基于非參數(shù)分位數(shù)方法對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)的研究

馬 薇，張淑娟（天津財(cái)經(jīng)大學(xué)理工學(xué)院，天津 300222）

基于非參數(shù)分位數(shù)方法對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)的研究

馬 薇，張淑娟
（天津財(cái)經(jīng)大學(xué)理工學(xué)院，天津 300222）

文章提出了使用非參數(shù)密度分位數(shù)方法來(lái)計(jì)算VaR模型。此方法完全由數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)，不需要設(shè)定新息項(xiàng)的分布，并同新息項(xiàng)服從正態(tài)分布、T分布和GED分布計(jì)算的VaR進(jìn)行對(duì)比，得到了比較理想的結(jié)果，從而為金融風(fēng)險(xiǎn)研究提供了較有效的參考方法。

非參數(shù)；分位數(shù)；風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)

0 引言

近年來(lái)，我國(guó)經(jīng)濟(jì)正處于結(jié)構(gòu)調(diào)整和轉(zhuǎn)型升級(jí)的階段，金融市場(chǎng)在支持這項(xiàng)重任的同時(shí)還需要注意防范和化解金融風(fēng)險(xiǎn)。而VaR(Value at Risk)作為一種金融風(fēng)險(xiǎn)管理工具，已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。VaR方法是20世紀(jì)80年代美國(guó)金融機(jī)構(gòu)提出的金融風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法[1]，現(xiàn)在已經(jīng)成為金融市場(chǎng)的一種主流的、能夠廣泛應(yīng)用的風(fēng)險(xiǎn)度量方法。估計(jì)VaR的主要方法有：歷史模擬方法、方差協(xié)方差方法、蒙特卡洛模擬方法等，利用GARCH類(lèi)模型計(jì)算波動(dòng)率進(jìn)而估計(jì)VaR也是一種計(jì)算方法。為了解決金融時(shí)間序列的波動(dòng)問(wèn)題，Engle于1982年開(kāi)創(chuàng)性的引入了ARCH模型。由于ARCH模型如果階數(shù)太大就會(huì)降低參數(shù)估計(jì)的效率，還有可能導(dǎo)致多重共線性的發(fā)生，Bollerslev[2]為了彌補(bǔ)這一點(diǎn)，于1986年引入GARCH（p,q）模型，可以用相對(duì)簡(jiǎn)單的低階GARCH模型來(lái)替代一個(gè)高階ARCH模型，從而減少需要估計(jì)的參數(shù)，使得模型的估計(jì)與識(shí)別問(wèn)題都變得容易一些，而又由于GARCH模型不能夠捕捉金融市場(chǎng)中的非對(duì)稱(chēng)因子，對(duì)于這樣的局限性，后又有一些新的GARCH類(lèi)模型的衍生，如EGARCH[3]、TGARCH[4,5]、GARCH-M、FI-GARCH等。由于(G)ARCH類(lèi)模型受新息項(xiàng)分布函數(shù)的限制，后又有不設(shè)定分布函數(shù)形式的非參數(shù)GARCH模型[6-8]的產(chǎn)生。

在GARCH類(lèi)模型的基礎(chǔ)上，國(guó)內(nèi)外對(duì)于股市VaR估計(jì)已有較多研究[9-13]，傳統(tǒng)的模型在運(yùn)用波動(dòng)率方法計(jì)算VaR時(shí)，通常假設(shè)新息項(xiàng)服從某一分布，具有一定的局限性，而在真實(shí)的金融市場(chǎng)中這一條件有時(shí)很難滿(mǎn)足，當(dāng)不滿(mǎn)足時(shí)，利用參數(shù)方法計(jì)算分位數(shù)的過(guò)程就會(huì)產(chǎn)生一定誤差，而非參數(shù)方法由于完全由數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)，不受分布限制，受約束條件少，因此本文采取非參數(shù)核密度的方法來(lái)估計(jì)新息項(xiàng)的分布，進(jìn)而得到其非參數(shù)條件分位數(shù)來(lái)計(jì)算VaR的值，通過(guò)研究對(duì)比發(fā)現(xiàn)，在大部分情況下非參數(shù)估計(jì)優(yōu)于參數(shù)估計(jì)，所以對(duì)非參數(shù)分位數(shù)的研究具有一定的理論與應(yīng)用價(jià)值。

1 VaR估計(jì)與非參數(shù)核密度分位數(shù)

1．1 VaR估計(jì)

