鉸鏈點(diǎn)可互換的近似直線機(jī)構(gòu)綜合方法及解域研究

尹來容 黃 娟 胡 林 劉 鑫 張志勇

1.長沙理工大學(xué),長沙,4101142.湖南省工程車輛輕量化與可靠性技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長沙,4101143.湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)東方科技學(xué)院,長沙,410012

鉸鏈點(diǎn)可互換的近似直線機(jī)構(gòu)綜合方法及解域研究

尹來容1,2黃 娟3胡 林1劉 鑫1張志勇1

1.長沙理工大學(xué),長沙,4101142.湖南省工程車輛輕量化與可靠性技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長沙,4101143.湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)東方科技學(xué)院,長沙,410012

基于拐點(diǎn)圓極點(diǎn)理論，給出了一種可以綜合出無窮多鉸鏈四桿近似直線機(jī)構(gòu)的方法。用解析法證明了該方法綜合出近似直線機(jī)構(gòu)的一個(gè)連架桿的固定鉸鏈點(diǎn)和對應(yīng)動(dòng)鉸鏈點(diǎn)可以互換，鉸鏈點(diǎn)互換前后得到的兩個(gè)機(jī)構(gòu)具有相同的鮑爾點(diǎn)和直線方向，另外一個(gè)連架桿不變。推導(dǎo)了綜合曲柄搖桿直線機(jī)構(gòu)的公式，并繪制了曲柄搖桿機(jī)構(gòu)解域圖。計(jì)算示例表明該方法簡單有效，能迅速綜合出曲柄搖桿直線機(jī)構(gòu)，且綜合出的機(jī)構(gòu)動(dòng)鉸鏈點(diǎn)和固定鉸鏈點(diǎn)可互換。所得到的近似直線機(jī)構(gòu)為實(shí)際工程應(yīng)用提供了更多選擇。

直線機(jī)構(gòu)；拐點(diǎn)圓；圓點(diǎn)曲線；機(jī)構(gòu)綜合

0 引言

直線機(jī)構(gòu)從18世紀(jì)瓦特時(shí)代就開始得到應(yīng)用，鉸鏈四桿近似直線導(dǎo)引機(jī)構(gòu)綜合問題屬于機(jī)構(gòu)學(xué)中的一個(gè)經(jīng)典問題[1-4]，并得到了廣泛應(yīng)用[5-6]。文獻(xiàn)[7]對瞬心無窮遠(yuǎn)的直線機(jī)構(gòu)進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[8]用解析法綜合出了“λ型”四桿直線機(jī)構(gòu)。文獻(xiàn)[9-11]利用鮑爾點(diǎn)理論，綜合出了無窮多直線機(jī)構(gòu)解，并采用機(jī)構(gòu)解域[12]的方法，對無窮多機(jī)構(gòu)解進(jìn)行了優(yōu)選。文獻(xiàn)[13-15]結(jié)合四位置運(yùn)動(dòng)生成和剛體導(dǎo)引機(jī)構(gòu)綜合問題，進(jìn)一步拓展了解域理論。以上研究在一定程度上推動(dòng)了經(jīng)典近似直線機(jī)構(gòu)綜合理論與機(jī)構(gòu)解域理論的融合，但是，對于曲率駐點(diǎn)曲線退化情況下的近似直線機(jī)構(gòu)綜合與解域一體化研究問題，涉及較少。

本文給出了一種特殊情況下的近似直線機(jī)構(gòu)綜合方法，且綜合出的無窮多機(jī)構(gòu)的一個(gè)連架桿的固定鉸鏈點(diǎn)和動(dòng)鉸鏈點(diǎn)可以互換。

1 鉸鏈點(diǎn)互換證明

拐點(diǎn)圓上的點(diǎn)的曲率半徑為無窮大，除了瞬心點(diǎn)之外的任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡均有一段近似直線，且拐點(diǎn)圓極點(diǎn)的直線段最長。曲率駐點(diǎn)曲線為動(dòng)平面上軌跡曲率為駐點(diǎn)的點(diǎn)的集合，一般情況下為一三階曲線，當(dāng)機(jī)構(gòu)處于特殊型位時(shí)，將分解為圓和直線或三條直線。鮑爾點(diǎn)是拐點(diǎn)圓和曲率駐點(diǎn)曲線的交點(diǎn)，利用鮑爾點(diǎn)可以綜合出近似直線機(jī)構(gòu)。當(dāng)拐點(diǎn)圓極點(diǎn)和鮑爾點(diǎn)重合時(shí)，可以得到直線長度更長、精度更高的直線機(jī)構(gòu)。

