脈寬調(diào)制電壓激勵下電機(jī)永磁體渦流有限元計算的比擬等效方法

曾穎宇， 蔣曉華

(清華大學(xué) 電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系,北京 100084)

脈寬調(diào)制電壓激勵下電機(jī)永磁體渦流有限元計算的比擬等效方法

曾穎宇， 蔣曉華

(清華大學(xué) 電機(jī)工程與應(yīng)用電子技術(shù)系,北京 100084)

永磁體渦流損耗計算是永磁電機(jī)熱分析的關(guān)鍵問題之一。運用電機(jī)學(xué)基本理論與電磁場解析法提出一種比擬方法，使得高脈寬調(diào)制開關(guān)頻率下的永磁體渦流問題可以用低開關(guān)頻率模型進(jìn)行比擬。在相同過渡過程時間內(nèi)，比擬模型可以減少時步有限元法的計算步數(shù)，使永磁體渦流有限元分析的時間得以縮短。以表貼式永磁電機(jī)為例，對所提出的比擬等效方法用有限元算例進(jìn)行檢驗，比擬比例取為3。計算結(jié)果表明，比擬等效模型的計算時間減少到原問題的1/4以下，比擬等效模型與原問題電機(jī)電流諧波幅值相對誤差小于2.36%，永磁體渦流損耗相對誤差小于0.48%。

脈寬調(diào)制開關(guān)頻率; 永磁體; 渦流損耗; 有限元; 比擬等效

0 引 言

由于高轉(zhuǎn)矩密度和良好的低速高轉(zhuǎn)矩輸出性能，永磁電機(jī)在可再生能源和電氣化交通等方面的應(yīng)用越來越廣泛。在逆變器驅(qū)動下，脈寬調(diào)制(Pulse Width Modulation, PWM)中的諧波電壓在永磁電機(jī)的永磁體中激發(fā)渦流，從而導(dǎo)致永磁體溫度升高，使得永磁體磁性能下降甚至導(dǎo)致失磁[1-4]。通常采用適當(dāng)?shù)闹芟?、軸向分塊以減少永磁體渦流損耗[5-6]。準(zhǔn)確的渦流損耗是計算永磁體溫升和校核抗失磁能力的關(guān)鍵[7-10]。

永磁體渦流問題的解析求解方面，運用格林函數(shù)[11]、子域聯(lián)立求解[12-14]、氣隙磁場諧波分解[15]等方法可以得到渦流分布的解析表達(dá)式。對于三維永磁體渦流問題，現(xiàn)有文獻(xiàn)報道的解析法結(jié)果僅限于磁體為長方體或者把瓦片狀磁體折合等效為長方體磁體的情形[15-18]。數(shù)值方法方面，在軸向分塊情況下，PWM電壓激勵下的時步有限元法分析三維渦流非常耗時，文獻(xiàn)[1]給出的286608單元961時間步的算例耗時289h，文獻(xiàn)[19]給出的49368單元1024時間步算例耗時86h。日本學(xué)者K.Yamazaki等致力于縮短計算時間，提出了二維時步與三維頻域結(jié)合[19]、用重合節(jié)點處理永磁體間絕緣間隙[20]等方法。

比擬原理在電路和電磁場分析中應(yīng)用廣泛[21]。運用比擬原理，對模型進(jìn)行時間或空間上的放縮，可使問題得以簡化。比擬原理在電機(jī)氣隙的流體傳熱分析中有應(yīng)用[22]，但在永磁體渦流分析中未見文獻(xiàn)報道。

本文擬運用比擬原理，把高PWM頻率激勵下的電機(jī)永磁體渦流問題等效為低PWM頻率問題，從而減少渦流問題有限元計算的步數(shù)和時間。文中首先定義了永磁體渦流問題等效所需滿足的比擬關(guān)系，然后運用電機(jī)學(xué)基本原理以及子域聯(lián)立解析方法分析高低PWM開關(guān)頻率兩組比擬模型間電機(jī)電流、電磁場以及永磁體渦流損耗的數(shù)量關(guān)系，最后用有限元算例對所提出的方法進(jìn)行驗證。

