固體結構內部瞬態(tài)非均勻溫度場的重建方法研究

石友安, 魏東, 桂業(yè)偉, 錢煒祺, 曾磊, 劉驍

(1.中國空氣動力研究與發(fā)展中心 空氣動力學國家重點實驗室， 四川 綿陽 621000;2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心 計算空氣動力學研究所， 四川 綿陽 621000)

固體結構內部瞬態(tài)非均勻溫度場的重建方法研究

石友安1,2, 魏東2, 桂業(yè)偉2, 錢煒祺2, 曾磊2, 劉驍2

(1.中國空氣動力研究與發(fā)展中心 空氣動力學國家重點實驗室， 四川 綿陽 621000;2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心 計算空氣動力學研究所， 四川 綿陽 621000)

固體結構內部瞬態(tài)非均勻溫度場的無損測量在航空航天、機械制造、材料加工和醫(yī)療衛(wèi)生等領域都具有十分重要的作用?；诔暡}沖回波法，建立了超聲測量各向同性均勻介質結構內部瞬態(tài)溫度分布的理論模型，發(fā)展了預測結構內部非均勻溫度場的靈敏度法和共軛梯度法，并系統比較分析了兩種瞬態(tài)溫度場重建算法的精度、抗噪性和穩(wěn)定性等特性。實驗驗證表明：基于熱傳導反問題的兩種方法，重建得到的結構內部瞬態(tài)非均勻溫度分布精度均較高，實時性好，適用性強；對結構內部瞬態(tài)溫度場的預測與評估以及探索研究結構內部量的新型測量和控制技術等具有參考意義。

兵器科學與技術； 瞬態(tài)溫度場； 超聲測溫； 溫度場重建； 靈敏度法； 共軛梯度法

0 引言

溫度作為一個基本物理量，是確定介質狀態(tài)最重要的參數之一。結構內部瞬態(tài)溫度場的測量在航空航天、機械制造、材料加工和醫(yī)療衛(wèi)生等領域都具有十分重要的作用[1-2]。目前，結構內部的溫度測量主要采用內埋傳感器(譬如熱電阻、熱電偶)的接觸式探測，但這種方法有一些局限性，如打孔安裝傳感器容易破壞結構的原有形態(tài)，并可能導致結構局部的溫度變化或產生應力集中等問題。無損非接觸式測溫方法中的紅外技術、磷光熱圖等目前還僅適用于結構表面溫度的測溫[3-4]。因此，發(fā)展應用范圍更廣的無損溫度測量技術成為目前固體結構內部溫度測量與控制中亟待解決的熱點之一。

超聲波測溫技術可以實現對結構內部溫度場的無損非接觸式探測。相比傳統的測溫方法，超聲波測溫具有更快速、更精確、使用范圍更寬的優(yōu)勢[5-6]，且已經在氣體、液態(tài)材料等方面取得一系列研究成果。但是，對于探測固體結構內部瞬態(tài)溫度場的研究還比較少，需要進一步研究諸如納秒級聲時測量技術、瞬態(tài)溫度場重建的數理模型和多參數的反演計算方法等關鍵技術問題[7-8]。

本文從熱聲學理論和超聲測溫感知機理[9-10]出發(fā)，建立了結構內部瞬態(tài)非均勻溫度場非接觸探測的理論模型；從求解反問題角度入手，將瞬態(tài)非均勻溫度場的重建問題轉化為熱邊界的反演和熱傳導正問題的求解；應用參數辨識中的靈敏度法和共軛梯度法，發(fā)展了基于求解熱傳導反問題的結構內部瞬態(tài)溫度場重建技術，并開展了一系列的數值仿真分析和有效性驗證，得到了一些有意義的結果。

