗和大量的爭論，而這些爭論不僅使得Yablo悖論更具有魅力，也使人們對悖論及相關問題有了更深刻的理解。

二、Yablo悖論的循環(huán)性問題

Yablo悖論是除說謊者悖論外最受爭議的真理論悖論，而爭論的焦點在于Yablo悖論是否具有循環(huán)性。自Yablo于1993年正式指出Yablo悖論不具有循環(huán)性后，Priest（1997）是首位提出反對意見并給予證明的學者。[3]隨后，Sorensen（1998）對Priest的批判、[4]Beall（2001）對Sorensen的反駁[5]都使得Yablo悖論的循環(huán)性問題更富爭議性。本節(jié)著重討論Yablo悖論的循環(huán)性問題及其相關爭論。

Yablo悖論可表述為：

有一個無窮語句序列，Y0，Y1，Y2，……，

得到序列Y0，……Yn……，其中每個語句都指它的后續(xù)語句為假。假設Yn為真，根據Yn所說，對于k＞n，Yk為假。因而，（1）Yn+1為假，（2）對于所有k＞n+1，Yk為假。由（2）得，Yn+1為真，與（1）Yn+1為假矛盾。于是，Yn中的每個語句當作為后續(xù)語句時為假；然而，當作為后續(xù)語句的首語句時又為真。這就是直觀意義下的Yablo悖論，其中的構成語句稱Yablo序列。Yablo指出，Yn序列中的每個語句都不是自指的，但是它們卻蘊含矛盾。與說謊者悖論不同，循環(huán)性和自指性對于Yablo悖論來說既不是充分的也不是必要的。

Yablo認為Yablo悖論不具有自指性，也不是循環(huán)的，并且這些特征是不證自明的，因而并未給出證明。Priest（1997）應用不動點方法，指出Yablo悖論與說謊者悖論一樣具有自指性和循環(huán)性。[6]在數(shù)學上，一個函數(shù)f的不動點是滿足x = f(x) 條件的x。Priest指出，受人的思維有限性的限制，當使用Yn這樣的量化語句序列來表述無窮語句序列時，該語句序列因以Yn的位置作為不動點，而具有循環(huán)性。爭論的焦點是Yablo悖論是否與說謊者悖論一樣具有循環(huán)性，又因爭論雙方并未嚴格區(qū)分自指性與循環(huán)性概念，使爭論的焦點同時覆蓋了循環(huán)性與自指性兩個概念。如果Yablo是正確的，那么Yablo悖論的意義就更加凸顯出來了；如果Priest是正確的，那么Yablo悖論的提出只是豐富了悖論家族。因此，分析Priest關于Yablo悖論的不動點的論證的正確性是非常重要的。

在進一步分析之前，先做一些技術性說明。本文將在皮亞諾形式算數(shù)PA中考慮悖論。PA是在經典邏輯基礎上添加若干算術公理擴充得到的理論。在PA中，每個自然數(shù)x都有一個形式對應物“數(shù)字”（它的標準解釋就是x），并且對每個表達式E（比如項、公式），通過哥德爾編碼可以把它對應到一個數(shù)字（稱為E的哥德爾數(shù)字），這里用 [E] 進行表示。特別地，當E(x) 表示只含有變元x的公式時，[E ()] 表示把y對應的數(shù)字代入到E(x) 中得到的公式的哥德爾數(shù)字（比較：[E (y)] 表示把y代入E(x)中得到的公式的哥德爾數(shù)字）。下面還要用T表示真謂詞符號，而等值式T [A]A（其中A表示語句）稱為塔斯基T-模式。

Priest指出，說謊者語句L（“這句話不是真的”）滿足LT [L] 在PA中可證（以下簡稱“可證”），因此，它可視作公式T(x) 的不動點。說謊者語句的不動點特性正好標識出這句話中的“這句話”，這是說謊者語句自指性所在。然后，Priest分析了Yablo悖論。說謊者語句含有指示詞“這句話”，因而它的不動點是明顯的，而Yablo悖論則需要更多的分析。