1 高開關(guān)頻率渦流問題的低開關(guān)頻率比擬

本文所指的比擬關(guān)系定義如式(1)～式(4)所示，k為比例系數(shù)。原問題以下標(biāo)1表示，與其比擬的模型以下標(biāo)2表示。原問題PWM激勵頻率、直流母線電壓、電機(jī)電壓u、電機(jī)轉(zhuǎn)速n和永磁體電阻率σ-1均是比擬模型的k倍，比擬關(guān)系表現(xiàn)為激勵電壓存在倍乘和時域放縮關(guān)系以及永磁體電阻率存在比例關(guān)系。原問題和比擬模型的空間尺寸以及永磁體退磁曲線完全一致，退磁曲線一致表明永磁體磁化電流密度空間分布JM在轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系上滿足式(4)。

u1(t)=ku2(kt)

(1)

n1=kn2

(2)

σ1=k-1σ2

(3)

JM1=JM2

(4)

下面將證明，在電機(jī)繞組電阻遠(yuǎn)小于電抗以及假設(shè)鐵心磁導(dǎo)率為無窮大的前提下，符合比擬關(guān)系的兩電機(jī)之間對應(yīng)時刻的相電流i以及對應(yīng)時間-空間位置的磁場磁矢量位A滿足如式(5)和式(6)所示的時域放縮關(guān)系，永磁體渦流損耗w滿足如式(7)所示的時域放縮和幅值倍乘關(guān)系，平均渦流損耗為k倍的倍乘關(guān)系。利用電流、電磁場和渦流損耗的比擬關(guān)系，能把高開關(guān)頻率激勵下的渦流問題1等效為低開關(guān)頻率激勵的問題2進(jìn)行計算，從而減少有限元計算的步數(shù)，縮短計算時間。

i1(t)=i2(kt)

(5)

A1(t)=A2(kt)

(6)

w1(t)=kw2(kt)

(7)

分析中假定電機(jī)繞組電阻遠(yuǎn)小于電機(jī)電抗，從而繞組電阻可忽略。電磁場分析中常假設(shè)鐵心的磁導(dǎo)率為無窮大，對于表貼式永磁電機(jī)，這表明鐵心邊界的切向磁場為零，對于內(nèi)埋式電機(jī)，則需要考慮轉(zhuǎn)子鐵心中磁導(dǎo)率μ的空間分布。

傅氏變換中，時域壓縮對應(yīng)頻域擴(kuò)張，因此電壓關(guān)系式(1)在頻域中表征為式(8)。類似的，比擬模型和原問題中永磁體磁特性相同，電機(jī)反電勢幅值與轉(zhuǎn)速成正比，波形則隨轉(zhuǎn)速升高而呈現(xiàn)為時域壓縮，故基波反電勢和諧波反電勢均滿足式(9)。即使考慮電樞反應(yīng)對永磁體產(chǎn)生的增磁或去磁作用，由于式(5)說明兩模型間電流為幅值相等時域放縮的關(guān)系，式(9)仍然成立。

(8)

(9)

對于隱極電機(jī)，當(dāng)繞組電阻遠(yuǎn)小于電機(jī)電抗時，電壓電流關(guān)系近似滿足式(10)。由于永磁體中渦流電流的分布隨頻率而變化，因此電感L隨頻率變化，電感L體現(xiàn)了場路的耦合關(guān)系，后面電磁場的分析將證明電感滿足式(11)。由于鐵心的磁導(dǎo)率要比空氣大上千倍，磁動勢主要降落在氣隙上，如果不考慮永磁體渦流對電感的影響，也可認(rèn)為電感L為常數(shù)。

(10)

L1(kω)=L2(ω)

(11)

無論電感L隨頻率變化或不變化，都可由式(8)～式(11)得到式(12)。式(12)表明，電機(jī)電流在時域中的表征為幅值不變時域k倍放縮，因此得到電流關(guān)系滿足式(5)，電流密度滿足式(13)。對于凸極電機(jī)，將式(10)分成直軸和交軸分別列寫方程，同樣可得到式(12)和式(13)。

(12)

J1(t)=J2(kt)

(13)

采用A-φ法分析比擬模型和原問題的電磁場比擬關(guān)系，以磁矢位A表征電機(jī)磁場，令φ為零。根據(jù)文獻(xiàn)[23]，由于電流流通的區(qū)域不涉及不同種材料，不存在交界面上的電荷積聚，并且不考慮繞組對地的容性漏電流，因此令φ為零不會影響磁場分析結(jié)果。

