2016年北京大學(xué)博雅計劃自主招生數(shù)學(xué)試題及解答

甘志國

選擇題共20小題.在每小題的四個選項中，只有一項符合題目要求，請把正確選項的代號填在表格中，選對得5分，選錯扣1分，不選得0分.

1.直線y=-x+2與曲線y=-ex+a相切，則a的值為（ ）

A.-3B.-2C.-1D.前三個答案都不對

2.已知三角形ABC的三邊長分別為a，b，c，則下面四個結(jié)論中正確的個數(shù)為（ ）

（1）以a，b，c為邊長的三角形一定存在

（2）以a2，b2，c2為邊長的三角形一定存在

（3）以a+b2，b+c2，c+a2為邊長的三角形一定存在

（4）以a-b+1，b-c+1，c-a+1為邊長的三角形一定存在

A.2B.3C.4D.前三個答案都不對

3.設(shè)AB，CD是⊙O的兩條垂直直徑，弦DF交AB于點E，DE=24，EF=18，則OE等于（ ）

A.46B.53

C.62D.前三個答案都不對

4.函數(shù)

f（x）=1p，若x為有理數(shù)qp，p與q互素，

0，若x為無理數(shù)，

則滿足x∈（0，1）且f（x）>17的x的個數(shù)為（ ）

A.12B.13C.14D.前三個答案都不對

5.若方程x2-3x-1=0的根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，則a+b-2c的值為（ ）

A.-13B.-9C.-5D.前三個答案都不對

6.已知k≠1，則等比數(shù)列a+log2k，a+log4k，a+log8k的公比為（ ）

A.12B.13C.14D.前三個答案都不對

7.cosπ11cos2π11…cos10π11的值為（ ）

A.-116B.-132

C.-164D.前三個答案都不對

8.設(shè)a，b，c為實數(shù)，a，c≠0，方程ax2+bx+c=0的兩個虛數(shù)根為x1，x2滿足x21x2為實數(shù)，則∑2015k=0x1x2k等于（ ）

A.1B.0C.3iD.前三個答案都不對

9.將12個不同物體分成3堆，每堆4個，則不同的分法種類為（ ）

A.34650B.5940

C.495D.前三個答案都不對

10.設(shè)A是以BC為直徑的圓上的一點，D，E是線段BC上的點，F(xiàn)是CB延長線上的點，已知BF=4，BD=2，BE=5，∠BAD=∠ACD，∠BAF=∠CAE，則BC的長為（ ）

A.11 B.12 C.13 D.前三個答案都不對

11.兩個圓內(nèi)切于K，大圓的弦AB與小圓切于L，已知AK∶BK=2∶5，AL=10，則BL的長為（ ）

A.24 B.25 C.26 D.前三個答案都不對

12.f（x）是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，滿足2f（x）+f（x2-1）=1，x∈R，則f（-2）等于（ ）

A.0 B.12 C.13 D.前三個答案都不對

13.從一個正9邊形的9個頂點中選3個使得它們是一個等腰三角形的三個頂點的方法是（ ）

A.30 B.36 C.42 D.前三個答案都不對

14.已知正整數(shù)a，b，c，d滿足ab=cd，則a+b+c+d有可能等于（ ）

A.101B.301C.401D.前三個答案都不對

15.三個不同的實數(shù)x，y，z滿足x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2，則x+y+z等于（ ）

A.-1B.0C.1D.前三個答案都不對

16.已知a+b+c=1，則4a+1+4b+1+4c+1的最大值與最小值的乘積屬于區(qū)間（ ）

A.[10，11）B. [11，12）

C. [12，13）D.前三個答案都不對

17.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BD=6，∠ABD=∠CBD=30°，則四邊形ABCD的面積等于（ ）

A.83 B.93

C.123D.前三個答案都不對

18.1！+2！+…+2016！除以100所得的余數(shù)為（ ）

A.3B. 13C.27D.前三個答案都不對

19.方程組x+y2=z3，

x2+y3=z4，

x3+y4=z5，的實數(shù)解組數(shù)為（ ）

A.5B.6C.7D.前三個答案都不對

20.方程x3+x33+x3+x3=3x的所有實根的平方和等于（ ）

A.0B.2C.4D.前三個答案都不對

參考答案

1.A.由切點在切線y=-x+2上，可設(shè)切點坐標(biāo)為（x0，2-x0）.又切點（x0，2-x0）在曲線y=-ex+a上，可得2-x0=-ex0+a.

再由y=-ex+a，得y′=-ex+a，可得曲線y=-ex+a在切點（x0，2-x0）處切線的斜率為-ex0+a.又切線y=-x+2的斜率為-1，所以-ex0+a=-1.進而可得2-x0=-ex0+a=-1，x0=3，a=-3.

2.B.可不妨設(shè)0c.