VaR就是“在險(xiǎn)價(jià)值”，它是由J.P.Morgan公司首先提出的用來(lái)計(jì)算市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的產(chǎn)物。它與傳統(tǒng)的度量風(fēng)險(xiǎn)手段不同，是完全基于統(tǒng)計(jì)分析基礎(chǔ)上的風(fēng)險(xiǎn)度量技術(shù)。VaR是指在金融市場(chǎng)正常波動(dòng)下，在一定概率水平（置信度）下，某一金融資產(chǎn)或證券組合價(jià)值在未來(lái)特定一段時(shí)期內(nèi)的可能承受的最大損失，VaR的數(shù)學(xué)表示為：

設(shè)隨機(jī)變量rt表示某一金融資產(chǎn)t時(shí)刻的收益率，當(dāng)rt≥0時(shí)表示收益，當(dāng)rt＜0時(shí)表示損失，風(fēng)險(xiǎn)度量關(guān)注的隨機(jī)變量rt分布的左尾，設(shè)Frt(x)為隨機(jī)變量rt的累積分布函數(shù)，對(duì)給定的置信水平1-α，α∈(0 ，1)，VaR可表示為：

或者：

令rt=ut+σtεt，VaR可以表示為：

ut=E()

rt為預(yù)期收益率；σt為當(dāng)期資產(chǎn)收益序列的波動(dòng)率，因此VaR的計(jì)算與預(yù)期收益率ut、當(dāng)期波動(dòng)率σt、收益率的新息項(xiàng)所服從的分布及所選用的置信水平有關(guān)。

本文VaR的檢驗(yàn)方法采用Kupiec(1995)[14]提出的似然比率檢驗(yàn)法，假定置信水平為1-α，實(shí)際考察天數(shù)為T(mén)，失敗天數(shù)為N，則失敗率記為期望概率為p*=1-α，零假設(shè)為H0:p=p*，備擇假設(shè)為H1:p≠p*，檢驗(yàn)失敗率是否拒絕零假設(shè)。似然比方程為：

在原假設(shè)條件下，統(tǒng)計(jì)量LR服從自由度為1的χ2分布，LR越小，P值越大，失敗率越接近α，表明模型越精確，可信度越高。

1．2 非參數(shù)核密度分位數(shù)

由式（3）可知，計(jì)算VaR需要計(jì)算新息項(xiàng)的分位數(shù)，傳統(tǒng)的方法假設(shè)新息項(xiàng)服從某個(gè)固定的分布，通常假設(shè)服從正態(tài)分布、t分布或者GED分布，但是這樣的分布不一定適合我國(guó)現(xiàn)階段的股票市場(chǎng)，因此文中提出不受分布函數(shù)形式限制的非參數(shù)分位數(shù)方法，下面是對(duì)其簡(jiǎn)單的介紹：

從隨機(jī)變量X的總體抽取樣本估計(jì)總體密度函數(shù)，當(dāng)密度函數(shù)形式未知時(shí)，采用參數(shù)估計(jì)可能產(chǎn)生一定的誤差，并且這種誤差通過(guò)增加樣本量也是無(wú)法彌補(bǔ)的。當(dāng)密度函數(shù)未知時(shí)，最簡(jiǎn)單的方式是采用直方圖估計(jì)，但是直方圖估計(jì)是階梯函數(shù)，會(huì)使得對(duì)每個(gè)小區(qū)間中心部分精確，但是端點(diǎn)附近估計(jì)精度會(huì)較差，不具有光滑性，Rosenblatt(1955)和Emanuel Parzen(1962)提出非參數(shù)核密度估計(jì)不需要假設(shè)密度函數(shù)，完全由數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)確定密度函數(shù)，并且具有光滑性和相合性的特點(diǎn)，其形式[15]為：

令X1，X2，...,Xn為隨機(jī)變量X的一組獨(dú)立同分布樣本，用來(lái)估計(jì)隨機(jī)變量X的總體密度函數(shù)：

K為核函數(shù)，Epanechnikov核在理論上使得積分均方誤差最小，具有較好的性質(zhì)，所以文中核函數(shù)采用Epanechnikov核，h為光滑參數(shù)帶寬，運(yùn)用à錯(cuò)鑒定法確定帶寬h的最優(yōu)值。

