兩個解析幾何新題的命題立意及教學導向分析

楊蒼洲●

福建省泉州第五中學(362000)

兩個解析幾何新題的命題立意及教學導向分析

楊蒼洲●

福建省泉州第五中學(362000)

一、試題再現(xiàn)

(Ⅰ)拖動點S，發(fā)現(xiàn)當xS=4時，yS=4，試求拋物線E的方程；

(Ⅱ)設拋物線E的頂點為A，焦點為F，構造直線SF交拋物線E于不同兩點S、T，構造直線AS、AT分別交準線于M、N兩點，構造直線MT、NS．經(jīng)觀察得：沿著拋物線E，無論怎樣拖動點S，恒有MT∥NS.請你證明這一結論．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)給出命題：“已知P是橢圓E上異于A1,A2的一點，直線A1P，A2P分別交直線l：x=t(t為常數(shù))于不同兩點M，N，點Q在直線l上. 若直線PQ與橢圓E有且只有一個公共點P，則Q為線段MN的中點”，寫出此命題的逆命題，判斷你所寫出的命題的真假，并加以證明;

(Ⅲ)試研究(Ⅱ)的結論，根據(jù)你的研究心得，在圖2中作出與該雙曲線有且只有一個公共點S的直線m，并寫出作圖步驟.

(注意：所作的直線不能與雙曲線的漸近線平行.)

二、命題立意

1.題1(2013年福建省質檢文科22)的命題立意

題1(2013年福建省質檢文科22)主要考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、數(shù)形結合思想等．滿分14分．

第(Ⅰ)步以《幾何畫板》探究拋物線性質為載體，考查拋物線的方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想.學生只要能掌握拋物線的方程，便能根據(jù)題設中的數(shù)量關系應用待定系數(shù)法求出拋物線的標準方程.考生可能存在的錯誤有：由于計算的錯誤導致拋物線的方程解錯等.

第(Ⅱ)步以應用《幾何畫板》探究拋物線性質——過拋物線焦點弦的性質為載體，考查直線方程、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力；考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想.學生只要掌握直線與拋物線位置關系的一般解題方法，如“設而不解”，并借助向量等工具進行合理的轉化化歸，便能根據(jù)題設中的關系去證明待證的結論.考生可能存在的錯誤有：由于計算能力較差導致解題失敗，部分學生在陌生的情景下對問題產(chǎn)生恐懼感，導致解題信心不足，也有部分學生由于數(shù)學閱讀能力較差，出現(xiàn)題意理解困難，導致解題受挫.

第(Ⅲ)步以《幾何畫板》探究推廣拋物線性質——過x軸上定點的拋物線弦的性質為載體，考查學生的合情推理能力，考查抽象概括能力、推理論證能力、應用意識和創(chuàng)新意識；考查特殊與一般思想、必然與或然思想.學生只要掌握合情推理的一般方法進行大膽的猜測推廣，便能寫出相應的推廣命題.考生可能存在的錯誤有：由于缺少必要的知識儲備，或經(jīng)驗不足，或缺少數(shù)學直覺思維，導致解題方向缺失，無法正確尋找解題的突破口.

2.題2(2013年福建省質檢理科19)的命題立意

題2(2013年福建省質檢理科19)主要考查橢圓的標準方程與性質、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想、特殊與一般思想等.

第(Ⅰ)步主要以橢圓為載體，考查橢圓的定義、橢圓的方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想.學生只要掌握橢圓的定義、橢圓的方程，便能根據(jù)題設中數(shù)量關系采用待定系數(shù)法求出橢圓的標準方程，或者應用“定義法求軌跡”求出橢圓的方程.考生可能存在的錯誤有：沒掌握定義法求軌跡，或橢圓的基本量a,b,c間的關系記錯，或由于計算的錯誤等導致把橢圓的方程解錯.

第(Ⅱ)步以探究橢圓的一個優(yōu)美性質為載體，考查直線與橢圓的位置關系、四種命題等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想.學生只要掌握四種命題的改寫、直線與橢圓位置關系的一般解題方法，直譯條件即可順利解題.解題程序為：假設P點的坐標→寫出直線lA1P，lA2P的方程→寫出M,N兩點坐標→再寫出Q點坐標→得到lPQ的方程→聯(lián)立lPQ與橢圓的方程→證明Δ=0.處理好此解題程序中的每一步，即可實現(xiàn)命題的證明.考生可能存在的錯誤有：主要由于計算能力較差，或者解題信心、解題經(jīng)驗不足等導致解題失敗.