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首先，在Yablo悖論的語句序列中，對于所有自然數(shù)n，Yn可以表示為k＞n，T [Sk] ，每個語句指稱的是該語句的后續(xù)語句。由T [Sn] 得：

這里看似具有T-模式結構，其實不然。問題在于，這個遞歸論證中的n是一個自由變元，T-模式只能應用于具體的語句，不能用于含有自由變元的公式。例如，說T“x是白的”當且僅當x是白的，這是毫無意義的。Yablo語句序列與其說含有T-模式不如說含有一個可滿足謂詞，這個需要進一步說明。

令S(x, y) 表示這樣一個二元謂詞，使得如果y是公式E(x) 的哥德爾編碼，那么y ＞ x (y不滿足 E(x) )。根據對角線引理，S (x, y) 有不動點Y(x)。亦即：

在Yablo悖論中，不動點出現(xiàn)在（*）式中，即Y(x)。但這個不動點不同于說謊者悖論中出現(xiàn)的不動點，它不是一個語句，而是含自由變元x的公式，即x作為變目的謂詞，這個謂詞的意思是：“沒有大于x的數(shù)滿足這個謂詞”。這與說謊者悖論的不動點一樣揭示了Yablo悖論的循環(huán)性特征。

以上是Priest關于Yablo悖論具有循環(huán)性的證明。這個證明凸顯了一個問題：如何建立Yablo語句序列相對應的指稱關系？一般認為，要建立對象與指稱之間的關系，有兩種途徑：直接命名和間接描述。顯然，直接命名在這個問題上不適用。而Priest的工作表明任何對Yablo序列的描述都導致循環(huán)。這個問題吸引了更多學者加入討論。Sorensen（1998）支持Yablo的觀點，[7]引入上帝這樣的無限主體：若上帝在第1分鐘寫下第一個語句；在隨后的30秒后寫下第二個語句；再在隨后的15秒寫下第三個語句……如此類推，越寫越快，則上帝能在2分鐘內枚舉Yablo序列中的所有語句。因此，Sorensen認為無限主體無需借助循環(huán)的描述方式就能確定Yablo序列的矛盾性。Beall（2001）反駁道，也許上帝能枚舉一個無窮序列，但是，問題的關鍵在于當我們采用描述的方式來指稱Yablo語句序列，并讓上帝來枚舉這個無窮序列時，Yablo語句序列肯定是循環(huán)的。[8]

三、Yablo悖論的不一致性問題

Yablo悖論的自指與循環(huán)性的討論是關于Yablo語句序列的表達問題，而另一個關于Yablo悖論的研究熱點問題是：Yablo悖論是一個嚴格意義上的悖論嗎？從非形式的角度上看，Yablo語句序列確實具有矛盾性，這一點上文已作分析。但是，Ketland（2005）指出，在經典邏輯框架下，用形式推演的方法不一定能從Yablo悖論推出矛盾。[9]

要注意，從語形上講，Yable序列Y(0)，Y(1)…… 滿足的條件有兩種理解：（1）公式可證；（2）公式對任意自然數(shù)x都可證。Ketland（2005）發(fā)現(xiàn)，是把Yablo語句序列中的語句“統(tǒng)一地”代入到T-模式中，還是把這些語句分別代入到T-模式中，出現(xiàn)了分歧。[10]這一點對Yablo語句序列是否導致矛盾至關重要。

按照條件（1）來理解Yablo序列，可把Yablo序列中的語句統(tǒng)一地代入到T-模式中，即Y(x))。在這個條件下，不難按照先前非形式推導，推出矛盾。即：不一致。