通過(guò)密度函數(shù)的積分可得到分布函數(shù)，進(jìn)而可計(jì)算其反函數(shù)求出非參數(shù)分位數(shù)。

非參數(shù)核分布函數(shù)為：

非參數(shù)核密度分位數(shù)為：

由于非參數(shù)分位數(shù)方法不受密度函數(shù)形式的限制，受約束條件較少，具有一定的穩(wěn)健性，因此是一種可以廣泛應(yīng)用的方法。

由式（3）可知，計(jì)算VaR還需要計(jì)算平均收益率及波動(dòng)率，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題一般用GARCH、EGARCH、TGARCH、GARCH-M、FI-GARCH等來(lái)解決，對(duì)于常用的GARCH模型，在理論上若假定了新息項(xiàng)的分布，如正態(tài)分布、t分布、GED分布等，GARCH模型可以利用極大似然法求得，當(dāng)新息項(xiàng)的分布選擇不符合實(shí)際情況時(shí)，Bollerslev、Wooldridge與Jeantheau也已經(jīng)證實(shí)了即使不是正態(tài)分布，利用擬極大似然估計(jì)法計(jì)算得到的參數(shù)估計(jì)也仍然是相合的。

2 對(duì)中國(guó)股市風(fēng)險(xiǎn)的實(shí)證分析

對(duì)于式（3）給出的VaR的計(jì)算形式，本文利用非參數(shù)分位數(shù)方法結(jié)合GARCH類(lèi)模型來(lái)計(jì)算VaR，為了驗(yàn)證此方法的可行性，下面利用真實(shí)的股指數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，并同時(shí)與假設(shè)新息項(xiàng)服從正態(tài)分布、t分布和GED分布計(jì)算分位數(shù)的方法進(jìn)行比較，通過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)非參數(shù)方法具有較理想的效果。

2．1 數(shù)據(jù)選取及處理

本文采用的樣本為具有代表性的滬深的三個(gè)指數(shù)，樣本區(qū)間是2006年1月4日至2015年10月21日，數(shù)據(jù)涵蓋了2008年與2015年兩個(gè)大的波動(dòng)時(shí)段，能較好地反應(yīng)當(dāng)今中國(guó)股市的特征，共計(jì)2379組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)從同花順下載，運(yùn)用R軟件進(jìn)行分析和計(jì)算，收益率計(jì)算采用對(duì)數(shù)收益率，其公式為：pt為日收盤(pán)價(jià)。

2．2 GARCH模型參數(shù)估計(jì)

上述數(shù)據(jù)均通過(guò)平穩(wěn)性檢驗(yàn)——ADF檢驗(yàn)，同時(shí)由ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)結(jié)果知道收益率具有異方差，因此可以應(yīng)用GARCH類(lèi)模型。應(yīng)用EGARCH和TGARCH模型做出的參數(shù)估計(jì)結(jié)果不是很理想，說(shuō)明在2006年1月4日至2015年10月21日這段時(shí)間不存在顯著的杠桿效應(yīng)，所以本文采用GARCH模型，并且從估計(jì)結(jié)果來(lái)看較為顯著。以下為利用R軟件計(jì)算出的新息項(xiàng)分別服從正態(tài)分布、t分布及GED分布的GARCH模型的參數(shù)估計(jì)及其對(duì)應(yīng)的P值。

下面為滬深各指數(shù)新息項(xiàng)服從正態(tài)分布的GARCH模型（簡(jiǎn)記為(N)GARCH模型）的參數(shù)估計(jì)及對(duì)應(yīng)的P值：

下面為新息項(xiàng)服從t分布的GARCH模型（簡(jiǎn)記為(t) GARCH模型）的參數(shù)估計(jì)及對(duì)應(yīng)的P值：

下面為新息項(xiàng)服從GED分布的GARCH模型（簡(jiǎn)記為(G)GARCH模型）的參數(shù)估計(jì)及對(duì)應(yīng)的P值：

從上面的參數(shù)估計(jì)值及概率P值可以看出(N)GARCH與(t)GARCH和(G)GARCH波動(dòng)模型中各項(xiàng)系數(shù)均顯著，并對(duì)新息項(xiàng)項(xiàng)進(jìn)行了ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果通過(guò)，說(shuō)明不存在異方差，所以可用此三種模型描述滬深三種指數(shù)在2006年1月4日至2015年10月21日的波動(dòng)情況，進(jìn)而來(lái)估計(jì)VaR的值。