第(Ⅲ)步以“類比探究、作圖”為載體，考查學生的合情推理、作圖等數(shù)學應用能力，考查抽象概括能力、推理論證能力、應用意識、創(chuàng)新意識，考查數(shù)形結合思想、特殊與一般思想.學生只要掌握合情推理的一般方法進行合理的類比，即可把“性質”從橢圓類比遷移到雙曲線，得到相應的正確命題，并應用于作圖.考生可能存在的錯誤有：由于知識儲備不足，或經(jīng)驗不足，或缺少數(shù)學直覺思維，無法進行正確的類比遷移，也有部分在模式化試題下得心應手的學生，在較為新穎的試題的面前顯得手足無措.

從上述兩個試題的命題立意，我們可以看出，兩個試題的命制均嚴格遵循《考試大綱》、《考試說明》的命題要求，并基于本省的教學實際.試題充分體現(xiàn)了 “關注交匯，注重探究，規(guī)避模式，強調應用，體現(xiàn)理念”的命題指導思想.同時，引導高中數(shù)學教學樹立“立足基礎，關注過程，突出探究，強調應用，追求‘開放’與‘多樣’”的教學指導思想.

三、教學導向

上述兩個試題很好地闡釋了《數(shù)學課程標準》的基本理念.試題導向高中數(shù)學教學必須遵循新課程的基本理念：強調本質，注意適度形式化；倡導積極主動、用于探索的學習方式；注重提高學生的數(shù)學思維能力；發(fā)展學生的數(shù)學應用意識；體現(xiàn)數(shù)學的文化價值；注重信息技術與數(shù)學課程的整合.

1.強調本質，注意適度形式化

如題1(2013年福建省質檢文科22)中，試題雖然以新情境“應用《幾何畫板》探究拋物線性質”的形式呈現(xiàn)，其本質依然是研究求拋物線的軌跡方程，直線與拋物線位置關系等問題.因此在下一階段的復習中，我們要深化對圓錐曲線方程的理解，進一步熟練掌握待定系數(shù)法、定義法等求軌跡的常規(guī)方法，進一步掌握直線與拋物線位置關系的一般解題方法，要注意總結試題的規(guī)律，如：直線與圓錐曲線位置關系中的相交弦問題在高考中經(jīng)常被設計成考題，在解決此類問題時，我們常聯(lián)立方程組，利用韋達定理，進行“設而不解”來解題.

2.倡導積極主動、用于探索的學習方式

如題1(2013年福建省質檢文科22)“幾何畫板”的問題情境，第(Ⅱ)問的通過觀察發(fā)現(xiàn)，并嘗試證明；第(Ⅲ)問為進一步研究拋物線性質而進行推廣嘗試；題2(2013年福建省質檢理科19)第(Ⅱ)問探究命題是否可逆；第(Ⅲ)問通過類比推理推廣命題并實際操作等.這些新穎的探究情境、設問方式，都在倡導著積極主動、用于探索的學習方式.

3.注重提高學生的數(shù)學思維能力

題1 (2013年福建省質檢文科22)第(Ⅲ)步要求學生經(jīng)歷觀察、猜測、推理、驗證等思辨過程；題2(2013年福建省質檢理科19)第(Ⅲ)步要求學生經(jīng)歷逆向思維、類比推理、操作確認的心路歷程.上述兩個試題都導向高中數(shù)學教學應注重提高學生的數(shù)學思維能力.數(shù)學是思維的體操，高考命題也強調以“能力立意”，因此在平時的教學時，應教給學生分析問題、解決問題的策略與方法.

4.發(fā)展學生的數(shù)學應用意識

數(shù)學是一理論性較強的基礎學科.我們說，理論來源于實踐，反之，理論也將指導實踐.但是，在平時的教學實踐中，我們卻常常過分強調數(shù)學知識的理論性，而忽視了數(shù)學知識的應用性.題1(2013年福建省質檢文科22)通過幾何畫板探究得拋物線的性質，揭示了理論來源于實踐；題2(2013年福建省質檢理科19)通過探究拋物線切線的作法并應用于作圖，實現(xiàn)了用理論指導實踐.兩個試題完美闡釋了數(shù)學知識間“理論與實踐”的辯證關系.

5.體現(xiàn)數(shù)學的文化價值

6.注重信息技術與數(shù)學課程的整合

題1 (2013年福建省質檢文科22)以“幾何畫板探究拋物線性質”為載體進行試題的命制.題目讓人眼前一亮，不得不說這是首開先河的一種試題背景，但是，究其題源，卻可以說題根在課本.因為課本的閱讀材料、探究發(fā)現(xiàn)等欄目，多次地為我們呈現(xiàn)了幾何畫板這一作圖工具，并作了利用幾何畫板探究圓錐曲線性質的示例.通過幾何畫板等作圖工具，必將有利于數(shù)學探究活動走向深入，有利于學生認識數(shù)學的本質.因此，通過本題，將導向高中數(shù)學教學進一步地加強數(shù)學與信息技術的結合.

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1008-0333(2016)34-0011-02