結(jié)論（1）正確：因為可得a+2ab+b>c，（a+b）2>（c）2，a+b>c.

結(jié)論（2）錯誤：2，3，4是一個三角形的三邊長，但22，32，42不會是某個三角形的三邊長.

結(jié)論（3）正確：因為可得a+b2≤c+a2≤b+c2，a+b2+c+a2>b+c2.

結(jié)論（4）正確：因為|a-b|+1=b-a+1，

|b-c|+1=c-b+1，|c-a|+1=c-a+1，

所以|a-b|+1≤|c-a|+1，

|b-c|+1≤|c-a|+1，

（|a-b|+1）+（|b-c|+1）≥|（a-b）+（b-c）|+2>|c-a|+1.

3.解法1C.如圖1所示，設(shè)⊙O的半徑為r，由相交弦定理和勾股定理，可得

24·18=AE·EB=（r+OE）（r-OE）=r2-OE2，

242=r2+OE2，

把它們相加后，可求得OE=62.

4.D.由x∈（0，1）知，在f（x）的解析式中可不妨設(shè)p，q∈N，p>q，（p，q）=1.

由f（x）>17，可得x=qp，f（x）=1p>17；p=2，3，4，5，6，進而可得

x=12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56

所以滿足題設(shè)的x的個數(shù)為11.

5.A.解法1D.因為x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x+a+10）+（3a+b+33）x+a+c+10，所以由題意，得方程x2-3x-1=0的兩個根3+132，3-132均是方程（3a+b+33）x+a+c+10=0的根，所以3a+b+33=a+c+10=0.得a+b-2c=（3a+b+33）-2（a+c+10）-13=-13.

解法2D.由題設(shè)，可得（x2-3x-1）（x4+ax2+bx+c）.又注意到x4+ax2+bx+c不含x3項，所以x4+ax2+bx+c=（x2-3x-1）（x2+3x-c），x4+ax2+bx+c=x4-（c+10）x2+3（c-1）x+c.

8.B.因為實系數(shù)一元二次方程的兩個虛數(shù)根是一對共軛復(fù)數(shù)，所以可設(shè)x1=r（cosθ+isinθ），x2=r[cos（-θ）+isin（-θ）]（r>0）.

得x21x2=r（cos3θ+isin3θ），

因為x21x2為實數(shù)，所以θ=kπ3（k∈Z），再得

x1x2=cos2kπ3+isin2kπ3≠1

x1x22016=cos2kπ3·2016+isin2kπ3·2016

=cos（2kπ·672）+isin（2kπ·672）=1，

所以∑2015k=0x1x2k=1-x1x220161-x1x2=0.

9.D.這是均勻分組問題，不同的分法種類為

C412C48C443！=5775.

10.A.如圖3所示，由∠BAF=∠CAE，∠BAC=90°，得∠EAF=90°.

又因為∠BAD=∠ACD，所以AD⊥BC.得

DE·DF=AD2=BD·DC，

（5-2）（4+2）=2DC，

DC=9，

BC=BD+DC=2+9=11.

圖3圖411.B.如圖4所示，設(shè)BK與小圓交于點M，連結(jié)ML，設(shè)CD為兩圓在公共點K處的公切線.

由弦切角定理，得∠BAK=∠DKM=∠KLM.

又因為∠KLA=∠KML，所以∠AKL=∠BKL.

再由三角形角平分線性質(zhì)，可得ALBL=AKBK，

可求得BL=25.

12.C.在題設(shè)所給的等式中分別令x=0，1，-1，

得2f（0）+f（-1）=1，

2f（1）+f（0）=1，

2f（-1）+f（0）=1，

可解得f（0）=f（1）=f（-1）=13.

再在題設(shè)所給的等式中令x=-2，得2f（-2）+f（1）=1，所以f（-2）=13.

圖513.A.在圖5所示的正9邊形ABCDEFGHI中，以A為頂角的頂點的等腰三角形有且僅有4個（△ABI，△ACH，△ADG，△AEF），其中有且僅有△ADG是正三角形.

所以所求答案是3·9+93=30.

14.B.考慮a=mn，b=pq，c=mp，d=nq（m，n，p，q∈N*），得a+b+c+d=mn+pq+mp+nq=（m+q）（n+p），所以只要選a+b+c+d是合數(shù)即可.

而101，401都是質(zhì)數(shù)，且301=7·43=（1+6）（1+42），

所以取m=1，q=6，n=1，p=42，得a=1，b=252，c=42，d=6，所以本題選B.

15.D.可設(shè)x3-3x2=y3-3y2=z3-3z2=m，得x，y，z是關(guān)于t的一元三次方程t3-3t2-m=0的三個實數(shù)根.

由韋達定理，得x+y+z=3.

16.解法1C.設(shè)f（x）=4x+1，得

f′（x）=24x+1，f″（x）=-4（4x+1）-32<0，