2．3 VaR計(jì)算結(jié)果的檢驗(yàn)：Kupiec檢驗(yàn)

利用上述三種模型計(jì)算收益率的波動(dòng)率之后，計(jì)算VaR還需要估計(jì)新息項(xiàng)的分位數(shù)，計(jì)算分位數(shù)分別應(yīng)用：假設(shè)新息項(xiàng)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、t分布、GED分布及利用非參數(shù)分位數(shù)方法，這樣結(jié)合GARCH模型可得到六種計(jì)算VaR的模型，(N)GARCH-N，(t)GARCH-t，(G)GARCH-GED，(N) GARCH-NON，(t)GARCH-NON，(G)GARCH-NON，置信水平為1-α，分別令α=0.05，α=0.025，α=0.01三種情況下，估計(jì)VaR值，并對(duì)應(yīng)得到Kupiec檢驗(yàn)結(jié)果：P值和失敗率。表1、表2和表3給出上述六種模型在三種置信度下的VaR的Kupiec檢驗(yàn)結(jié)果：每種股指的第一行為檢驗(yàn)的P值，第二行為對(duì)應(yīng)的失敗率，標(biāo)注*的數(shù)值為每種股指檢驗(yàn)的最高P值。

表1 Kupiec檢驗(yàn)：α=0.05

由表1可以看出，當(dāng)α=0.05時(shí)，在三個(gè)股票指數(shù)的檢驗(yàn)結(jié)果中，三種參數(shù)方法均通過(guò)檢驗(yàn)，并且N-N與G-G方法要稍好于t-t方法，三種非參數(shù)方法也均通過(guò)檢驗(yàn)，并且P值幾乎都在0.9以上，同時(shí)t-NON與G-NON方法較為穩(wěn)定，N-NON方法對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)P值有1個(gè)最高，t-NON方法對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)P值有1個(gè)最高，G-G方法對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)P值有1個(gè)最高。

表2 Kupiec檢驗(yàn)：α=0.025

由表2可以看出，當(dāng)α=0.025時(shí)，在三個(gè)股票指數(shù)的檢驗(yàn)結(jié)果中，G-G方法要好于N-N與G-G方法，N-N方法檢驗(yàn)結(jié)果較差，P值較低，而三種非參數(shù)方法均通過(guò)檢驗(yàn)，t-NON方法對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)P值有3個(gè)最高。

表3 Kupiec檢驗(yàn)α=0.01

由表3可以看出，當(dāng)α=0.01時(shí)，在三個(gè)股票指數(shù)對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)結(jié)果中，N-N參數(shù)方法沒(méi)有通過(guò)檢驗(yàn)，所以假設(shè)新息項(xiàng)服從正態(tài)分布不能很好地捕捉尾部風(fēng)險(xiǎn)，而G-G方法要好一些，t-t方法是參數(shù)方法中最好的，而三種非參數(shù)方法均通過(guò)檢驗(yàn)，N-NON與G-NON方法對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)P值各有1個(gè)最高，t-NON方法對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)P值有3個(gè)最高。

結(jié)合表1至表3對(duì)應(yīng)的Kupiec檢驗(yàn)結(jié)果可以看到，在三種參數(shù)方法中，當(dāng)α=0.05時(shí)，t-t方法不是很穩(wěn)定，并且對(duì)應(yīng)的P值要比另兩種參數(shù)方法差一些，當(dāng)α=0.025時(shí)，G-G方法檢驗(yàn)結(jié)果要稍好一些，但是當(dāng)α=0.01分位數(shù)比較小時(shí)，正態(tài)分布對(duì)于尾部風(fēng)險(xiǎn)捕捉不夠，對(duì)于尾部風(fēng)險(xiǎn)的捕捉，t分布要稍好些?？傮w分析本文選擇的三種股指在所給的區(qū)間段中，參數(shù)方法檢驗(yàn)的P值一般比非參數(shù)方法的P值要小，同時(shí)對(duì)不同的數(shù)據(jù)與不同的置信度，參數(shù)方法沒(méi)有非參數(shù)方法穩(wěn)定。對(duì)于不同的置信區(qū)間，采用非參數(shù)核密度分布來(lái)估計(jì)新息項(xiàng)分位數(shù)方法對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的捕捉都較好，尤其當(dāng)GARCH模型中假設(shè)新息項(xiàng)服從t分布，Kupiec檢驗(yàn)的P值都較高，幾乎都在0.85以上，失敗率也與α較為接近，效果比較理想，說(shuō)明非參數(shù)方法能較好地描述新息項(xiàng)的分布情況，因此，應(yīng)用此方法來(lái)計(jì)算VaR不失為一種值得信賴(lài)的方法。