然而，按照條件（2），分別把Yablo語句代入到T-模式中，即(x是自然數(shù))。令人驚奇的是，這些語句并不會導致矛盾！事實上，可以找到模型使得PA及上述語句都得到滿足。為此，考慮PA 的非標準模型，其中含有非標準數(shù)，非標準數(shù)滿足自然數(shù)的全部公理，但它們比任何自然數(shù)都大。取定一個非標準數(shù)r，類似自然數(shù)，它對應的數(shù)字也表示為（因而，它的非標準解釋是r）。語句Y() 對應的哥德爾數(shù)字設為b，再設T的外延為含b的單元集。在這種解釋下，顯然T[Y()] 對任意自然數(shù)x都為真。同時，b的出現(xiàn)確保了對任意自然數(shù)x也都為真，也就是說，Y() 對任意自然數(shù)x都為真。這樣，對任意自然數(shù)x都為真。所以，可以斷定是自然數(shù) } 是一致的。

因此，Yablo語句序列是否出現(xiàn)矛盾不能一概而論。按照Ketland的說法，Yablo序列有兩種不同的形式化。在第一種形式化下，Yablo悖論類似于說謊者悖論；但在第二種形式化下，它并不是嚴格意義的悖論，充其量只是一個ω悖論。

四、討論

Yablo悖論究竟是循環(huán)的還是非循環(huán)的？Priest與Yablo的分歧只是表面上的。問題在于兩人討論的出發(fā)點不同。對于Yablo而言，判斷一個悖論循環(huán)與否，只需要判斷這個悖論中的語句是否直接地或間接地提及自身（提及性自指）。就這個意義而言，Yablo悖論不具備提及性自指，這一點是顯然的，甚至不證自明的。而Priest所說的循環(huán)性，則是指悖論的構造中有沒有不動點出現(xiàn)（不動點自指），他的工作已經證明Yablo悖論具有不動點自指。結合兩人的工作，可以得到：Yablo悖論不具有提及性自指，但具有不動點自指。這兩種自指性并不相同，在循環(huán)上的表現(xiàn)也不同。兩人的觀點實際上并不矛盾。

上述分析結果表明，不能如Yablo那樣不區(qū)分自指性與循環(huán)性概念，籠統(tǒng)地斷定Yablo悖論不具有（提及性）自指因而不是循環(huán)的，而必須事先說明在何種意義上談論循環(huán)性。對于Priest的發(fā)現(xiàn)，可做進一步的研究。模仿Yablo序列的構造方式，對任何一個0、1無窮序列r，構造一個語句序列Yr(n)，使得對任意自然數(shù)n，如果r(n) = 1，Yr(n) 斷定它后面的語句都為假，如果r(n) = 0，Yr(n) 斷定它后面的語句都為真?？梢宰C明，當且僅當使得r(n) = 1成立的n有無窮多個，序列Yr一定是悖論的。但自然數(shù)的無窮集總共有不可數(shù)多個，而在PA語言中，不動點最多有可數(shù)多個，因此，必有悖論不能在PA中通過不動點的構造產生出來的。由此，可以發(fā)現(xiàn)結構完全類似Yablo悖論的一類悖論，它們均不具有不動點自指，而且它們的個數(shù)是不可數(shù)多個。這個證明及其結論從另一個側面顯示了Yablo悖論的獨特之處，同時，也削弱了Priest的關于不動點的論證。

悖論必然具有循環(huán)性嗎？Yablo提出Yablo悖論的本意是要利用Yablo悖論來否定悖論與循環(huán)性（提及性自指）之間的必然關聯(lián)性。然而，無論是Yablo還是Priest，他們關于Yablo悖論的循環(huán)性的爭論，都未徹底解決這個問題。從前文分析看，Yablo模糊等同了循環(huán)性與自指性概念。按自指性的直觀含義，一個語句是自指的，意味著這個語句提及它自身，即語句所指定對象中直接或間接地含有語句本身。因此，要斷定語句是自指的，只需斷定語句之間的指稱關系。從這點來看，自指性顯然是語句本身的特性，是用來描述語句本身的。相比之下，循環(huán)性卻不是語句本身的性質，不可直接用于描述語句。說某語句是循環(huán)的，或者說它是非循環(huán)的，都沒有意義。例如，當說“說謊者悖論是循環(huán)的”時，其真正的涵義并不是對說謊者語句本身性質的斷定，而是認為說謊者語句出現(xiàn)的矛盾依賴于循環(huán)性。在這個意義上，循環(huán)性不是語句的特性，而是語句發(fā)生矛盾的條件。又由于語句是否發(fā)生矛盾以語句的賦值作為先決條件，因而，循環(huán)性與語句的賦值密不可分。Priest展示了Yablo悖論與不動點自指之間的關聯(lián)，但不動點自指對于悖論是必要的而不是充分的。于是，進一步考慮：是否存在對Yablo悖論充分且必要的循環(huán)性，并且這個循環(huán)性就是這個悖論產生矛盾的條件呢？

