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    2017年高考概率統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)預(yù)測(cè)

    2017-07-31 23:48:19王位高
    廣東教育·高中 2017年5期
    關(guān)鍵詞:概型長(zhǎng)勢(shì)解析

    王位高

    從近三年全國(guó)高考新課標(biāo)卷概率統(tǒng)計(jì)試題來(lái)看,無(wú)論是文科卷還是理科卷,都是1道客觀題和1道解答題,分值為17分,試題的題量、題型、分值都很穩(wěn)定.

    一、考情分析

    概率統(tǒng)計(jì)試題對(duì)知識(shí)點(diǎn)的考查較為全面,以理科數(shù)學(xué)為例,考點(diǎn)覆蓋了概率統(tǒng)計(jì)必修與選修的各個(gè)章節(jié)內(nèi)容,考查了抽樣方法,統(tǒng)計(jì)圖表,數(shù)據(jù)的數(shù)字特征,用樣本估計(jì)總體,回歸分析,獨(dú)立性檢驗(yàn),古典概型,幾何概型,條件概率,相互獨(dú)立事件的概率,獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率,離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差,超幾何分布,二項(xiàng)分布,正態(tài)分布等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法.

    二、熱門考點(diǎn)預(yù)測(cè)

    熱點(diǎn)1 :隨機(jī)抽樣

    例1.某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150,120,180,150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售情況,需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本,記這項(xiàng)調(diào)查為①;在丙地區(qū)有20個(gè)大型銷售點(diǎn),要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)等情況,記這項(xiàng)調(diào)查為②,則完成①②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是( )

    A. 分層抽樣法,系統(tǒng)抽樣法

    B. 分層抽樣法,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法

    C. 系統(tǒng)抽樣法,分層抽樣法

    D. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法,分層抽樣法

    解析:一般甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)會(huì)存在差異,采用分層抽樣法較好.在丙地區(qū)中抽取的樣本個(gè)數(shù)較少,易采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法.答案選B.

    點(diǎn)評(píng):本題主要考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣、系統(tǒng)抽樣這三種抽樣的區(qū)別.

    例2. 某中學(xué)采用系統(tǒng)抽樣方法,從該校高一年級(jí)全體800名學(xué)生中抽取50名學(xué)生做牙齒健康檢查.現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進(jìn)行編號(hào).已知從33~48這16個(gè)數(shù)中抽到的數(shù)是39,則在第1小組1~16中隨機(jī)抽到的數(shù)是( )

    A. 5 B. 7 C. 11 D. 13

    解析:間隔數(shù)k=■=16,即每16人抽取一個(gè)人.由于39=2×16+7,所以第1小組中抽取的數(shù)為7. 答案選B.

    點(diǎn)評(píng):本題考查系統(tǒng)抽樣的計(jì)算,系統(tǒng)抽樣中,易忽視抽取的樣本數(shù)也就是分段的段數(shù),當(dāng)■不是整數(shù)時(shí),注意剔除,剔除的個(gè)體是隨機(jī)的,各段入樣的個(gè)體編號(hào)成等差數(shù)列.

    熱點(diǎn)2:用樣本估計(jì)總體

    例3. 從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué),將他們的身高(單位:厘米)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖).若要從身高在[120,130),[130,140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生中,用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動(dòng),則從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為( )

    A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

    解析:依題意可得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.035)=1,則a=0.03. 所以身高在[120,130),[130,140),[140,150]三組內(nèi)的學(xué)生比例為3∶2∶1.所以從身高在[140,150]內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為3. 答案選C.

    點(diǎn)評(píng):1.看頻率分布直方圖時(shí)需注意:(1)各組的頻率之和為1;(2)頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是■,而不是頻率;2.由頻率分布直方圖進(jìn)行相關(guān)計(jì)算時(shí),需掌握下列關(guān)系式:(1)■×組距=頻率.(2)■=頻率,此關(guān)系式的變形為■=樣本容量,樣本容量×頻率=頻數(shù).

    例4. 如圖是2017年某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中,七位評(píng)委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)依次為( )

    A. 85,84 B. 84,85

    C. 86,84 D. 84,86

    解析:由圖可知,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)為84,84,84,86,87.∴平均數(shù)為■=85,眾數(shù)為84. 答案選A.

    點(diǎn)評(píng):莖葉統(tǒng)計(jì)圖中莖是指中間的一列數(shù),葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù).在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí),用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好.繪制莖葉圖時(shí)需注意:(1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字,而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一;(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄,不能遺漏,特別是“葉”的位置上的數(shù)據(jù).

    熱點(diǎn)3:變量的相關(guān)性、統(tǒng)計(jì)案例

    例5. 某單位共有名員工,他們某年的收入如下表:

    已知員工年薪收入與工作年限成正相關(guān)關(guān)系,某員工工作第一年至第四年的年薪分別為3萬(wàn)元、4.5萬(wàn)元、5.6萬(wàn)元、7.2萬(wàn)元,預(yù)測(cè)該員工第五年的年薪為________.