在庫倫定律下，電機(jī)電磁場的控制方程如式(14)～式(17)所示。繞組區(qū)控制方程為泊松方程式(14)。非渦流區(qū)，如內(nèi)埋式電機(jī)的轉(zhuǎn)子鐵心區(qū)域的控制方程如式(15)，特別地，空氣區(qū)的控制方程可以簡化為式(16)。永磁體內(nèi)的控制方程如式(17)。區(qū)域的邊界之間滿足A連續(xù)。

(14)

(15)

(16)

(17)

對于表貼式電機(jī)定轉(zhuǎn)子和內(nèi)埋式電機(jī)定子，由于假設(shè)鐵心材料的磁導(dǎo)率為無窮大，因此鐵心表面的磁邊界條件為齊次邊界條件，如式(18)所示：

(18)

永磁體內(nèi)的渦流電流不能穿出永磁體表面，因此永磁體表面存在電邊界條件如式(19)所示。

(19)

由于邊界條件為齊次邊界條件，而比擬模型和原問題的繞組電流密度J和永磁體等效磁化電流密度JM分別滿足式(13)和式(4)的時域放縮關(guān)系，電機(jī)內(nèi)的磁場滿足式(6)的時域放縮關(guān)系可使式(14)～式(17)均得以滿足，其中式(17)可由式(6)引出式(20)，并和式(4)聯(lián)立來進(jìn)行檢驗。

(20)

永磁體勵磁產(chǎn)生的磁位AM與總磁位A類似，都是如式(6)的幅值相等時域放縮關(guān)系，后者減去前者即為渦流反應(yīng)疊加電樞反應(yīng)的磁場，體現(xiàn)在集總參數(shù)電路中即為式(11)中的電感，電感表達(dá)式如式(21)，結(jié)合式(6)和式(13)可知電感隨頻率的變化滿足式(21)。

(21)

永磁體瞬時渦流損耗密度如式(22)，將式(3)和式(20)代入式(22)可得到式(7)。式(16)說明原問題和比擬模型的瞬時渦流損耗密度w之間存在時域放縮k倍、幅值倍乘k倍的關(guān)系，平均渦流損耗前者和后者成k倍比例，如式(23)所示。

(22)

W1=kW2

(23)

2 有限元算例

以一臺3相4極48槽表貼式永磁電機(jī)為例，電機(jī)和逆變器參數(shù)如表1所示，繞組電阻為50mΩ。原問題的電機(jī)機(jī)端電壓為1140V，直流母線電壓為1800V，轉(zhuǎn)速為4500r/min，采用SVPWM，基波頻率150Hz，載波頻率9450Hz，永磁體電阻率為4.32μΩ·m，比擬等效模型的比例系數(shù)在本文中取k=3，從而基波頻率可減少到50Hz，載波頻率減少到3150Hz。原問題和比擬等效模型所采用的永磁體剩磁1.2T，相對磁導(dǎo)率μr=1.13，鐵心相對磁導(dǎo)率均為μr=9000，電機(jī)繞組匝數(shù)均為10匝，并聯(lián)支路數(shù)為4。

表1 電機(jī)及逆變器參數(shù)

在商用電磁場有限元軟件JMAG中建立的有限元模型如圖1所示。利用空間周期性，采用奇對稱邊界，只對電機(jī)1/4周向進(jìn)行建模。永磁體剖分的單元尺寸為10倍PWM載波頻率對應(yīng)的集膚深度的1/2～1/3。定子外圓處設(shè)置磁場平行邊界條件。剖分后的模型單元數(shù)為28727，節(jié)點數(shù)為15943。原模型和比擬模型的尺寸和具體剖分完全一致。

圖1 在JMAG中建立的有限元模型

由于PWM諧波豐富，對加載的PWM電壓濾除了10倍開關(guān)頻率以上的諧波。在算例的調(diào)制比下，1至10倍開關(guān)頻率范圍內(nèi)包含了95%以上的諧波能量(不計入基波)。濾波后的機(jī)端電壓波形如圖2所示，兩者符合時域壓縮和幅值倍乘的關(guān)系。

有限元計算的時間步長設(shè)置為PWM開關(guān)周期的1/80，滿足奈奎斯特采樣定理。計算0.2s的動態(tài)過程，原模型的計算步數(shù)為151200步，采用比擬方法后，計算步數(shù)可以減少到原來的1/3，即50400步。有限元計算利用商用JMAG軟件，在配置有8核3.2GHz Intel Core-i7 CPU、32GB內(nèi)存的計算機(jī)上進(jìn)行。