借助于熊明（2009）提出的一個T-模式的推廣，可解決上述問題。[11]這個T-模式的推廣可看做T-模式中可能世界結構上的一種相對化：對任意可能世界u、v，如果u可通達至v，那么T[A] 在v成立，當且僅當A在u成立。如熊明（2009）所證明，當把這個模式應用于說謊者悖論，可以得到：說謊者語句中一個可能世界結構上產生矛盾，當且僅當這個結構中含有奇循環(huán)，證明見熊明（2008）。[12][13]這個結論刻畫出說謊者悖論產生矛盾的充要條件，而且表明此條件的確與特定的循環(huán)性相關。這種循環(huán)性可稱為矛盾循環(huán)性。

對于Yablo悖論，可以證明：Yablo序列與說謊者語句具有同等程度的矛盾性。即：如果它們中的一個在某個可能世界結構上產生矛盾，另一個在這個可能世界結構上必然也會產生矛盾。[14][15]這里僅指出，這個結論表明Yablo悖論與說謊者悖論一樣，其矛盾性的產生也是基于特定的循環(huán)性的，而且它所基于的循環(huán)性與說謊者悖論完全相同。相比于說謊者悖論，Yablo悖論的獨特之處在于，一方面，不同于說謊者悖論，它不具有提及性自指；另一方面，它又與說謊者悖論類似，具有相同的矛盾循環(huán)性，甚至其矛盾循環(huán)性與說謊者悖論的矛盾循環(huán)性完全相同。從這點上看，Yablo悖論可看做是說謊者悖論的一個無窮展開，在這個展開中，說謊者悖論的提及性自指被消除了，卻完整保留了其中的矛盾循環(huán)性。

再來看Yablo悖論的不一致性。上一節(jié)提到，對Yablo悖論有兩種形式化。下面要從純語義的角度對這兩種形式化進行分析。首先，在算術的標準模型下，這兩種形式化的解釋顯然是等價的，即都表達了Y(n) ，當且僅當k ＞ n，Y(k)不真。這當然是對Yablo悖論的忠實表達。而Ketland的不一致性推導實際上表明了Yablo悖論的這兩種形式化在標準模型下，如果保守T-模式，那么不存在不會導致矛盾的賦值。

其次，在非標準模型下，第一種形式化的解釋變作：Y(a)，當且僅當b＞a，Y(b)不真；而第二種形式化的解釋是：Y(n) ，當且僅當b＞n，Y(b)不真?？傮w而言，在非標準模型下，這里提到的語句包含了形如Y(a)的語句，其中a歷遍所有的自然數(shù)以及所有的非標準數(shù)（即非標準模型中大于所有自然數(shù)的個體）。因而，第一種形式化的解釋包含了所有這樣的Y(a)，而第二種形式化的解釋只包含了a歷遍自然數(shù)的Y(a)（但Y(a) 成立的條件中卻包含了非標準數(shù)指標）。從這點來看，這兩種解釋都不是Yablo悖論的忠實表達——因為在Yablo對其悖論的表述中，各個語句的指標只含自然數(shù)。而Ketland的分析表明在非標準模型下，如果保守T-模式，那么第一種形式依然不存在不會導致矛盾的賦值，而對于第二種形式化，若對每個形如Y(n) 的語句賦值為假，但對那些a是非標準數(shù)的Y(a)語句賦值為假，則這樣的賦值就不會產生任何矛盾。