    附:線性回歸方程 ■= ■x+■ 中系數(shù)計(jì)算公式分別為:

    ■=■,■ =■-■■,其中■、■為樣本均值.

    解析:設(shè)xi,yi(i=1,2,3,4)分別表示工作年限及相應(yīng)年薪,則■=2.5, ■=5,

    ■(xi-■)2=2.25+0.25+0.25+2.25=5.

    ■(xi-■)(yi-■)=-1.5×(-2)+(-0.5)×(-0.8)+0.5×0.6+1.5×2.2=7.

    ■=■=■=1.4.

    ■ =■-■■=5-1.4×2.5=1.5.

    由線性回歸方程:y=1.4x+1.5. 可預(yù)測(cè)該員工年后的年薪收入為8.5萬(wàn)元.

    點(diǎn)評(píng):考綱中對(duì)“變量的相關(guān)性”要求,有兩個(gè)“會(huì)”、一個(gè)“了解”、一個(gè)“能”,是一個(gè)完整的作散點(diǎn)圖、求回歸方程,并給出回歸分析的統(tǒng)計(jì)過(guò)程,試題常體會(huì)在“會(huì)”、“能”兩個(gè)要求上,不要求記憶線性回歸方程系數(shù)公式,而對(duì)于統(tǒng)計(jì)案例,不要求記憶獨(dú)立性檢驗(yàn)隨機(jī)變量K2值的計(jì)算公式,能根據(jù)公式計(jì)算結(jié)果給出獨(dú)立性檢驗(yàn)結(jié)論即可.

    熱點(diǎn)4:古典概型

    例6. 某學(xué)校為了提高學(xué)生的安全意識(shí),防止安全事故的發(fā)生,擬在未來(lái)連續(xù)7天中隨機(jī)選擇3天進(jìn)行緊急疏散演練,則選擇的3天中恰好有2天連續(xù)的概率是( )

    A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

    解析:連續(xù)7天中隨機(jī)選擇3天,有C37=35種情況,其中恰好有2天連續(xù),有4+3+3+3+3+4=20種情況,所以所求的概率為■=■,答案選D.

    點(diǎn)評(píng):計(jì)算古典概型事件的概率三步驟: 1.算出基本事件的總個(gè)數(shù)n;2.求出事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m;3.代入公式P(A)=■求出概率P. 理科試題一般會(huì)結(jié)合排列組合知識(shí)求事件數(shù).

    熱點(diǎn)5:條件概率

    例7. 某班從6名班干部(其中男生4人,女生2人)中選3人參加學(xué)校青年志愿者的競(jìng)選.在男生甲被選中的情況下,則女生乙也被選中的概率為________.

    解析:設(shè)“男生甲被選中”為事件A,“女生乙被選中”為事件B,則P(A)=■=■,P(AB)=■=■,∴P(B|A)=■=■. 故在男生甲被選中的情況下,女生乙也被選中的概率為■.

    點(diǎn)評(píng):本題主要考查條件概率的計(jì)算,有兩種方法:1.定義法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=■,求P(B|A);2.基本事件法:當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時(shí),可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=■. 2014年全國(guó)卷II以選擇題形式考查過(guò)條件概率,只能用條件概率的定義法求解.

    熱點(diǎn)6:幾何概型

    例8. 設(shè)不等式組0≤x≤2,0≤y≤2表示的平面區(qū)域?yàn)镈.在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是( )

    A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

    解析:題目中0≤x≤2,0≤y≤2表示的區(qū)域表示正方形區(qū)域,而動(dòng)點(diǎn)D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一的圓的面積部分,因此P=■=■,答案選D.

    點(diǎn)評(píng):本題立意簡(jiǎn)潔清新,將線性規(guī)劃和幾何概型(事件區(qū)域的度量為面積)自然結(jié)合,訓(xùn)練解題基本功. 2016年全國(guó)I卷以選擇題形式考查了幾何概型(事件區(qū)域的度量為長(zhǎng)度),幾何概型值得重視.

    熱點(diǎn)7:正態(tài)分布

    例9. 抽樣調(diào)查表明,某校高三學(xué)生成績(jī)(總分750分)X近似服從正態(tài)分布,平均成績(jī)?yōu)?00分. 已知P(400

    解析:由下圖可以看出P(550

    點(diǎn)評(píng):正態(tài)分布的問(wèn)題的考查無(wú)非是符號(hào)本身的認(rèn)識(shí)以及圖像的了解.解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性,把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化.解題時(shí)要充分結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解,要注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運(yùn)用.1.利用試題提供的P(μ-σ

    熱點(diǎn)8:隨機(jī)變量及其分布列

    例10. 調(diào)查表明:甲種農(nóng)作物的長(zhǎng)勢(shì)與海拔高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標(biāo)有極強(qiáng)的相關(guān)性,現(xiàn)將這三項(xiàng)的指標(biāo)分別記為x,y,z,并對(duì)它們進(jìn)行量化:0表示不合格,1表示臨界合格,2表示合格,再用綜合指標(biāo)ω=x+y+z的值評(píng)定這種農(nóng)作物的長(zhǎng)勢(shì)等級(jí),若ω≥4,則長(zhǎng)勢(shì)為一級(jí);若2≤ω≤3,則長(zhǎng)勢(shì)為二級(jí);若0≤ω≤1,則長(zhǎng)勢(shì)為三級(jí),為了了解目前這種農(nóng)作物長(zhǎng)勢(shì)情況,研究人員隨機(jī)抽取10塊種植地,得到如下表中結(jié)果:

    (Ⅰ)在這10塊該農(nóng)作物的種植地中任取兩塊地,求這兩塊地的空氣濕度的指標(biāo)z相同的概率;

    (Ⅱ)從長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)是一級(jí)的種植地中任取一塊地,其綜合指標(biāo)為A,從長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)不是一級(jí)的種植地中任取一塊地,其綜合指標(biāo)為B,記隨機(jī)變量X=A-B,求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

    解析:(Ⅰ)由表可知:空氣濕度指標(biāo)為1的有A2, A4,A5,A7, A9,A10.

    空氣濕度指標(biāo)為2的有A1,A3,A6,A8,

    在這10塊種植地中任取兩塊地,基本事件總數(shù)n=C210=■=45.

    這兩塊地的空氣溫度的指標(biāo)z相同包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C26=C24=■+■=21.

    ∴這兩地的空氣溫度的指標(biāo)z相同的概率P=■=■=■.

    (Ⅱ)由題意得10塊種植地的綜合指標(biāo)如下表:

    其中長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)是一級(jí)(ω≥4)有A1 , A2,A3,A5, A6,A8, A9,共7個(gè),

    長(zhǎng)勢(shì)等級(jí)不是一級(jí)(ω<4)的有A4, A7, A10,共3個(gè),

    隨機(jī)變量X=A-B的所有可能取值為1, 2,3,4, 5,

    w=4的有A1 , A2,A5, A6,A9共5塊地,w=3的有A7, A10共2塊地,

    這時(shí)有X=4-3=1.

    所以P(x=1)=■=■,同理P(x=2)=■=■,P(x=3)=■=■,P(x=4)=■=■,P(x=5)=■=■,

    ∴ X的分布列為:

    E(X)=1×■+2×■+3×■+4×■+5×■=■.

    點(diǎn)評(píng):1.求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是分析清楚隨機(jī)變量的取值有多少,并且正確求出隨機(jī)變量所取值對(duì)應(yīng)的概率.2.在求解隨機(jī)變量概率值時(shí),注意結(jié)合計(jì)數(shù)原理、古典概型、二項(xiàng)分布、超幾何分布等知識(shí)求解.

    例11. 某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天內(nèi)采摘完畢,基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘.由于下雨會(huì)影響藥材品質(zhì),基地收益如下表所示:

    若基地額外聘請(qǐng)工人,可在周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù).無(wú)雨時(shí)收益為20萬(wàn)元;有雨時(shí),收益為10萬(wàn)元.額外聘請(qǐng)工人的成本為a萬(wàn)元.

    已知下周一和下周二有雨的概率相同,兩天是否下雨互不影響,基地收益為20萬(wàn)元的概率為0.36.

    (I)若不額外聘請(qǐng)工人,寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益;

    (II)該基地是否應(yīng)該外聘工人,請(qǐng)說(shuō)明理由.

    解析:(I)設(shè)下周一有雨的概率為P,由題意,p2=0.36,p=0.6,基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5,則P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16,∴基地收益X的分布列為:

    E(X)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4,

    ∴基地的預(yù)期收益為14.4萬(wàn)元.

    (II)設(shè)基地額外聘請(qǐng)工人時(shí)的收益為Y萬(wàn)元,

    則其預(yù)期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4-a=16-a 萬(wàn)元,

    E(Y)-E(X)=16-a,

    綜上,當(dāng)額外聘請(qǐng)工人的成本高于1.6萬(wàn)元時(shí),不外聘工人;

    成本低于1.6萬(wàn)元時(shí),外聘工人;

    成本恰為1.6萬(wàn)元時(shí),是否外聘工人均可以.

    點(diǎn)評(píng):均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”,因此,當(dāng)均值不同時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分曉,由此可對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出決策判斷;若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大,則可通過(guò)分析兩變量的方差來(lái)研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,進(jìn)而進(jìn)行決策.

    全國(guó)卷I概率統(tǒng)計(jì)題綜合性強(qiáng),客觀題經(jīng)常將古典概型與計(jì)數(shù)原理、排列組合知識(shí)結(jié)合起來(lái)考查,將幾何概型與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃、定積分知識(shí)結(jié)合起來(lái)考查;解答題經(jīng)常以抽樣問(wèn)題為背景,以頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖、散點(diǎn)圖等統(tǒng)計(jì)圖表為載體,以能力為立意,將統(tǒng)計(jì)知識(shí)與概率知識(shí)、函數(shù)知識(shí)綜合考查.同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)備考時(shí)要注意認(rèn)真審題,提高閱讀理解能力,才能奪取概率統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容的高分.

    責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)

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