漸近偽壓縮型映象Noor三步迭代序列的收斂性

張樹義，劉冬紅，叢培根

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州 121013)

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漸近偽壓縮型映象Noor三步迭代序列的收斂性

張樹義*，劉冬紅，叢培根

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州 121013)

漸近偽壓縮型映象; 漸近非擴(kuò)張映象; 混合型誤差; Noor三步迭代序列

0 引言與預(yù)備知識

全文設(shè)E是實(shí)Banach空間，E*是E的對偶空間.對偶映象Jp:E→2E*(1

T稱為一致Lipschitz的，若存在L≥1，使?x,y∈D(T),?n≥1,有‖Tnx-Tny‖≤L‖x-y‖.

定義2 設(shè)D是E的非空凸子集，T：D→D是一個映象，?x0∈D，由下式定義的序列，{xn}n≥0?D，{yn}n≥0?D

(1)

其中{αn}n≥0，{βn}n≥0，{γn}n≥0,{μn}n≥0，{δn}n≥0和{ζn}n≥0為[0，1]中六個滿足某些條件的實(shí)數(shù)列，{un}n≥0，{vn}n≥0和{wn}n≥0為D中的有界序列，則稱{xn}n≥0為T的帶混合型誤差的修改的Noor三步迭代序列.特別地，當(dāng)μn=0,?n≥0，時，稱由(1)所定義的序列{xn}n≥0為帶誤差的修改的Noor三步迭代序列.當(dāng)γn=μn=δn=0，?n≥0,時，稱由(1)所定義的序列{xn}n≥0為帶誤差的修改的Ishikawa迭代序列.

引理1〔1〕設(shè)?x,y∈E，則?α>0，‖x‖≤‖x+αy‖成立??f∈Jx, 使〈y,f〉≥0.

由引理1容易推出下面引理2成立.

(2)

‖xn+1-q‖≤‖xn+1-q+α[kn(xn+1-q)+A(xn+1,q)q-(Tnxn+1-q+A(xn+1,q)xn+1)]‖,

其中

關(guān)于漸近偽壓縮映象和漸近非擴(kuò)張映象不動點(diǎn)的迭代逼近問題的研究，文〔3〕得到了如下結(jié)果:

(i)αn+γn≤1,δn+βn≤1;

近些年來, 文〔4-23〕研究了一些非線性映象不動點(diǎn)的存在性與迭代逼近. 受上述工作啟發(fā), 本文的目的是進(jìn)一步研究漸近偽壓縮映象和漸近非擴(kuò)張映象不動點(diǎn)的迭代逼近問題, 從以下幾方面對定理1進(jìn)行推廣和改進(jìn)：

(ii) 用{Tnyn}n≥0有界取代T的值域T(D)有界.

(v) 將帶誤差修改的Ishikawa迭代序列推廣到更一般的具混合誤差的修改的Noor三步迭代序列.

需要指出的是在我們?nèi)サ舳ɡ?的條件時,并沒有增加其它條件,因此本文改進(jìn)和推廣了文〔3〕中的主要結(jié)果,同時，本文結(jié)果也推廣和改進(jìn)了其他人的相關(guān)結(jié)果.

1 主要結(jié)果

(i)αn+γn+μn≤1，δn+βn≤1；

‖zn-q‖=‖(1-ζn)(xn-q)+ζn(Tnxn-q)‖≤Q(L+1)，

‖yn-q‖=‖(1-βn-δn)(xn-q)+βn(Tnzn-q)+δn(vn-q)‖≤Q(1+L(L+1))+M:=B，

‖xn+1-yn‖≤βn(‖xn-q‖+L‖xn-q‖)+δn(‖xn-q‖+‖vn-q‖)+αn(L+1)‖yn-q‖

+γn(‖yn-q‖+‖un-q‖)+μn(‖yn-q‖+‖wn-q‖)

≤(βn+δn)(L+1)Q+αn(1+L)B+(γn+μn)(B+M)，

從而‖Tnxn+1-Tnyn‖≤[(δn+βn)+αn+(γn+μn)]R,其中R=max{L(L+1)Q,L(1+L)B,L(B+M)}.

令dn=αn+γn+μn, 由(1)式有下列等式成立

(1-dn)xn=(1-dnkn)xn+1+dn(knxn+1-A(xn+1,q)xn+1)-dnTnxn+1+dnA(xn+1,q)xn+1

+dn(Tnxn+1-Tnyn)+γn(Tnyn-un)+μn(Tnyn-wn),

(1-dn)q=(1-dnkn)q+dn(knq-A(xn+1,q)q)+dnA(xn+1,q)q-dnq.

據(jù)此可得

(1-dn)(xn-q)=(1-dnkn+A(xn+1,q),dn).

+dn(Tnxn+1-Tnyn)+γn(Tnyn-un)+μn(Tnyn-wn).

‖xn+1-q‖≤(1-A(xn+1,q)αn)‖xn-q‖+2γn‖xn-q‖+4αn(kn-1)‖xn-q‖+αnfn+gn.

(3)

其中fn=2λn(Rdn+M)+2Rdn，gn=2Rdn(δn+βn)+2γnM+2dnγnR.

(4)

1+‖xnj+1-q‖p+Ψ(‖xnj+1-q‖)-Hnj≤1+Qp+Ψ(Q)，所以

下面證明m≥1,有‖xnj0+m-q‖<2ε.當(dāng)m=1時, 顯然成立；當(dāng)m=2時, 若

‖xnj0+1-q‖<ε，則‖xnj0+2-q‖<ε+gnj0+1+2γnj0+1；若‖xnj0+2-q‖≥ε由Ψ的嚴(yán)格增加性有

由(3)式有

‖xnj0+2-q‖≤(1-A(xnj0+2，q)αnj0+1+4αnj0+1(knj0+1-1))‖xnj0+1-q‖+2γnj0+1‖xnj0+1-q‖

+αnj0+1fnj0+1+gnj0+1

注1 條件D+D?D只用于保證迭代序列{xn}n≥0是有意義的，當(dāng)ζn=μn≡0時，迭代序列即為文〔1〕中的迭代序列{xn}n≥0，此時當(dāng)ζn=μn≡0時，條件D+D?D可以去掉.

由定理2可得定理3.

注2 在本文定理2的證明中{Tnyn}有界條件起了重要作用，那么按本文證法{Tnyn}有界條件是否可以去掉呢？ 這值得我們做進(jìn)一步研究.

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Convergence of Noor three step iterative sequences for asymptotically pseudocontractive type mappings

ZHANG Shu-yi, LIU Dong-hong, CONG Pei-gen

(College of Mathematics and Physics，Bohai University，Jinzhou 121013, China)

asymptoticallypseudocontractivetypemappings;asymptoticallynonexpansivemappings;mixederrors;Noorthreestepiterativesequences

2016-10-13.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(No: 11371070).

張樹義(1960-), 男,教授, 主要從事非線性算子迭代逼近理論, 變分不等式與優(yōu)化理論方面的研究.

jzzhangshuyi@126.com.

O177.91

A

1673-0569(2016)04-0293-06