當(dāng)瞬心點(diǎn)P與固定鉸鏈點(diǎn)A0重合，固定鉸鏈點(diǎn)A0和B0、動(dòng)鉸鏈點(diǎn)B共線時(shí)，曲率駐點(diǎn)曲線退化成兩條直線，拐點(diǎn)圓極點(diǎn)和鮑爾點(diǎn)重合，另外一個(gè)動(dòng)鉸鏈點(diǎn)A可以在機(jī)架的垂直方向上任意選取[7]。下面證明此種特殊情況下，固定鉸鏈點(diǎn)A0和動(dòng)鉸鏈點(diǎn)A可以互換，且互換后的機(jī)構(gòu)具有同一個(gè)鮑爾點(diǎn)P1和直線方向β1，另外一對動(dòng)鉸鏈點(diǎn)B和定鉸鏈點(diǎn)B0不變，如圖1所示(圖1b中，P1點(diǎn)位于連桿AB的延長線上，且此時(shí)連桿AB與連架桿B0B共線)。

(a)互換前 (b)互換后

曲率駐點(diǎn)曲線可由Euler-Savary方程[7,11]求導(dǎo)后得到，方程為

(1)

式中,r為曲率駐點(diǎn)在極坐標(biāo)系(P,r,α)中的極徑，起始點(diǎn)為瞬心P；D為拐點(diǎn)圓直徑;M，N為輔助變量；其他參數(shù)的定義可參考文獻(xiàn)[7]。

當(dāng)1/N→0且1/M→0時(shí)，拐點(diǎn)圓直徑為極大值，即

D=lP1P

(2)

由曲率駐點(diǎn)曲線方程可知，曲率駐點(diǎn)曲線退化為

sin α=0 cos α=0 1/r=0

(3)曲率駐點(diǎn)曲線退化為與坐標(biāo)軸重合的兩條直線，以及一條無窮遠(yuǎn)直線，且動(dòng)鉸鏈點(diǎn)A可以在y軸上任意選取。由于已知瞬時(shí)極點(diǎn)P與鉸鏈點(diǎn)A0(A)重合，動(dòng)鉸鏈點(diǎn)B和固定鉸鏈點(diǎn)B0也已給定，因此，可以根據(jù)Euler-Savary方程得到拐點(diǎn)圓極點(diǎn)JB：

(4)

拐點(diǎn)圓極點(diǎn)JB與鮑爾點(diǎn)P1重合。由于動(dòng)鉸鏈點(diǎn)A可在y軸上任意選取，固定鉸鏈點(diǎn)A0與動(dòng)鉸鏈點(diǎn)A互換前后，瞬心P點(diǎn)位置不變，所以由式(4)可求出相同的鮑爾點(diǎn)P1。

2 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)綜合公式推導(dǎo)

下面以圖1b鉸鏈點(diǎn)互換后機(jī)構(gòu)為例，推導(dǎo)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)綜合公式。以動(dòng)鉸鏈點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，固定鉸鏈點(diǎn)A0=(0,y)，鮑爾點(diǎn)P1=(x,0)，在機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)直接建立直角坐標(biāo)系，橫縱坐標(biāo)上的點(diǎn)兩兩組合對應(yīng)一個(gè)機(jī)構(gòu)，即為一個(gè)機(jī)構(gòu)解，全部機(jī)構(gòu)解的集合構(gòu)成機(jī)構(gòu)解域。為了便于分析和簡化計(jì)算，不妨令lAB0(lA0B0)=1(在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中只需乘以實(shí)際AB0(A0B0)的長度)。考慮到對稱性，只需討論y>0上半平面。由解析法可得動(dòng)鉸鏈點(diǎn)B的坐標(biāo)[11]：

(5)

根據(jù)給定的機(jī)架A0B0、動(dòng)鉸點(diǎn)A以及求出的動(dòng)鉸點(diǎn)B的坐標(biāo)，四桿機(jī)構(gòu)各桿長為

(6)

其中，鮑爾點(diǎn)P1取x>0時(shí)，

鮑爾點(diǎn)P1取-1

鮑爾點(diǎn)P1取x<-1時(shí)，

根據(jù)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的格拉霍夫定理：最短桿桿長與最長桿桿長之和需小于其他兩桿桿長之和，且最短桿為連架桿或機(jī)架。由圖1三角形邊長關(guān)系知，最長桿必為機(jī)架A0B0。當(dāng)連架桿A0A為曲柄時(shí)，a+d

(7)

將式(6)代入式(7)，得

(8)

整理可得

(9)

對于任意給定的固定鉸鏈點(diǎn)A0=(0,y)和鮑爾點(diǎn)P1=(x,0)值，滿足式(9)即可得到曲柄搖桿機(jī)構(gòu)。若不滿足式(9)，對于綜合出的無窮多機(jī)構(gòu)解，還可以根據(jù)不同的設(shè)計(jì)要求，如桿長比、最小傳動(dòng)角等，采用機(jī)構(gòu)解域的方法快速直觀地優(yōu)選出最優(yōu)機(jī)構(gòu)解，具體方法見文獻(xiàn)[12]。

