尋易錯(cuò)之源，覓糾錯(cuò)之道

林生

從2010年至2016年的全國高考題來看：歷年全國卷對(duì)數(shù)列的考查雖然不是每年都作為解答題出現(xiàn)，但數(shù)列卻是高考數(shù)學(xué)中的一棵“常青樹”. 而全國卷中的數(shù)列對(duì)考生的考查雖不難，但由于考生對(duì)數(shù)列的概念、性質(zhì)以及基本結(jié)論理解不透徹、思考不全面等多種原因，這就導(dǎo)致考生對(duì)數(shù)列易混淆、易錯(cuò)題的題型“難以把握”. 加上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)認(rèn)知過程，在這個(gè)過程中，由于考生的認(rèn)知水平、理解水平的不同，解題過程中往往會(huì)出現(xiàn)這樣或者那樣的錯(cuò)誤，因此若不厘清數(shù)列中的易混淆、易錯(cuò)題的題型，考生依然“重復(fù)昨天的錯(cuò)誤故事”. 所以我們?cè)趥淇嫉倪^程中就要認(rèn)真對(duì)待出現(xiàn)的錯(cuò)誤，要剖析錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，探討錯(cuò)誤的糾正方法，只有我們?cè)谶@個(gè)過程中真正地做到慎思、深思，明辨其錯(cuò)誤的“是非”，這樣才可以做到不要讓類似的錯(cuò)誤再次發(fā)生. 因此我們要真正地解決數(shù)列易混淆、易錯(cuò)題的題型，就必須要熟練數(shù)列相關(guān)知識(shí)，厘清它們數(shù)列易混淆、易錯(cuò)題的題型，在解題過程中加強(qiáng)對(duì)條件和結(jié)論的分析，掌握數(shù)列易混淆、易錯(cuò)題的題型的注意問題，做到將數(shù)列中的易混淆、易錯(cuò)題的題型“藥到病除”. 下面總結(jié)歸納數(shù)列中的易混淆、易錯(cuò)題的題型，就解數(shù)列易混淆、易錯(cuò)題的題型的一些解題方法和技巧來進(jìn)行舉例分析、總結(jié)歸納，結(jié)合在數(shù)列中解題出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤來辨析，以達(dá)到正本清源的功效.

一、混淆相近的數(shù)學(xué)概念或概念不清產(chǎn)生的錯(cuò)誤

例1. x=■是a， x， b成等比數(shù)列的（ ）

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充要條件 D. 既不充分也不要條件

錯(cuò)解展示：此題易錯(cuò)選為A，若x=■，則x2=ab，所以a， x， b成等比數(shù)列，當(dāng)a， x， b成等比數(shù)列，則x2=ab，所以x=±■，所以x=■是a， x， b成等比數(shù)列的充分不必要條件，故選A.

錯(cuò)因剖析：本題選A的原因主要是知識(shí)性的錯(cuò)誤，是由概念不清所致，等比數(shù)列中要求數(shù)列中的每一項(xiàng)及公比不能為零，所以由x2=ab不一定能推出a， x， b成等比數(shù)列，反過來，a， x， b成等比數(shù)列，有x2=ab，但是不一定推出x=■.

正解：選D，若x=■，則x2=ab，但x， a， b有可能為零，因此推不出成a， x， b等比數(shù)列，反過來，a， x， b成等比數(shù)列，有x2=ab，所以x=±■，因此x=■是a， x， b成等比數(shù)列的既不充分也不要條件.

變式1：已知Sn為數(shù)列{ an }的前n項(xiàng)和，且有Sn=bn+■，試判斷{ an }是什么數(shù)列？

錯(cuò)解展示：由已知條件得：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=bn+■-（bn-1+■）=（b-1）bn-1，所以an-1=（b-1）bn-2，因此有■=b，故{ an }成等比數(shù)列.

錯(cuò)因剖析：本題錯(cuò)誤的原因就是對(duì)等比數(shù)列的概念不清晰，忽略等比數(shù)列的公比不能為零這一情況，而b=0或b≠0.

正解：當(dāng)b=0時(shí)，顯然數(shù)列{ an }不成等比數(shù)列，此時(shí)數(shù)列{ an }為常數(shù)列；當(dāng)b≠0時(shí)，由已知條件得：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=bn+■-（bn-1+■）=（b-1）bn-1，所以an-1=（b-1）bn-2，所以可得■=b，因此數(shù)列{ an }是以公比b的等比數(shù)列.

例2. 已知數(shù)列{ an }的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{ an }的前n項(xiàng)和，Sn+1=qSn+1，其中q>0， n∈N？鄢，若2a2，a3，a2+2成等差數(shù)列，求{ an }的通項(xiàng)公式.

錯(cuò)解展示：依題意a1=1，a1+a2=qa1+1，2a3=3a2+2，解得a1=1，a2=2，a3=4，因?yàn)閍2 2=a1a3，所以{ an }是一個(gè)等比數(shù)列，所以an=2n-1（n∈N？鄢）.

錯(cuò)因剖析：本題由特殊代替一般，即由前3項(xiàng)成等比數(shù)列，就錯(cuò)誤認(rèn)為數(shù)列{ an }為等比數(shù)列，要證明數(shù)列為等比數(shù)列，要確保任意一項(xiàng)都滿足■為同一常數(shù)才行.

正解：由已知得Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1， 兩式相減得到an+2=qan+1，n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan對(duì)所有n≥1都成立. 所以數(shù)列{ an }是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列. 從而an=qn-1. 由2a2，a3，a2+2成等比數(shù)列可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2，則（2q+1）（q-2）=0，由已知q>0，故q=2. 所以an=2n-1（n∈N？鄢）.

例3. 等比數(shù)列{ an }的公比為q，則q>1是“對(duì)于任意n∈N？鄢”都有an+1>an的_______條件.

錯(cuò)解展示：當(dāng)q>1時(shí)，很多考生容易錯(cuò)誤判斷出an+1>an，或當(dāng)an+1>an時(shí)，則錯(cuò)誤判斷出q>1，因此很多考生會(huì)錯(cuò)誤判斷為充要條件或充分不必要條件或必要不充分條件.

錯(cuò)因剖析：本題主要是由于不理解等比數(shù)列的遞增數(shù)列這個(gè)基本概念所致，誤認(rèn)為判斷等比數(shù)列為遞增數(shù)列和等差數(shù)列為遞增數(shù)列一樣，只需要判斷公比的情況，殊不知判斷一個(gè)等比數(shù)列是否為遞增數(shù)列或遞減數(shù)列，不單單要考慮公比，還要考慮首項(xiàng)a1才行. 對(duì)于等比數(shù)列{ an }，若a1>0且q>1（或a1<0且01（a1>0或且00為遞增數(shù)列，d<0為遞減數(shù)列），切莫將判斷等差數(shù)列和等比數(shù)列為遞增（遞減）混淆，要理解它們之間的本質(zhì)，才可以避免出錯(cuò).

正解：在等比數(shù)列{ an }中，由于a1沒有確定（a1>0或a1<0），因此q>1無法推出數(shù)列{ an }為遞增數(shù)列，即an+1>an，同樣由an+1>an，即等比數(shù)列{ an }是遞增數(shù)列，因此可得a1>0且q>1或a1<0且01，所以q>1是“對(duì)于任意n∈N？鄢”都有an+1>an的既不充分也不要條件.