1 超聲測溫模型

如圖1所示，假設一均質結構左端受到沿空間均布的時變熱流加熱。結構內部的非均勻溫度場沿其受熱面垂直方向可視為一維分布狀態(tài)，即結構內部各點的溫度值僅是x的函數。超聲測溫中聲波探頭安裝在結構右端。采用脈沖回波法進行測量時，超聲波在固體介質中的傳播時間ttof[11]可表示為

(1)

式中：T為溫度；L為超聲波在固體介質中單向傳播的距離(被檢測結構的厚度)；v是固體介質中超聲波的傳播速度，與材料性能和結構所受溫度相關。

圖1 超聲測溫的一維模型Fig.1 One-dimensional model of ultrasound speed measurement of temperature

在各向同性介質中，v通?？梢员硎緸榻Y構所受溫度的線性函數，如

v(T)=mT+n,

(2)

式中：m和n為常數，由實驗標定得到。

固體介質中的溫度T，其一維情況下可以表示為位置x和時間t的函數，顯然T(x,t)即為待求的一維結構內部非均勻溫度場分布狀態(tài)。

圖2描述了鋼中超聲波縱波的傳播速度與溫度的變化關系[12]。

圖2 鋼中縱波波速與溫度的關系Fig.2 Longitudinal wave velocity vs, temperature in steel

因此，基于超聲波波速與溫度的相關性，首先采用超聲波脈沖回波法，準確獲得超聲波在固體介質中的傳播時間ttof. 然后，基于參數反演，根據(1)式以及聲波傳播速度與介質溫度的函數關系反演出等效的邊界條件。最后，基于熱傳導的正問題求解獲得結構內部不同時刻的溫度場分布狀態(tài)。

2 瞬態(tài)溫度場的反演算法

基于傳播時間進行溫度場的重建，本質上是一個熱- 聲- 固體耦合的反問題。對于一維溫度場重建而言，可暫不考慮超聲波傳播路徑的變化。

一維無內熱源熱傳導正問題可描述為

主控方程

(3)

T|x=L=Tcons,

初值條件T|t=0=Tcons,

觀測方程

ttof,m=ttof,ex+εtof,m,

(4)

式中：Ttop為待反演的溫度邊界；Tcons為恒定溫度值；k為導熱系數；ρ為密度；cp為比熱容；q為熱流密度；ε為測量誤差；t為時間；下標“m”表示測量得到，下標“ex”表示精確值。反問題描述為：已知測量的超聲波傳播時間ttof(見(4)式)，求解主控方程中的邊界熱流q(t)或Ttop.

反演算法思路：以傳播時間為依據，在數值求解正問題的基礎上，根據輸出誤差原則，將反問題轉化為一個優(yōu)化問題，等價于尋求合適的函數q(t)(或者Ttop)，使目標泛函J達極小值的過程：

(5)

式中：下標“c”表示計算得到。邊值條件q(t)或Ttop的反演估計中，目標函數J(q(t))設定后，則物理系統參數反分析問題就可以歸結為求解如下非線性優(yōu)化問題：

minJ(q(t))，

T(x,t),t>0,x∈[0,L].

(6)

2.1 靈敏度法

靈敏度法[13]的描述如下：目標函數達到極小的必要條件為?J(θ)/?θ=0，θ是待辨識參數，當在第i迭代層次上Ji(θi)不是極小值時，必須調整θi使Ji+1達到極小值，則有

(7)

略去2階以上小量后得

(8)

式中：M稱為信息矩陣。向量?J/?θ和矩陣M中都含有狀態(tài)變量對參數的導數，該導數稱為靈敏度，由(8)式構成的算法稱之為靈敏度法。對于穩(wěn)態(tài)邊界，信息矩陣則退化為單一元素；對于瞬態(tài)邊界，則為n×n矩陣。由于熱傳導方程的擴散性，n×n矩陣多為病態(tài)矩陣[14]。

因此，在本文中，靈敏度法主要用于穩(wěn)態(tài)邊界Ttop的反演。根據變分原理，對目標函數取變分，得到目標函數關于待辨識邊界的導數為

(9)