3 計(jì)算示例

直線機(jī)構(gòu)在包裝機(jī)械、農(nóng)業(yè)機(jī)械以及工程車輛等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[16]采用曲柄搖桿近似直線機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)了某企業(yè)自動(dòng)流水線的升降式送料裝置。在實(shí)際工程應(yīng)用中，設(shè)計(jì)者需要根據(jù)用戶客觀的加工條件和裝配空間等設(shè)計(jì)出性價(jià)比高的機(jī)構(gòu)，因此，除了設(shè)計(jì)時(shí)需對綜合出的機(jī)構(gòu)施加各種結(jié)構(gòu)和性能約束外，還需要考慮機(jī)構(gòu)的實(shí)際安裝位置與運(yùn)動(dòng)空間范圍。

以動(dòng)鉸鏈點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，固定鉸鏈點(diǎn)A0=(0,y)，鮑爾點(diǎn)P1=(x,0)，取機(jī)架長度lA0B0=100，令-360

圖2 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)類型分布解域圖

4 結(jié)論

(1)給出了一種綜合鉸鏈點(diǎn)可互換的近似直線機(jī)構(gòu)的方法，并用解析法證明了該方法的正確性。

(a)機(jī)構(gòu)M1 (b)機(jī)構(gòu)M2

(a)鉸鏈點(diǎn)互換前Ma (b) 鉸鏈點(diǎn)互換后Mb

表1 機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)和性能參數(shù)

(2)鉸鏈點(diǎn)互換前后得到的兩個(gè)機(jī)構(gòu)具有相同的鮑爾點(diǎn)和直線方向，且其中一個(gè)連架桿不變。

(3)推導(dǎo)了綜合曲柄搖桿近似直線機(jī)構(gòu)的公式，并繪制了曲柄搖桿機(jī)構(gòu)解域圖。

(4)計(jì)算示例表明該方法簡單有效，能迅速綜合出曲柄搖桿近似直線機(jī)構(gòu)，且綜合出的機(jī)構(gòu)的動(dòng)鉸鏈點(diǎn)和固定鉸鏈點(diǎn)可互換，解決了實(shí)際應(yīng)用中可能存在的固定鉸鏈點(diǎn)位置與已有設(shè)備位置沖突的問題，為實(shí)際工程應(yīng)用提供了更多選擇。

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(編輯 王旻玥)

Study on Synthesis Method and Solution-region of Approximate Straight-line Linkage with Two Inter-convertible Pivots

Yin Lairong1,2Huang Juan3Hu Lin1Liu Xin1Zhang Zhiyong1

1. Changsha University of Science and Technology, Changsha, 4101142.Hunan Key Laboratory of Lightweight and Reliability Technology for Engineering Vehicle, Changsha, 4101143.Orient Science and Technology College, Hunan Agriculture University, Changsha, 410012

A synthesis method of four-bar approximate straight-line mechanism was presented based on inflection circle pole theorem, which might produce an infinite number of mechanisms. An analytic method was introduced to prove that the synthesized mechanism might make the fixed pivot of side link and its corresponding moving pivot inter-convertible. The two synthesized linkages with two inter-convertible pivots contained the same Ball point and straight-line direction. The other side link remained unchanged. The synthesizing formulas of crank-rock mechanism were derived and the solution domains were plotted. The given examples show that the method is simple and efficient to synthesize crank-rock mechanism, and the synthesized mechanisms have two inter-convertible pivots. This approximate straight-line linkage may provide more choices for practical engineering applications.

straight-line linkage; inflection circle; circle point curve; mechanism synthesis

2016-01-29

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51305047)；湖南省科技計(jì)劃資助重點(diǎn)項(xiàng)目(2015GK3020)；湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(KF1505)

TH112.1

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.24.015

尹來容，男，1984年生。長沙理工大學(xué)汽車與機(jī)械工程學(xué)院講師、博士。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)理論、機(jī)構(gòu)綜合與CAD。出版專著1部，發(fā)表論文10余篇。黃 娟，女，1983年生。湖南農(nóng)業(yè)大學(xué)東方科技學(xué)院講師。胡 林，男，1978年生。長沙理工大學(xué)汽車與機(jī)械工程學(xué)院副教授。劉 鑫，男，1981年生。長沙理工大學(xué)汽車與機(jī)械工程學(xué)院副教授。張志勇，男，1976年生。長沙理工大學(xué)汽車與機(jī)械工程學(xué)院副教授。