“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)計(jì)

江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級中學(xué) 蔡紅艷

“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)設(shè)計(jì)

江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級中學(xué) 蔡紅艷

教學(xué)目的：

1.理解函數(shù)單調(diào)性概念，掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，會證明一些簡單函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，體驗(yàn)用數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)單調(diào)性的必要性。

2.經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性的探究過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確簡潔之美。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念與判斷及證明。

教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性概念的形成；運(yùn)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性。

教學(xué)過程：

一、問題情境

問題：觀察圖像，說出氣溫在哪些時(shí)間段內(nèi)是升高的？怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫“一定時(shí)段內(nèi)，隨著時(shí)間的推移氣溫逐步升高”這一特征？

二、學(xué)生活動

問題1：畫出下列函數(shù)的圖像，請你說說這些函數(shù)的圖像有什么變化趨勢。

學(xué)生通過作圖可以觀察得到：隨著x值的增大，函數(shù)圖象有的呈逐漸上升的趨勢，有的呈逐漸下降的趨勢，有的在一個(gè)區(qū)間內(nèi)呈上升的趨勢，在另一區(qū)間內(nèi)呈逐漸下降的趨勢.

師：你能明確說出“圖像呈逐漸上升趨勢”的意思嗎？

生討論得到：在某一區(qū)間內(nèi)，當(dāng)x的值增大時(shí)，函數(shù)值y也逐漸增大?圖象在該區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢；當(dāng)x的值增大時(shí)，函數(shù)值y反而減小?圖象在該區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢。

師總結(jié)：上升、下降趨勢，其實(shí)說的就是函數(shù)的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減。

師：感知圖像y=1，它在定義域R上是上升的嗎？

生：不是，平行于x軸。

師：那我將函數(shù)y=1的圖像變成函數(shù)y=0.000001x+1的圖像，如圖所示，它現(xiàn)在還是平行于x軸嗎？

生：感覺還是的。

師：實(shí)際上，這條直線k=0.000001，必過一、三象限，應(yīng)該是一條呈上升趨勢的直線，眼睛有時(shí)會欺騙我們，因此還得學(xué)會其他的辦法去判斷。

三、建構(gòu)數(shù)學(xué)

問題3：如何用數(shù)學(xué)語言來準(zhǔn)確地表述函數(shù)的單調(diào)性呢？

例如：關(guān)注函數(shù)y=x3的圖像在R上隨著x的變化，y又是如何變化的呢？

生：畫圖研究。

師：如何畫？

生：1列表；2.平面上繪制點(diǎn)；3.用一條平滑的曲線連接如圖所示。

師：從A到B呈上升趨勢，那么A、B兩點(diǎn)之間如何連接？

生1：在A、B兩點(diǎn)之間取更多的點(diǎn)來做試驗(yàn)，然后連接。

生2：補(bǔ)充，就算取再多的點(diǎn)，每兩點(diǎn)之間依然還是有A、B之間的問題。

生3：如果能取到足夠多的點(diǎn)，使得A、B之間幾乎無空隙，那就不存在問題了。

生4：要是能取到所有的點(diǎn)就好了。

師評點(diǎn)：取到所有的點(diǎn)，實(shí)際操作不太可能，足夠多的點(diǎn)又有可能發(fā)生右圖的情況。

問題：如何用數(shù)學(xué)語言精確刻畫函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上y隨著x的增大而增大？

我們要有嚴(yán)格的定義，板書：

一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，區(qū)間,如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，I稱為y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間。

如果對于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）＞f（x2），那么就說y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，I稱為y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間。

四、數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1：判斷題。

②定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2）＞f（1），則稱函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；

③函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，則必有f（2）＞f（1）；

④定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（2）＞f（1），則函數(shù)f（x）在R上不是減函數(shù)；

⑤若定義在R上的函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，0]上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞)上也是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；

⑥若定義在R上的函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，0]上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞)上也是單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；

解：（1）錯(cuò)；（2）錯(cuò)；（3）對；（4）對；（5）對；（6）錯(cuò)。

例2：作出下列函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

解：（1）函數(shù)y=-x2+2的圖像如圖3所示，單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0]，單調(diào)減區(qū)間為[0，+∞]。

板書：【小結(jié)】證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的步驟：

（1）取值：在給定區(qū)間上任取兩個(gè)值x1，x2且x1＜x2；

（3）定號：判斷上式的符號，若不能確定，則分區(qū)間討論；

（4）結(jié)論：根據(jù)差的符號，得出單調(diào)性的結(jié)論。

五、回顧小結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的概念以及判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的方法。

六、課外作業(yè)

1.習(xí)題2.2.第1題、第2題、第4題、第10題。