對(9)式再求導，則得到信息矩陣為

(10)

式中：?T/?Ttop為溫度場關于待辨識加熱邊界的靈敏度。將主控方程(3)式關于待辨識邊界求導即可得到靈敏度方程。優(yōu)化步驟見(8)式。

2.2 共軛梯度法

共軛梯度法也稱為迭代正則化方法[15-16]，分解為熱傳導正問題、靈敏度問題和伴隨變量問題進行求解。優(yōu)化算法[15]描述如下：

(11)

為了得到伴隨方程，引入伴隨變量λ，將目標函數(5)式寫為如下的擴展形式：

(12)

對(12)式右邊第二部分做分部積分后再做變分，得到伴隨方程為

(13)

(14)

步長由(15)式計算：

(15)

式中：Δttof是Δq=Pn引起的傳播時間的變化值。在優(yōu)化過程中，收斂準則根據輸出誤差原則獲得

J<δ，δ=Mmσ2,

(16)

式中：Mm為測量點數。至此，梯度、步長均已求出，共軛梯度可由梯度、步長構造。具體優(yōu)化過程可參閱文獻[17]。

3 精度、抗噪性和穩(wěn)定性分析

本節(jié)通過數值仿真，分析兩種反演算法的精度、抗噪性以及穩(wěn)定性等。

數值仿真中，假定超聲波波型為縱波，介質材料為鋼，長度5 cm. 鋼中縱波波速與溫度的關系見(17)式。通過計算相應的正問題獲得超聲波傳播時間ttof的真值。

v(T)=-0.648 0T+5 9280.0.

(17)

首先，針對靈敏度法開展仿真分析。假設加熱面溫度為350 K，計算時間為60 s. 為了更好地模擬實際測量數據，在精確時間的基礎上，分別疊加標準差為0，均方差σ為1×10-7s、5×10-7s、1×10-6s和5×10-6s的白噪聲作為模擬傳播時間。表1給出了超聲波傳播時間疊加不同噪聲情況下加熱邊界的辨識結果對比。

圖3給出了距加熱面15 mm測點處辨識的溫升對比。從圖3中可以發(fā)現，隨著信噪比的降低(噪聲的增大)，辨識精度下降，相對溫升的誤差增長較快。例如無白噪聲時，溫升相對誤差(即加熱面溫度辨識值與實際值的比值)為0.000 3%；疊加5×10-7s的白噪聲后，相對誤差約為1.67%. 由此可以看出，靈敏度算法具有較好的抗噪性。

表1 靈敏度法辨識的溫度邊界結果對比Tab.1 Comparison of boundary temperatures estimated by sensitivity method

圖3 采用靈敏度法反演的測點處溫升歷程對比Fig.3 Temperature variation at measurement point estimated by sensitivity method

接著，通過典型熱流的反演，分析共軛梯度法的精度和抗噪性等。

邊界熱流為正弦和階躍熱流，計算時間為5 s. 通過計算相應的正問題，得到模擬傳播時間。在實際應用中，誤差不可避免。因此，在模擬值的基礎上分別疊加標準差為1×10-8s、1×10-9s和1×10-10s的白噪聲作為實際測量值，具體見圖4. 從圖4中可以發(fā)現，超聲波的傳播時間非常短暫，為微秒量級；相較于傳播時間總的變化值(約0.11×10-6s)，1×10-8s的誤差標準差相當于帶來了近10%的敏感度誤差。