上面提到的對Yablo悖論循環(huán)性的分析都是基于標準模型做出的。因為正如上面指出的，只有在標準模型下，Ketland的兩種形式化才是對Yablo悖論的忠實表達。在非標準模型下，第一種形式化在T-模式下產生矛盾，因此自然可以考慮它在T-模式的相對化下是否會產生矛盾，我們猜測結論仍然是它只在那些含奇循環(huán)的框架中產生矛盾。不論如何，在討論Yablo悖論產生矛盾的循環(huán)性條件時，我們必須區(qū)分是在算術的標準模型下還是在非標準模型下。

五、結語

本文通過討論Yablo悖論的兩個熱點問題，研究了Yablo悖論的自指性、循環(huán)性與不一致性。分析與論證得出：Yablo與Priest的自指與循環(huán)性爭論所涉及的自指性涵義并不相同。本文區(qū)分了提及性自指和不動點自指，指出Yablo與Priest的自指性爭論只是表面上的，事實上他們談論的自指性并不相同。此外，本文還明確指出自指性與循環(huán)性兩個概念不能等同。前者是描述語句本身的特性，后者是語句引起矛盾的條件。通過引入一個T-模式的推廣，我們指出Yablo悖論具有與說謊者悖論相同的循環(huán)性。在這個意義上，可以把Yablo悖論看做是說謊者悖論的一個非自指但等循環(huán)的表述：它消除了說謊者悖論中的直接自指性，但完整保留了其中的循環(huán)性。

在對Yablo悖論的不一致性問題的分析中，我們也看到，Yablo悖論有兩種強度不同的形式化。但從語義層面看，只有第二種形式化忠實地還原了Yablo對悖論的表述。而第二種形式化只是在算術的標準模型下才能推出矛盾。在這點上，如Ketland所說，Yablo悖論不是一個嚴格的悖論，只是一個ω-悖論。前面關于循環(huán)性的討論正是回答了這個ω-悖論與Yablo悖論在算術的標準模型下產生矛盾的循環(huán)性條件完全相同。這個結論當然也適用于第一種形式化在標準模型下的解釋。至于在非標準模型下，第一種形式化是否仍然與說謊者悖論基于同樣的循環(huán)性，我們猜測結論仍然是肯定的。如果是這樣，奇循環(huán)之于Yablo悖論在任何意義下都是本質性的。

[1] Yablo, S.，“Truth and Refection”，Journal of Philosophy Logic，vol.14, 1985.

[2] Yablo, S.，“Paradox Without Self-reference”，Analysis，vol.53, 1993.

[3][6] Priest, G.,“ Yablo’s Paradox”，Analysis，vol.57, 1997.

[4][7] Sorensen, R.，“Yablo’s Paradox and Kindred Infnite Liars”，Mind，vol.107, 1998.

[5][8] Beall, J.，“ Is Yablo’s Paradox Non-circular”，Analysis，vol.61, 2001.

[9][10] Ketland, J.，“Yablo’s Paradox and ω-Inconsistency”，Synthese，vol.145, 2005.

[11][12] 熊明(Ming Hsiung)，“Jump Liars and Jourdain’s Card via the Relativized T-scheme”，Studia Logica，vol.92, no.2, 2009.

[13] 熊明：《說謊者悖論的惡性循環(huán)》，《哲學研究》 2008年第11期。

[14] 熊明：《塔斯基定理與真理論悖論》，中山大學博士論文 ， 2009年。

[15] 熊明(Ming Hsiung)，“Equiparadoxicality of Yablo’s Paradox and the Liar”，Journal of Logic, Language and Information，vol.22, no.1, 2013.

責任編輯：羅 蘋

B81-05

A

1000-7326（2016）12-0036-05

趙藝，華南師范大學政治與行政學院副教授；熊明，華南師范大學政治與行政學院教授（廣東 廣州，510631）。