積分方法的探索與補(bǔ)充
——輔助積分法*

吳邦昆

(合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽巢湖238000)

積分方法的探索與補(bǔ)充
——輔助積分法*

吳邦昆

(合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽巢湖238000)

有些三角函數(shù)有理式的積分，用傳統(tǒng)的萬(wàn)能代換法化為代數(shù)有理式積分仍然比較復(fù)雜，求積分過(guò)程相當(dāng)困難，有時(shí)甚至無(wú)法積出.而用輔助積分法解決這類三角函數(shù)有理式的積分有時(shí)過(guò)程簡(jiǎn)潔，思路清晰明了，為我們求三角函數(shù)有理式的積分提供了一種新方法和新思路，是對(duì)傳統(tǒng)積分方法的有益補(bǔ)充.

積分方法;補(bǔ)充;輔助積分法

解決一些用常規(guī)的萬(wàn)能代換法不易求出的三角函數(shù)有理式積分，用輔助積分法積分有時(shí)過(guò)程簡(jiǎn)潔，思路清晰明了.輔助積分法就是選擇與原積分結(jié)構(gòu)相似的輔助積分，利用輔助積分求出原積分的積分方法，這種方法無(wú)疑是對(duì)傳統(tǒng)積分方法的有益補(bǔ)充和探索.

1 輔助積分法的使用原則及步驟

運(yùn)用輔助積分法的關(guān)鍵是要選擇好輔助積分，尋求輔助積分應(yīng)注意4條原則.①輔助積分與原積分在結(jié)構(gòu)上相似;②輔助積分之間或輔助積分與原積分之間能通過(guò)恰當(dāng)組合化成一個(gè)易求積分;③原積分與輔助積分之間關(guān)系要明確;④對(duì)于三角函數(shù)有理式的積分，它的輔助積分應(yīng)該仍為一個(gè)三角函數(shù)有理式積分.

運(yùn)用輔助積分法求三角函數(shù)有理式積分的步驟是:首先應(yīng)根據(jù)原積分的三角函數(shù)有理式特點(diǎn)選擇好輔助積分(一個(gè)或多個(gè));再利用輔助積分之間的不同組合(有幾個(gè)輔助積分就要形成幾個(gè)不同組合)構(gòu)成不同的方程;最后解這個(gè)關(guān)于輔助積分的方程組，求出輔助積分，從而求出原積分.

2 輔助積分法的應(yīng)用

顯然要求出此有理式積分比較繁瑣，而用輔助積分法，求解過(guò)程就簡(jiǎn)單得多.

于是有

由式(1)及式(2)解得

分析:此題若用萬(wàn)能代換方法將其化成代數(shù)有理式求積分，其過(guò)程一定繁瑣，甚至求不出來(lái)，但用輔助積分法就可以得到比較清晰明了的解答.

解 令I(lǐng)1=(輔助積分)，I2=(輔 助 積 分 )，I3=d x(輔助積分)，則I=3I1+I2+4I3.

于是有

從而(3)+(4)得

代入式(3)得

將I1、I3代入式(5)得

所以，I = 3I1+ I2+ 4I3= sin x +

解 令I(lǐng)1=(輔助積分)，I23d x(輔助積分)，則I=2I1－I2.

從而有

由式(6)、(7)解得

解 令I(lǐng)1=(輔助積分)，I2=(輔助積分)，則I=2I1.于是有

由式(8)、式(9)解得

解 令I(lǐng)1=(輔助積分)，I2=(輔助積分)，則I=3I1+4I2.于是有

O231.2

:A

:1008－7974(2016)06－0044－03

10.13877/j.cnki.cn22－1284.2016.12.014

2016－07－20

安徽省高校省級(jí)質(zhì)量工程項(xiàng)目“《高等數(shù)學(xué)》精品資源共享課程”(2013gxk161);合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院質(zhì)量工程項(xiàng)目“《高等數(shù)學(xué)》精品課程”(JPKC201302);安徽省高校人文社科重點(diǎn)項(xiàng)目“大數(shù)據(jù)背景下高職學(xué)生學(xué)習(xí)力研究”(SK2015A734)

吳邦昆，安徽廬江縣人，副教授.