圖4 模擬的傳播時間Fig.4 Simulated transit time of ultrasonic wave

圖5顯示基于超聲傳播時間，采用共軛梯度法反演得到的熱流值對比情況。從圖5中可以發(fā)現，在非連續(xù)點處，辨識值存在一定的“數值振蕩”，如階躍熱流的階躍點；此外，在起始點和尾點處與模擬真值還存在一定的差異。除此之外，隨著誤差的減小，辨識值與模擬真值的吻合度增加；當誤差標準差為1×10-8s時，兩種熱流的反演值均較差，這主要與信號的信噪比過小有關；當誤差標準差為1×10-9s時，正弦熱流反演值的偏差帶約為±5%，階躍熱流反演值的偏差帶約為±10%；當誤差標準差為1×10-10s時，正弦熱流反演值的偏差帶約為±3%，階躍熱流反演值的偏差帶約為±5%. 起始點處、尾點處與真值的差異，主要是與起始點處靈敏度較小，尾點處伴隨變量始終為0有關(可參見第2節(jié)中的(13)式)。起始點處的靈敏度較小，是由熱傳導過程的擴散特性決定的，修正較為困難；尾點處的辨識值較差可以通過修正伴隨變量而改善，如λtmax=λtmax-1.

圖5 采用共軛梯度法反演的熱流值對比Fig.5 Comparison of heat fluxes estimated by conjugate gradient method

圖6顯示了基于反演的熱流重建得到的典型時刻溫度分布的對比情況。從圖6中可以發(fā)現：最大偏差出現在熱邊界處，除此之外，計算值與模擬真值吻合較好；隨著誤差的增加，偏差增大；5 s時刻，當白噪聲的標準差為1×10-8s時，正弦熱流邊界的溫度最大偏差55 ℃(起始點處)，約10%，而階躍熱流邊界的最大偏差為75 ℃，約12%；1×10-9s時，正弦熱流的最大偏差降為45 ℃，約8.8%，階躍熱流則降為30 ℃，約6%；1×10-10s時，正弦熱流的溫度最大偏差急劇減小至10 ℃，約2%，階躍熱流則降為5 ℃，約1%. 最大偏差出現在起始點處，主要是與該點的靈敏度較小有關。

圖6 重建的不同時刻溫度分布對比Fig.6 Comparison of reconstructed temperature distributions at different time

通過上述分析，不難發(fā)現，為了保持重建的溫度場具有較好的精度，傳播時間的精度需要保持1×10-9s量級。結合(17)式可知，縱波在鋼中傳播時，溫度變化1 ℃，波速變化0.648 m/s. 傳播時間與傳播路徑長度和波速有關。在本算例中，材料長度為5 cm，則材料的溫度變化1 ℃，傳播時間變化約1.8×10-9s. 由此可見，超聲波對于結構內部溫度的敏感度非常微弱。這對測試信號的信噪比和重建算法的抗噪性提出要求。

最后，分析一下算法的穩(wěn)定性。熱傳導反問題是一個不適定的問題，體現在解不連續(xù)依賴于數據，即觀測數據的細微誤差可能導致巨大變化。要克服這種不適定性，通常的做法是對目標函數正則化，使不適定性問題變?yōu)檫m定。

正則化主要有兩種方法，一種是Beck[10]的正則化方法，另一種是文獻[18]中Alifanov的迭代正則化方法，通過設定合適的收斂準則來達到正則化的目的，例如，本文的(16)式。該方法實現方便，適于工程應用。

定義辨識值與真值之間的相對偏差E為

(18)

式中：下標“av”表示平均值。

定義計算傳播時間與測量值之間的平均偏差S為

(19)

從圖7可以看出：在反演過程中，E的極小值并非出現在J的極值處，而是某一局部值處，約Mmσ2，即(16)式。E與J關系實質上是輸出誤差原則的體現，只要合理的利用這種關系就可以使算法具有良好的抗噪性與穩(wěn)定性。

圖7 E隨目標函數J下降的變化關系Fig.7 Variation of E with objective function J

綜上可知，基于靈敏度法和共軛梯度法建立的固體結構內部瞬態(tài)溫度場的反演方法，精度較高、抗噪性較好，并且具有可靠的穩(wěn)定性。

4 算法驗證

為了進一步分析算法的有效性，本節(jié)借鑒文獻[19]中的實驗數據，進行兩種算法的有效性驗證。實驗示意如圖8所示。

圖8 文獻[19]實驗示意圖Fig.8 Schematic diagram of experimental setup for ultrasonic temperature monitoring in Ref. [19]

測試材料為不銹鋼，長度為30 mm. 底部采用75 ℃熱水加熱10 s，其他邊界可以近似為絕熱。為了對比分析超聲測溫數據，在試件內部的長度方向，均布5個熱電偶。初始溫度為26 ℃. 試件中超聲波的波速與溫度的關系式為

v(T)=-0.648T+5 934.9.