3 驗證結(jié)果及討論

通過有限元軟件計算得到電機(jī)交直軸電感約2mH，比擬等效模型中基波頻率為50Hz，此頻率下交直軸電抗為繞組電阻的12倍以上，對于3kHz 及以上的開關(guān)頻率，繞組電阻不足電抗的千分之一，滿足電阻可忽略的前提。

施加的電流初始值為68.763∠-149.375° A，兩模型的轉(zhuǎn)矩和交直軸電流在0.12s后即與穩(wěn)態(tài)值相差小于5%。結(jié)果表明，二維時步有限元法的計算時間從168小時0分減少到41小時30分，采用本文提出的比擬原則的低開關(guān)頻率模型的計算時間是原高開關(guān)頻率問題的1/4以下。

圖2 電機(jī)機(jī)端電壓(直流母線負(fù)端為參考地)

有限元計算得到的電機(jī)電流波形如圖3所示，兩模型電流滿足幅值不變的時域放縮關(guān)系。電流作傅里葉分解后幅值譜如表2所示(僅列出幅值最大的10個頻次)，比擬模型與原模型對應(yīng)次數(shù)的諧波幅值相差在2.36%以內(nèi)。

表2 電流諧波幅值譜

圖3 電機(jī)穩(wěn)態(tài)電流波形

永磁體瞬時渦流損耗功率如圖4所示，兩者滿足時域放縮、幅值為k倍倍乘的比擬關(guān)系。原問題和比擬等效的低頻模型的時域波形之間存在相位差，這是由于繞組電阻在有限元計算中不嚴(yán)格為零、電阻與電抗之比在低頻率模型中更大所致。計算平均焦耳損耗，原問題永磁體平均渦流損耗為1334.6W，比擬等效模型的平均渦流損耗為447.0W，兩者比值為2.986，與理論預(yù)期的比值k=3相比，誤差僅為-0.48%。

由于數(shù)值計算自身的離散化誤差和舍入誤差，以及有限元模型中鐵心材料相對磁導(dǎo)率不為無窮大，有限元模型中繞組電阻不嚴(yán)格為零等非理想因素，比擬模型與原問題之間計算結(jié)果具有不足千分之五的偏差，在精度上已經(jīng)滿足多數(shù)工程要求。

4 結(jié) 語

在高PWM開關(guān)頻率激勵下的永磁電機(jī)永磁

圖4 永磁體瞬時渦流損耗功率

體渦流損耗有限元計算問題，可以和一個尺寸及永磁體退磁曲線與原問題相當(dāng)、施加的PWM電壓幅值為1/k而時域上擴(kuò)張k倍、電機(jī)轉(zhuǎn)速和永磁體電阻率均為1/k的問題相比擬。在繞組電阻遠(yuǎn)小于電機(jī)電抗的前提下，比擬模型與原問題的電機(jī)電流和電磁場為時域放縮關(guān)系，比擬模型的永磁體渦流損耗是原問題的1/k。比擬模型把原問題等效為低開關(guān)頻率激勵下的渦流問題，從而時步有限元法的計算步數(shù)和計算時間都比原問題有所減少，精度可滿足多數(shù)工程要求。

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Analogy Method for Finite Element Method Calculation of Eddy Current in Permanent Magnet with PWM Voltage Excitation

ZENGYingyu,JIANGXiaohua

(Electrical Engineering Department, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Calculation of eddy current loss in permanent magnet is a key issue in thermal analysis of permanent magnetic synchronous machine (PMSM). With fundamental theories in electrical machinery and analytical method in electro-magnetic field, an analogy criterion for equalizing an eddy current problem with high pulse width modulation (PWM) frequency to one with lower switching frequency was proposed, hence lessens the calculation steps and shortens the calculation time under similar transient process. An example of finite element method (FEM) analysis for surface-mounted PMSM was used to validate the proposed analogy method with the analogy proportion being 3. The result showed that the proposed method could reduce the calculation time to less than 1/4 of the original problem, whereas the relative errors in harmonic amplitude of machine current within 2.36% and eddy current loss in permanent magnet within 0.48%.

pulse width modulation switching frequency; permanent magnet; eddy current; finite element method; analogy method

曾穎宇(1988—)，男，碩士研究生，研究方向為電機(jī)電磁場。 蔣曉華(1963—)，女，教授，研究方向為電磁場數(shù)值計算、電力電子及應(yīng)用超導(dǎo)。

TM 301.2

A

1673- 6540(2016)12- 0058- 06

2016-05-03