3 結(jié)論

關(guān)于VaR的估計(jì)，進(jìn)年來(lái)諸多學(xué)者做了大量的研究，方法也越來(lái)越成熟，本文通過(guò)對(duì)滬深主要的三種指數(shù)的研究發(fā)現(xiàn)，在使用GARCH模型結(jié)合參數(shù)分位教方法計(jì)算VaR時(shí)，新息項(xiàng)假設(shè)為正態(tài)分布或者t分布與GED分布時(shí)，很難同時(shí)捕捉不同置信水平下的風(fēng)險(xiǎn)，由于不能準(zhǔn)確刻畫(huà)新息項(xiàng)的分布，因此在這樣的假設(shè)下計(jì)算VaR，結(jié)果會(huì)不太理想。而利用非參數(shù)分位數(shù)方法，對(duì)新息項(xiàng)的分布不做任何假設(shè)，完全由數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法計(jì)算新息項(xiàng)的分位數(shù)來(lái)估計(jì)VaR，通過(guò)Kupiec檢驗(yàn)結(jié)果可以看到，此方法可以在不同置信水平下都表現(xiàn)較好，而且比較穩(wěn)健，具有較高的可信度，因此在目前眾多計(jì)算VaR的方法中可以作為一種值得參考的選擇。

[1]Morgan J P.RiskMetrics-Technica Document[M].New York:[s.n.], 1996.

[2]Bollerslev T.A Conditionally Heteroskedastic Time Series Model for Speculative Prices and Rates of Return[J].The Review of Economics and Statistics,1987,69(3).

[3]Nelson D B.Conditional Heteroscedasticity in Asset Returns:A New Approach[J].Economet Rica,1990,59(2).

[4]Glosten L R,Jagannathan R,Runkle D E.On the Relation Between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return?on Stocks.[J].The Journal of Finance,1993,48(5).

[5]Rabemananjara R,Zakoian J M.Threshold ARCH Models and Asym?met Ries in Volatility[J].Journal of Applied Econometrics 1993,8(1).

[6]Robert F E.Gonzalez-River Semiparametric ARCH Models[J].Jour?nal of Business&Economic Statistics,1991,(4).

[7]Hastie T J,Tibshirani R.Generalized Additive Models[M].London: Chapman and Hall,1990.

[8]Bǜhlmann P,McNeil A J.An Algorithm for Nonparametric GARCH Modelling[J].Computational Statistics&Data Analysis,2002,(40).

[9]Beckers B,Herwartz H,Seidel M.Risk.Forecasting in(T)GARCH Models with Uncorrelated Dependent Innovations[C].IAAE 2014 An?nual Conference London,Gro?britannien,2014,(6).

[10]鄭文通.金融風(fēng)險(xiǎn)管理的VAR方法及其應(yīng)用[J].國(guó)際金融研究, 1997,(9).

[11]周愛(ài)民,陳遠(yuǎn).我國(guó)中小板市場(chǎng)在險(xiǎn)價(jià)值量的實(shí)證研究——基于GARCH-VaR模型[J].南開(kāi)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2013,(6).

[12]楊繼平，袁璐，張春會(huì).基于結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換非參數(shù)GARCH模型的VaR估計(jì)[J].管理科學(xué)學(xué)報(bào),2014,(2).

[13]馬薇，盧英，劉月月.大數(shù)據(jù)條件下金融風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2015,(9).

[14]Kupiec P.Techniques Forverifying the Accuracy of Risk Manage?ment Models[J].Journal of Derivatives,1995,3(2).

[15]Li Q,Racine J S.Nonparametric Econometrics:Theory and Practice [M].Princeton：Princeton University Press,2007.

（責(zé)任編輯/劉柳青）

F830.9

A

1002-6487（2016）24-0152-03

全國(guó)統(tǒng)計(jì)科學(xué)研究項(xiàng)目(2014LY003);天津市哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃項(xiàng)目(TJYY10-1-310)

馬 薇（1958—），女，天津人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。

張淑娟（1982—）女，黑龍江綏化人，博士研究生，講師，研究方向：數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。