(20)

圖9給出了超聲波傳播時間的計算值與文獻[19]實驗測量值的對比。從圖9中可以發(fā)現：對于共軛梯度法而言，傳播時間計算值的變化趨勢與測量值吻合非常好，最大偏差小于0.1%；對于靈敏度算法而言，6 s前，計算得到的傳播時間偏大，偏差隨時間增加而減小；6 s后，計算值偏小，偏差隨時間增加而增大；全時間域內平均偏差小于0.5%. 分析認為，在共軛梯度法中，反演的熱邊界為瞬態(tài)，更符合實驗中加熱邊界的物理描述，而在靈敏度算法中，反演的熱邊界為穩(wěn)態(tài)，若物理邊界為瞬態(tài)，則是一種等效近似處理。

圖9 渡越時間計算值與文獻[19]對比Fig.9 Comparison of estimated transit time of ultrasonic waveand that in Ref.[19]

圖10給出了不同時刻溫度分布的重建值與文獻[19]測量值的對比。從圖10中可以發(fā)現，采用共軛梯度法重建的溫度分布與熱電偶的測量值吻合得最好；對于靈敏度算法而言， 5 s時刻的重建精度高于文獻[19]中的重建算法，接近共軛梯度法，但是1 s、和2.6 s的精度則最差；距離加熱邊界越近，重建誤差越大，在熱電偶1點處，共軛梯度的偏差小于0.1 ℃，靈敏度法約1 ℃，而文獻[19]中的算法則為2.2 ℃. 由此可見，共軛梯度法具有較高精度，且適用性較好，而靈敏度算法受限于穩(wěn)態(tài)邊界限制，適用范圍有限。

圖10 重建的不同時刻溫度分布值與文獻[19]測量值對比Fig.10 Comparison of reconstructed temperature distribution at different time and those in Ref.[19]

圖11給出了不同測點的溫升歷程與測量值的對比。從圖11中可以發(fā)現：5 s時刻，采用共軛梯度法重建得到的溫升歷程與測量值吻合最好，最大偏差小于0.1 ℃，靈敏度法與文獻[19]中的重建算法精度相當，最大偏差約2.2 ℃；對于1 s和2.6 s時刻，采用靈敏度法重建得到的溫升歷程與測量值吻合得最好，最大偏差小于0.1 ℃，共軛梯度法與文獻[19]中的重建算法精度相當，最大偏差約0.3 ℃. 這主要是因為1 s和2.6 s時刻，加熱時間太短，熱邊界可以近似為穩(wěn)態(tài)，而共軛梯度法由于初始時刻靈敏度較小，重建精度略受影響。

圖11 不同測點處溫升歷程與文獻[19]測量值對比Fig.11 Comparison of estimated temperature histories at different measuring points and those in Ref.[19]

為了增強靈敏度算法的適用性，本文針對靈敏度算法，采用準定常近似處理，分段重建結構內部瞬態(tài)溫度分布。圖12給出了采用準定常近似后，傳播時間計算值與文獻[19]測量值的對比。從圖12可以發(fā)現，采用準定常近似后，傳播時間隨時間的變化趨勢與測量值的吻合度增加。

圖12 準定常修正后傳播時間計算值與文獻[19]測量值對比Fig.12 Comparison of quasi-steady corrected estimated transit time of ultrasonic wave and that in Ref.[19]

圖13給出了采用準定常近似后不同測點的溫升歷程與測量值的對比。從圖13中可以發(fā)現，采用準定常近似后，采用靈敏度算法重建的溫度分布的精度得到了有效的改善，其精度接近于共軛梯度法。圖14給出了共軛梯度法反演得到的熱流。從圖14可以清晰地分辨出熱邊界幾乎保持為一個恒定值，符合物理實際。起點處和尾點處的熱流值偏低，這主要與起始點處靈敏度較小，尾點處伴隨變量始終為0有關。這兩個點的反演值受初值影響較大。

圖13 準定常近似后不同時刻溫度分布值與文獻[19]測量值對比Fig.13 Comparison of quasi-steady corrected temperature distributions at different time and those in Ref.[19]

圖14 共軛梯度法反演得到的熱流Fig.14 Heat flux estimated by CGM

總體來看，基于超聲傳播時間，建立的兩種結構內部瞬態(tài)溫度場重建方法有效，反演的熱邊界條件符合物理實際，重建的瞬態(tài)溫度分布精度較高，實時性好，將有利于促進超聲無損測溫技術的發(fā)展。

5 結論

1)本文基于反演穩(wěn)態(tài)、瞬態(tài)邊界重建的結構內部瞬態(tài)溫度分布，除個別點外，與真值吻合良好，算法精度高、抗噪性好、穩(wěn)定性強。

2)比較兩種算法，靈敏度法主要適用于穩(wěn)態(tài)邊界的反演，推導和實現較為方便，精度和計算效率較好，但是對于瞬態(tài)邊界反演而言，則受限于信息矩陣的病態(tài)特性，效果欠佳，若采用準定常近似，可以有效改善；共軛梯度法能很好地適用于瞬態(tài)邊界的反演，精度較高，但是推導和實現較為復雜，起點和尾點的反演值需修正。

3)對比文獻[19]實驗結果可知：基于超聲傳播時間反演的熱邊界條件，符合物理實際，重建的瞬態(tài)溫度分布精度較高，實時性好，適用性強，將有利于促進超聲無損測量固體結構內部溫度分布技術的發(fā)展，具有一定的工程應用價值。

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Reconstruction of Transient Nonuniform Temperature Field in Solid Structures Using Inverse Methods

SHI You-an1,2, WEI Dong2, GUI Ye-wei2, QIAN Wei-qi2, ZENG Lei2, LIU Xiao2

(1.State Key Laboratory of Aerodynamics,China Aerodynamics Research and Development Center, Mianyang 621000, Sichuan， China;2.Computational Aerodynamics Institute, China Aerodynamics Research and Development Center, Mianyang 621000,Sichuan，China)

A new method is presented for reconstruction of internal transient nonuniform temperature field in solid structures . The proposed method consists of a joint of heat conduction calculation and an inverse analysis for boundary parameter estimation using ultrasonic time of flight by conjugate gradient method or sensitivity method. The principle for internal temperature sensing is based on temperature dependence of the velocity of ultrasonic wave that propagates through solid material. Serial simulation and stability analysis are made， in which classic function form of heat flux or constant temperature is estimated to illustrate the calculating accuracy and the factors of influencing two parameter estimation methods. Comparison experiments with a steel plate which single side is heated by hot water are referred. The temperature gradient and its variation estimated by the two methods agree well with the data measured using thermocouples installed in a steel structure. The results show that the proposed method is a promising means for high accurate reconstruction of internal transient temperature field in solid structure.

ordnance science and technology; transient temperature field； ultrasound speed measurement of temperature； reconstruction of temperature field； sensitivity method； conjugate gradient method

2016-03-17

國家自然科學基金項目(11402285、11372338)； 國家“973”計劃項目(2015CB755800)

石友安(1985—)，男，助理研究員。E-mail：youanshi@sina.com

TB942

A

1000-1093(2016)12-2347-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.12.022